DE4305678A1 - Verfahren für den Bau von Spurführungseinrichtungen und Verkehrsbändern für Fahrzeuge sowie Verfahren zur Konstruktion von Gegenständen unter Verwendung eines CAD-Systems und zur CNC-Steuerung, unter Verwendung eines Richtungsdifferenzverfahrens - Google Patents

Description

Die Erfindung betrifft ein Verfahren für den Bau von Spur­ führungseinrichtungen und Verkehrsbändern für Fahrzeuge, ferner ein Verfahren zur Konstruktion von Gegenständen unter Verwendung eines CAD-Systems und zur CNC-Steuerung.

Zur Planung und Absteckung der Achse oder Trasse von Ver­ kehrsbändern wie Straßen, Eisenbahngleisanlagen, etc. werden anhand von graphischen Vorentwürfen die Einzelplanungen durchgeführt. Hierbei sind die Zwangspunkte, durch die die Trasse zu führen ist, zu berücksichtigen.

Es ist bekannt, für die Erstkonzepte bei derartigen Trassie­ rungsarbeiten Geraden (mit Krümmung Null) und Kreisabschnit­ te (mit konstanter Krümmung) sowie als weitere selbständige Elemente oder als Übergangsbögen Klotoiden (mit sich linear ändernder Krümmung) zu verwenden. Durch derartige Übergangs­ bögen soll ein ruckartiges Auftreten von Fliehkraftänderun­ gen zwischen den einzelnen Trassenabschnitten bzw. -elemen­ ten verhindert oder jedenfalls minimiert werden. Sind die Krümmungsübergänge zwischen den einzelnen Trassenelementen nämlich nicht ausreichend glatt, kommt es zu solchen ruck­ artigen Stößen und zu einem instabilen Fahrbetrieb und einer Beeinträchtigung des Fahrgefühls sowie ferner zu nachtei­ ligen Beanspruchungen z. B. der Schienen, die an den betref­ fenden Stellen infolge der sich ändernden Massekräfte einem erhöhten Verschleiß unterliegen.

Zur Vermeidung solcher Stöße werden vielfach flache Kreisbö­ gen bei der Trassierung verwendet. Dennoch sind die Übergänge häufig nicht ausreichend glatt und die Fahrgeschwin­ digkeit muß infolge zu hoher Seitenbeschleunigung herabge­ setzt werden.

Trassierungsentwürfe werden derzeit mit interaktiver Compu­ terunterstützung durchgeführt, wobei die Erstkonzepte ge­ wöhnlich wie oben beschrieben erstellt werden. Die Optimie­ rung der Entwürfe entsprechend den geometrischen und techni­ schen Erfordernissen erfolgt dabei im wesentlichen empi­ risch, z. T. sogar durch handwerkliche Maßnahmen vor Ort. Da­ her geht die Erfahrung des jeweiligen Bearbeiters entschei­ dend in den Fortgang der Trassierungsarbeiten ein.

Die rechnerische Ausarbeitung von Trassierungsentwürfen be­ steht derzeit darin, daß Polynomapproximationen mit den Zwangspunkten als Schnittstellen verwendet werden (vgl. z. B. M. Ingwersen und T. Rickert, "Neue Trassierungstechnik für Nahverkehrsbahnen", ZfV 2, 1990, Seiten 60 bis 68; H. Schmidt, "Übergangsbogenberechnung durch numerische Integra­ tion mit einer Quadraturformel von Gauß", VR 53/8, 1991, Seiten 361 bis 372). So verwenden Ingwersen und Rickert ein Tangentenpolygon. Zur Straßenachsberechnung aus Klotoiden werden z. B. Fresnelsche Integrale für die X-, Y-Koordinaten der Klotoideneinzelpunkte bezüglich der langen Tangente ent­ wickelt. Es handelt sich hierbei um asymptotische Berechnun­ gen. Die Fresnelschen Integrale sind geschlossen nicht lös­ bar und werden daher als Reihenentwicklungen mit Abbruch der Reihe nach dem dritten oder vierten Glied numerisch berech­ net. Zur Bestimmung der fahrdynamisch günstigsten Trasse muß dementsprechend bei einer großen Zahl von Zwangspunkten ein erheblicher Arbeits- und Rechenaufwand betrieben werden. Herkömmlich wird davon ausgegangen, daß sich die Näherungs­ fehler bei einer Kombination von mehreren berechneten Tras­ senelementen addieren.

