Πίνακας Τζακόμπι

Στη Διανυσματική Ανάλυση, ο Πίνακας Τζακόμπι ή Ιακωβιανή Μήτρα^[1][2][3] είναι ο πίνακας όλων των παραγώγων 1ης τάξης ενός διανύσματος ή μιας βαθμωτής συνάρτησης σε σχέση με ένα άλλο διάνυσμα.

Έστω ότι η ${\displaystyle f:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} ^{m}}$είναι μία συνάρτηση από τον ευκλείδειο χώρο ${\displaystyle n}$ προς τον ευκλείδειο χώρο ${\displaystyle m}$. Μια τέτοια συνάρτηση δίνεται από ${\displaystyle m}$ πραγματικές στοιχεία - συναρτήσεις, ${\displaystyle y_{1}(x_{1},\dots ,x_{n}),\dots ,y_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})}$. Οι μερικές παράγωγοι όλων αυτών των συναρτήσεων (εάν υπάρχουν) μπορούν να αναπαρασταθούν σε έναν ${\displaystyle m}$ επί ${\displaystyle n}$ πίνακα, τον πίνακα Τζακόμπι ${\displaystyle \mathbf {J} }$ της ${\displaystyle f}$, ως εξής:

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial y_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial y_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}}$

Ο πίνακας μπορεί επίσης να δηλωθεί ${\displaystyle J_{f}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ και ${\displaystyle {\frac {\partial (y_{1},\ldots ,y_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}}$. Αν ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ είναι οι κανονικές καρτεσιανές συντεταγμένες, η γραμμή ${\displaystyle i(i=1,\dots ,n)}$ αυτού του πίνακα αντιστοιχεί στην κλίση της ${\displaystyle i^{th}}$ συνάρτησης - στοιχείου ${\displaystyle y_{i}}$: ${\displaystyle \left(\nabla y_{i}\right)}$. Ορισμένα βιβλία ορίζουν τον πίνακα Τζακόμπι ως τον ανάστροφο του παραπάνω πίνακα.

Η Ορίζουσα Τζακόμπι (συχνά αναφέρεται εν συντομία ως η Τζακόμπι) είναι η ορίζουσα του πίνακα Τζακόμπι (αν ${\displaystyle m=n}$).

Αυτές οι έννοιες πήραν το όνομά τους από τον μαθηματικό Καρλ Γκούσταβ Τζάκομπ Τζακόμπι.

Ο Τζακόμπι μιας συνάρτησης περιγράφει τον προσανατολισμό μιας εφαπτόμενης επιφάνειας στη συνάρτηση σε ένα δεδομένο σημείο. Με αυτό τον τρόπο ο Τζακόμπι γενικεύει την κλίση μιας βαθμωτής συνάρτησης πολλών μεταβλητών, η οποία γενικεύει την παράγωγο μιας βαθμωτής συνάρτησης μιας μεταβλητής. Παρομοίως, ο Τζακόμπι μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για την περιγραφή του "απλώματος" που επιβάλλει ένας μετασχηματισμός.Για παράδειγμα, αν ${\displaystyle (x_{2},y_{2})=f(x_{1},y_{1})}$ χρησιμοποιείται για να μετασχηματίσει μια εικόνα, ο Τζακόμπι της ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle J(x_{1},y_{1})}$ περιγράφει πόσο απλώθηκε η εικόνα στην γειτονιά της ${\displaystyle (x_{1},y_{1})}$ στις κατευθύνσεις ${\displaystyle x}$ και ${\displaystyle y}$.

Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο, η παράγωγός της δίνεται σε συντεταγμένες από τον Τζακόμπι, αλλά μια συνάρτηση δε χρειάζεται να είναι παραγωγίσιμη για να οριστεί ο Τζακόμπι, καθώς μόνο οι μερικές παράγωγοιπρέπει να υπάρχουν.

Η σημασία του πίνακα Τζακόμπι έγκειται στο γεγονός ότι αναπαριστά την καλύτερη γραμμική προσέγγιση σε μια παραγωγίσιμη συνάρτηση κοντά σε δεδομένο σημείο. Με αυτή την έννοια, ο πίνακας Τζακόμπι είναι η παράγωγος μια πολυμεταβλητούς συνάρτησης.

