Jakobiani dhe përcaktori i një matrice

Në analizën matematike vektoriale, matrica jakobiane e një funksioni me vlera vektoriale të disa ndryshoreve është matrica e të gjithë derivateve të tij të pjesshme të rendit të parë. Kur kjo matricë është katrore, domethënë, kur funksioni merr të njëjtin numër ndryshoresh si hyrje po aq sa numri i përbërësve vektorialë të prodhimit të tij, përcaktorit të tij i referohet si përcaktor Jakobian . Si matrica ashtu edhe (nëse është e zbatueshme) përcaktori shpesh referohen thjesht si Jakobian në literaturë. ^[1]

Supozoni ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ është një funksion i tillë që secili prej derivateve të pjesshme të tij të rendit të parë ekzistojnë në ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Ky funksion merr një pikë ${\displaystyle x\in \operatorname {R} ^{n}}$ si hyrje dhe prodhon vektorin ${\displaystyle f(x)\in \operatorname {R} ^{m}}$ si dalje. Pastaj matrica jakobiane e f përcaktohet të jetë një matricë m × n, e shënuar me J, hyrja (i, j ) e së cilës është ${\textstyle \mathbf {J} _{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}}$, ose në mënyrë eksplicite

${\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\nabla ^{\mathrm {T} }f_{1}\\\vdots \\\nabla ^{\mathrm {T} }f_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}}$

ku ${\displaystyle \nabla ^{\mathrm {T} }f_{i}}$ është transpozimi (vektori i rreshtit) i gradientit të përbërëses ${\displaystyle i}$ .

Matrica Jakobiane, hyrjet e së cilës janë funksione të x, shënohet në mënyra të ndryshme; shënimet e zakonshme përfshijnë ${\displaystyle D{\boldsymbol {f}}}$,${\displaystyle {\boldsymbol {J_{f}}}}$,${\displaystyle \nabla \mathbf {f} }$, dhe ${\displaystyle {\frac {\partial (f_{1},..,f_{m})}{\partial (x_{1},..,x_{n})}}}$ . Disa autorë e përkufizojnë Jakobianin si transpozim të formës së dhënë më sipër.

Matrica Jakobiane paraqet diferencialin e f në çdo pikë ku f është i diferencueshëm. Në mënyrë të detajuar, nëse h është një vektor zhvendosjeje i përfaqësuar nga një matricë shtyllë, prodhimi i matricës J ( x ) ⋅ h është një vektor tjetër zhvendosjeje, që është përafrimi më i mirë linear i ndryshimit të f në një zonë rrethuese të x, nëse ${\displaystyle f(x)}$ është i diferencueshëm në x . ^[a] Kjo do të thotë se funksioni që e paraqet ${\displaystyle y}$ në ${\displaystyle f(x)+J(x)(x-h)}$ është përafrimi më i mirë linear i ${\displaystyle f(y)}$ për të gjitha pikat y afër x . Harta lineare ${\displaystyle h\to J(x)\cdot h}$ njihet si derivat ose <i id="mwVQ">diferencial</i> i f në x .

Nëse m = n, atëherë f është një funksion nga ${\displaystyle \operatorname {R^{n}} }$ në vetvete dhe matrica Jakobiane është një matricë katrore . Më pas mund të formojmë përcaktorin e tij, të njohur si përcaktori Jakobiane . Përcaktori jakobian nganjëherë referohet thjesht si "jakobian".

Përcaktori Jacobian përdoret kur bëhet një zëvëndësim i ndryshoreve kur vlerësohet një integral i shumëfishtë i një funksioni mbi një rajon brenda domenit të tij. Për të akomoduar ndryshimin e koordinatave, madhësia e përcaktorit jakobian lind si një faktor shumëzues brenda integralit. Kjo është për shkak se elementi n -dimensional dV është në përgjithësi një paralelopiped në sistemin e ri të koordinatave, dhe vëllimi n i një paralelipipedi është përcaktuesi i vektorëve të skajit të tij.