Von H. Heckmann ist in "Ein Algorithmus zur Trassenberech­ nung auf EDV-Anlagen", AVN 1/90, Seiten 19 bis 26, 1990 ein Trassenalgorithmus vorgeschlagen worden, bei dem Stations­ punkte auf Geraden als Eckpunkte eines gleichseitigen Viel­ ecks mit konstanter Richtung gerechnet werden. Stationspunk­ te auf Kreisen werden als Eckpunkte eines gleichseitigen Vielecks mit konstanter Richtungsänderung gerechnet. Stati­ onspunkte auf Übergangsbögen werden als Eckpunkte eines gleichseitigen Vielecks mit konstanter zweiter Änderung der Richtung gerechnet. Hierdurch entsteht ein Algorithmus, der über gesetzmäßig sich ändernde Richtungsdifferenzen gesteu­ ert, fortlaufend die Koordinaten gleich weit voneinander entfernter Stationspunkte auf der Trassenachse erzeugt. Dies erfolgt für Geraden, Übergangsbögen und greise nach demsel­ ben Arbeitsprinzip, d. h. die Koordinaten werden nach einem einheitlichen Bildungsgesetz erzeugt. Die gleichabständigen Achspunkte können daher auf aneinander tangierende Folgen von Geraden, Übergangsbögen und Kreisen gelegt werden. Man kann sich mit diesem Algorithmus auf der Trassenachse ent­ langbewegen und in gleich großen Abständen direkt die Lan­ des- oder Gauß-Krüger-Koordinaten oder sonstige rechtwink­ lige Koordinaten der Achspunkte erzeugen. Der Punktabstand AN, die konstante Schrittweite des Richtungsdifferenzenalgo­ rithmus, kann 20 m, 10 m, 5 m, 2 m oder weniger betragen.

Wie in dem oben genannten Aufsatz ausgeführt ist, liegen die maximalen Abweichungen der so bestimmten Trassierung von ei­ ner idealen Trassierung für Schrittweiten von z. B. AN = 5 m bei wenigen cm in dem für die praktische Verwendung des Übergangsbogens vorgesehenen Bereich. Jedenfalls kann durch Verkleinerung der Schrittweite eine beliebige Annäherung an Tafelwerke erzielt werden, die die Ergebnisse von Taylorrei­ hen-Berechnungen mit siebenstelligen Koordinatenwerten ent­ halten (Kasper, Schürba, Lorenz, "Die Klotoide als Trassie­ rungselement", Ferd. Dümmlers Verlag, Bonn, 1968).

Der Erfindung liegt die Aufgabe zugrunde, ein Verfahren zur genauen Trassenbestimmung zu schaffen, das eine einfache Herstellung von Hochgeschwindigkeitstrassen mit minimaler Maximalkrümmung ermöglicht. Eine solche Trasse ergibt eine minimale Seitenbeschleunigung und kleinstmöglichen Ver­ schleiß.

Diese Aufgabe ist erfindungsgemäß bei einem Verfahren mit den Merkmalen des Anspruchs 1 gelöst. Vorteilhafte Varianten und Anwendungen des erfindungsgemäßen Verfahrens sind Gegen­ stand der abhängigen und weiteren Ansprüche.