Αν ${\displaystyle \mathbf {p} }$ είναι σημείο στο ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$ και ${\displaystyle f}$ είναι παραγωγίσιμη στο ${\displaystyle \mathbf {p} }$, τότε η παράγωγος δίνεται από ${\displaystyle J_{f}(\mathbf {p} )}$. Σε αυτήν την περίπτωση, ο linear map που αναπαρίσταται από ${\displaystyle J_{f}(\mathbf {p} )}$ είναι η καλύτερη γραμμική προσέγγιση της ${\displaystyle f}$ κοντά στο σημείο ${\displaystyle \mathbf {p} }$, με την έννοια ότι

${\displaystyle f(\mathbf {x} )=f(\mathbf {p} )+J_{f}(\mathbf {p} )(\mathbf {x} -\mathbf {p} )+o(\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \|)}$

για ${\displaystyle \mathbf {x} }$ κοντά στο ${\displaystyle \mathbf {p} }$ και όπου ${\displaystyle o}$ είναι ο συμβολισμός (όταν το ${\displaystyle x\to p}$) και ${\displaystyle \|\mathbf {x} -\mathbf {p} \|}$ είναι η Ευκλείδια απόσταση μεταξύ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ και ${\displaystyle \mathbf {p} }$.

Κατά μία έννοια και η κλίση και ο Τζακόμπι είναι "πρώτες παράγωγοι" Πρότυπο:Mdash η κλίση η πρώτη παράγωγος μιας βαθμωτής συνάρτησης αρκετών μεταβλητών, ο Τζακόμπι η πρώτη παράγωγος μιας διανυσματικής συνάρτησης αρκετών μεταβλητών. Γενικά, η κλίση μπορεί να θεωρηθεί σαν μια ειδική έκδοση του πίνακα Τζακόμπι: είναι ο Τζακόμπι μιας βαθμωτής συνάρτησης αρκετών μεταβλητών.

Ο Τζακόμπι της κλίσης έχει ένα ειδικό όνομα: Ο Εσσιανός πίνακας, ο οποίος κατά μία έννοια είναι η "δεύτερη παράγωγος" της βαθμωτής συνάρτησης των ζητούμενων μεταβλητών.

Σύμφωνα με το θεώρημα της αντίστροφης συνάρτησης, ο αντίστροφος πίνακας του πίνακα Τζακόμπι μιας αντιστρέψιμης συνάρτησης είναι ο πίνακας Τζακόμπι της αντίστροφης συνάρτησης. Αυτό σημαίνει ότι για μια συνάρτηση ${\displaystyle f:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} ^{n}}$ και ένα σημείο ${\displaystyle p}$ στο ${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$,

${\displaystyle J(f^{-1}(p))=[J(f(p))]^{-1}.\ }$

Εξυπακούεται ότι η (βαθμωτή) αντίστροφη της ορίζουσας Τζακόμπι ενός μετασχηματισμού είναι η ορίζουσα Τζακόμπι του αντίστροφου μετασχηματισμού.

Έστω ένα δυναμικό σύστημα της μορφής ${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}$, όπου ${\displaystyle {\dot {x}}}$ είναι η χρονική παράγωγος του ${\displaystyle x}$, και η ${\displaystyle f:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} ^{n}}$ είναι συνεχής και παραγωγίσιμη. Αν η ${\displaystyle f(x_{0})=0}$, τότε ${\displaystyle x_{0}}$ είναι ένα στάσιμο σημείο (επίσης ονομάζεται σταθερό σημείο). Η συμπεριφορά του συστήματος κοντά στο σταθερό σημείο σχετίζεται με τις ιδιοτιμές του ${\displaystyle J_{f}(x_{0})}$, ο πίνακας Τζακόμπι της ${\displaystyle f}$ στο σταθερό σημείο. Συγκεκριμένα, αν οι όλες οι ιδιοτιμές έχουν ένα αρνητικό μέρος, τότε το σύστημα είναι σταθερό στο λειτουργικό σημείο, εάν οποιαδήποτε έχει ένα θετικό πραγματικό μέρος, τότε το σημείο είναι μη σταθερό.

Ένα σύστημα μη γραμμικών εξισώσεων μπορεί να λυθεί επαναληπτικά από τη Μέθοδο του Νεύτωνα. Αυτή η μέθοδος χρησιμοποιεί τον πίνακα Τζακόμπι του συστήματος εξισώσεων.