Merrni parasysh funksionin ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}:{\boldsymbol {R^{2}}}\to {\boldsymbol {R^{2}}}}$ , me (x, y ) ↦ ( ${\displaystyle f_{1}(x,y)}$, ${\displaystyle f_{2}(x,y)}$), dhënë nga

${\displaystyle \mathbf {f} \left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}f_{1}(x,y)\\f_{2}(x,y)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x^{2}y\\5x+\sin y\end{bmatrix}}.}$

Pastaj kemi

${\displaystyle f_{1}(x,y)=x^{2}y}$

dhe

${\displaystyle f_{2}(x,y)=5x+\sin y}$

dhe matrica jakobiane e f është

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\[1em]{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial y}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2xy&x^{2}\\5&\cos y\end{bmatrix}}}$

dhe jakobiani është

${\displaystyle \det(\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y))=2xy\cos y-5x^{2}.}$

Shndërrimi nga koordinatat polare (r, φ ) në koordinatat karteziane ( x, y ), jepet nga funksioni F : ${\displaystyle R^{+}}$ × [0, 2 π ) →${\displaystyle R^{2}}$ me përbërës:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \varphi ;\\y&=r\sin \varphi .\end{aligned}}}$

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {F} }(r,\varphi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{bmatrix}}}$

Jakobiani është i barabartë me r . Kjo mund të përdoret për të transformuar integrale midis dy sistemeve të koordinatave:

${\displaystyle \iint _{\mathbf {F} (A)}f(x,y)\,dx\,dy=\iint _{A}f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )\,r\,dr\,d\varphi .}$

Shndërrimi nga koordinatat sferike (ρ, φ, θ ) ^[2] në koordinatat karteziane ( x, y, z ), jepet me funksionin F : ${\displaystyle R^{+}}$ × [0, π ) × [0, 2 π ) → ${\displaystyle R^{3}}$ me përbërës:

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \sin \varphi \cos \theta ;\\y&=\rho \sin \varphi \sin \theta ;\\z&=\rho \cos \varphi .\end{aligned}}}$

Jakobiani për këtë ndryshim të koordinatave është

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {F} }(\rho ,\varphi ,\theta )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial z}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \theta }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \varphi \cos \theta &\rho \cos \varphi \cos \theta &-\rho \sin \varphi \sin \theta \\\sin \varphi \sin \theta &\rho \cos \varphi \sin \theta &\rho \sin \varphi \cos \theta \\\cos \varphi &-\rho \sin \varphi &0\end{bmatrix}}.}$

Përcaktori është ${\displaystyle \rho ^{2}\sin(\varphi )}$ . Meqenëse ${\displaystyle dV=dx\cdot dy\cdot dz}$ është vëllimi për një element vëllimi diferencial drejtkëndor (sepse vëllimi i një prizmi drejtkëndor është prodhimi i anëve të tij), ne mund të interpretojmë ${\displaystyle dV=\rho ^{2}\sin(\varphi )d\varphi d\vartheta d\rho }$ si vëllimin e diferencialit sferik. element vëllimi . Ndryshe nga vëllimi i elementit të vëllimit diferencial drejtkëndor, vëllimi i këtij elementi vëllimor diferencial nuk është konstant dhe ndryshon me koordinatat ( ρ dhe φ ). Mund të përdoret për të transformuar integrale midis dy sistemeve të koordinatave:

${\displaystyle \iiint _{\mathbf {F} (U)}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{U}f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )\,\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\varphi \,d\theta .}$

Matrica Jakobiane e funksionit ${\displaystyle F:R^{3}\to R^{4}}$ me përbërës

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&=x_{1}\\y_{2}&=5x_{3}\\y_{3}&=4x_{2}^{2}-2x_{3}\\y_{4}&=x_{3}\sin x_{1}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {F} }(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&5\\0&8x_{2}&-2\\x_{3}\cos x_{1}&0&\sin x_{1}\end{bmatrix}}.}$

Ky shembull tregon se matrica Jakobiane nuk duhet të jetë me doemos një matricë katrore.

1. ^ W., Weisstein, Eric. "Jacobian". mathworld.wolfram.com. Arkivuar nga origjinali më 3 nëntor 2017. Marrë më 2 maj 2018. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)Mirëmbajtja CS1: Emra të shumëfishtë: lista e autorëve (lidhja)
2. ^ Joel Hass, Christopher Heil, and Maurice Weir. Thomas' Calculus Early Transcendentals, 14e. Pearson, 2018, p. 959.

Gabim referencash: Etiketat <ref> ekzistojnë për një grup të quajtur "lower-alpha", por nuk u gjet etiketa korresponduese <references group="lower-alpha"/>