Παρακάτω είναι ο αναλυτικός κώδικας στο MATLAB (παρόλο που υπάρχει ενσωματωμένη εντολή)

   function s = jacobian(f, x, tol)
   % f is a multivariable function handle, x is a starting point
   if nargin == 2
       tol = 10^(-5);
   end
   while 1
       % if x and f(x) are row vectors, we need transpose operations here
       y = x' - jacob(f, x)\f(x)';             % get the next point
       if norm(f(y))<tol                       % check error tolerate
           s = y';
           return;
       end
       x = y';
   end  

   function j = jacob(f, x)				% approximately calculate Jacobian matrix
   k = length(x);
   j = zeros(k, k);
   for m = 1: k
       x2 = x;
       x2(m) =x(m)+0.001;
       j(m, :) = 1000*(f(x2)-f(x));     	% partial derivatives in m-th row      
   end

Αν ${\displaystyle m=n}$, τότε η ${\displaystyle f}$ είναι μια συνάρτηση από το χώρο n στο χώρο n και ο πίνακας Τζακόμπι είναι ένας τετραγωνικός πίνακας. Μπορούμε μετά να σχηματίσουμε την ορίζουσα, γνωστή ως η Ορίζουσα Τζακόμπι.^[4]

Η ορίζουσα Τζακόμπι σε ένα δεδομένο σημείο δίνει σημαντικές πληροφορίες σχετικά με τη συμπεριφορά της ${\displaystyle f}$ κοντά σε εκείνο το σημείο. Για παράδειγμα, η συνεχής παραγωγίσιμη συνάρτηση ${\displaystyle f}$ είναι αντιστρέψιμη κοντά σε ένα σημείο ${\displaystyle \mathbf {p} \in \mathbf {R} ^{n}}$, εάν η ορίζουσα Τζακόμπι στο ${\displaystyle \mathbf {p} }$ δεν είναι μηδενική. Αυτό είναι το θεώρημα της αντίστροφης συνάρτησης.

Επιπλέον, αν η ορίζουσα στο ${\displaystyle \mathbf {p} }$ είναι θετική, τότε η ${\displaystyle \mathbf {f} }$ διατηρεί προσανατολισμό κοντά στο ${\displaystyle \mathbf {p} }$. Εάν είναι αρνητική, η F αντιστρέφει τον προσανατολισμό. Η απόλυτη τιμή της ορίζουσας Τζακόμπι στο ${\displaystyle \mathbf {p} }$ μας δίνει τον παράγοντα με τον οποίο η συνάρτηση ${\displaystyle f}$ επεκτείνεται ή συρρικνώνεται κοντά στο ${\displaystyle \mathbf {p} }$. Αυτός είναι ο λόγος που αυτό συμβαίνει στο γενικό κανόνα αντικατάστασης.

Η ορίζουσα Τζακόμπι χρησιμοποιείται στην Ολοκλήρωση με αντικατάσταση κατά τον υπολογισμό ενός πολλαπλού ολοκληρώματος μιας συνάρτησης. Η ορίζουσα μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων στο Σημείο Ισορροπίας ή για προσεγγιστικές λύσεις κοντά σε ένα Σημείο Ισορροπίας.

Παράδειγμα 1.

Ο μετασχηματισμός από το σύστημα σφαιρικών συντεταγμένων ${\displaystyle (r,\theta ,\phi )}$ στο Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$ , δίνεται από τη συνάρτηση ${\displaystyle f:\mathbf {R} ^{+}\times [0,\pi ]\times [0,2\pi )\rightarrow \mathbf {R} ^{3}}$ με συνιστώσες:^[5]

${\displaystyle x_{1}=r\,\sin \theta \,\cos \phi \,}$

${\displaystyle x_{2}=r\,\sin \theta \,\sin \phi \,}$

${\displaystyle x_{3}=r\,\cos \theta .\,}$

Ο πίνακας Τζακόμπι για αυτή την αλλαγή συντεταγμένων είναι

${\displaystyle J_{f}(r,\theta ,\phi )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial x_{1}}{\partial \phi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial x_{2}}{\partial \phi }}\\[3pt]{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial \theta }}&{\dfrac {\partial x_{3}}{\partial \phi }}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \phi &r\,\cos \theta \,\cos \phi &-r\,\sin \theta \,\sin \phi \\\sin \theta \,\sin \phi &r\,\cos \theta \,\sin \phi &r\,\sin \theta \,\cos \phi \\\cos \theta &-r\,\sin \theta &0\end{bmatrix}}.}$

Η ορίζουσα Τζακόμπι είναι ${\displaystyle r^{2}\sin \theta }$. Σαν παράδειγμα επειδή ${\displaystyle dV=dx_{1}dx_{2}dx_{3}}$ αυτή η ορίζουσα σημαίνει ότι το στοιχείο διαφορικού όγκου ${\displaystyle dV=r^{2}\sin \theta \cdot drd\theta d\phi }$. Ωστόσο, αυτή η ορίζουσα διαφέρει ανάλογα με τις συντεταγμένες. Για να αποφύγουμε τη διακύμανση οι νέες συντεταγμένες μπορούν να οριστούν ως ${\displaystyle w_{1}={\frac {r^{3}}{3}},\ w_{2}=-\cos \theta ,\ w_{3}=\phi .\,}$ Τώρα η ορίζουσα ισούται με 1 και το στοιχείο όγκου γίνεται ${\displaystyle r^{2}dr\ \sin \theta \ d\theta \ d\phi =dw_{1}dw_{2}dw_{3}\,}$.

Παράδειγμα 2.

Ο πίνακας Τζακόμπι της συνάρτησης ${\displaystyle f:\mathbf {R} ^{3}\rightarrow \mathbf {R} ^{4}}$με συνιστώσες

${\displaystyle y_{1}=x_{1}\,}$

${\displaystyle y_{2}=5x_{3}\,}$

${\displaystyle y_{3}=4x_{2}^{2}-2x_{3}\,}$

${\displaystyle y_{4}=x_{3}\sin(x_{1})\,}$

είναι

${\displaystyle J_{f}(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{3}}}\\[3pt]{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{3}}}\\[3pt]{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{3}}}\\[3pt]{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{3}}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&5\\0&8x_{2}&-2\\x_{3}\cos(x_{1})&0&\sin(x_{1})\end{bmatrix}}.}$

Αυτό το παράδειγμα δείχνει ότι ο πίνακας δε χρειάζεται να είναι τετραγωνικός.

Παράδειγμα 3.

${\displaystyle x\,=r\,\cos \,\phi ;}$

${\displaystyle y\,=r\,\sin \,\phi .}$

${\displaystyle J(r,\phi )={\begin{bmatrix}{\partial x \over \partial r}&{\partial x \over \partial \phi }\\{\partial y \over \partial r}&{\partial y \over \partial \phi }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\partial (r\cos \phi ) \over \partial r}&{\partial (r\cos \phi ) \over \partial \phi }\\{\partial (r\sin \phi ) \over \partial r}&{\partial (r\sin \phi ) \over \partial \phi }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \phi &-r\sin \phi \\\sin \phi &r\cos \phi \end{bmatrix}}}$

Η ορίζουσα Τζακόμπι ισούται με ${\displaystyle r}$.

Αυτό δείχνει πώς ένα ολοκλήρωμα στο Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων μετασχηματίζεται σε ολοκλήρωμα του πολικού συστήματος συντεταγμένων:

${\displaystyle \iint _{A}dx\,dy=\iint _{B}r\,dr\,d\phi }$.

Παράδειγμα 4.

Η ορίζουσα Τζακόμπι της συνάρτησης ${\displaystyle f:\mathbf {R} ^{3}\rightarrow \mathbf {R} ^{3}}$ με συνιστώσες

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&=5x_{2}\\y_{2}&=4x_{1}^{2}-2\sin(x_{2}x_{3})\\y_{3}&=x_{2}x_{3}\end{aligned}}}$

είναι

${\displaystyle {\begin{vmatrix}0&5&0\\8x_{1}&-2x_{3}\cos(x_{2}x_{3})&-2x_{2}\cos(x_{2}x_{3})\\0&x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-8x_{1}\cdot {\begin{vmatrix}5&0\\x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-40x_{1}x_{2}.}$

Από το παραπάνω βλέπουμε ότι η F αντιστρέφει τον προσανατολισμό κοντά στα σημεία όπου x₁ και x₂ έχουν το ίδιο πρόσημο; η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη παντού εκτός από σημεία όπου ${\displaystyle x_{1}=0}$ ή ${\displaystyle x_{2}=0}$ Διαισθητικά, αν ξεκινήσουμε με ένα μικροσκοπικό αντικείμενο κοντά στο σημείο ${\displaystyle (1,1,1)}$ και εφαρμόσουμε την ${\displaystyle f}$ σε αυτό το αντικείμενο, θα πάρουμε ένα σύνολο αντικειμένων με περίπου 40 φορές τον όγκο του αρχικού αντικειμένου.

• Mathworld A more technical explanation of Jacobians (Αγγλικά)

• Gandolfo, Giancarlo (1996). «Comparative Statics and the Correspondence Principle». Economic Dynamics (Third έκδοση). Berlin: Springer. σελίδες 305–330. ISBN 3-540-60988-1. 
• Protter, Murray H.· Morrey, Charles B. Jr. (1985). «Transformations and Jacobians». Intermediate Calculus (Second έκδοση). New York: Springer. σελίδες 412–420. ISBN 0-387-96058-9.