Bei dem erfindungsgemäßen Verfahren für den Bau von Spur­ führungseinrichtungen und Verkehrsbändern für Fahrzeuge, wird somit der Trassenverlauf räumlich durch Anfangs- und Endpunkte bestimmt. Der Trassenverlauf wird mittels einer Verarbeitungseinrichtung unter Anwendung eines Richtungsdif­ ferenzverfahrens bestimmt derart, daß die Trassenkrümmung und Krümmungsänderung vorgegebene Werte für ein stabiles Fahrverhalten der Fahrzeuge nicht überschreiten. Er­ findungsgemäß wird der Trassenverlauf im Gelände durch Tras­ senzwischenpunkte sukzessive festgelegt. Die Trassenzwi­ schenpunkte werden durch Trassenabschnitte verbunden. Be­ stimmte Abstände zwischen den Trassenpunkten und die erste, zweite sowie dritte Richtungsdifferenz werden bei diesem Verfahren so festgelegt, daß sie die vorgegebenen Zwangs­ punkte enthalten.

Bei dem erfindungsgemäßen Trassierungsverfahren werden somit Trassen durch die Zwangspunkte gelegt. Jede hat eine Stelle, an der ihre Krümmung am größten ist. Diese Maximalkrümmung ist der Kennwert für die Güte der Trasse, d. h. je kleiner die Maximalkrümmung ist, um so besser ist die Trassengüte. Die Trasse mit der kleinsten Maximalkrümmung ist daher anzu­ streben. Eine äquidistante Punktfolge, die diese Trasse dar­ stellen kann, wird durch das Mikrosehnenpolygon erreicht, das durch alle Zwangspunkte geht und dessen maximale Rich­ tungsänderung am kleinsten ist.

Die Geometrie der Trassenachse durch die Eckpunkte des gleichseitigen Sehnenpolygons wird durch die Seitenlänge AN = Δ L, die Richtungsdifferenz DRI = Δ τ und die Änderung der Richtungsdifferenz D2RI = Δ² τ beschrieben.

Das erfindungsgemäße Trassierungsverfahren zeichnet sich durch eine außerordentlich hohe Genauigkeit aus. Es ist z. B. möglich, die Trassierung einer Kreisbahn mit 400 km Umfang mit einer Genauigkeit von ca. 5 µm im Anfangs/Endpunkt der Trassierung durchzuführen.

Ein Vergleich des Verfahrens mit Tafeln der Fresnelschen Integralen zeigte: Die Vergleichsrechnung über äquidistante Punkte mit konstanter zweiter Differenz der Richtung gemäß Erfindung brachte in allen Fällen bis zu den größten Bogen­ längen und bis zur letzten Stelle die Werte, die in den ver­ öffentlichten Tafeln der Fresnelschen Integrale stehen.

Die Einfachheit der erfindungsgemäßen Trassenbestimmung be­ ruht darauf, daß die Trassenelementpunkte durch die Hypo­ tenusen rechtwinkliger Dreiecke festgelegt werden (vgl. Fig. 3), wobei gemäß einer bevorzugten Ausführungsvariante die Punkte in äquidistanten Abständen angeordnet werden. Dabei liegen die Knickpunkte des bestimmten Sehnenpolygons auf der Bahnkurve. Die gewählten kleinen Seitenlängen des Mikroseh­ nenpolygons ermöglichen einen glatten Kurvenanschluß. Da die Zwangspunkte gleichzeitig die erwähnten Knickpunkte sind, kommt es zu einem glatten Verlauf der auf das Fahrzeug wir­ kenden Fliehkräfte. D.h. die zur Wirkung gelangenden Flieh­ kräfte sind minimal. Dies führt im Fall einer Bahntrasse zu einer minimalen Gleisbeanspruchung.

Das erfindungsgemäße Verfahren macht von einer Interpolation zwischen den Zwangspunkten Gebrauch, wobei die Krümmung und Krümmungsänderung zwischen den Zwangspunkten gesetzmäßig ge­ steuert wird. Bei herkömmlich verwendeten Polynomapproxi­ mationen kann es hingegen zu funktionsbedingten Abweichungen (Welligkeit, Ausbrechen) zwischen den Stützpunkten kommen und die Krümmung kann an manchen Stellen sehr groß werden. Dies würde wiederum zu Ungewünschten Stößen und Beanspruch­ ungen bei der Fahrdynamik führen.

Gemäß einer Variante des erfindungsgemäßen Verfahrens werden Richtung und Krümmung der Trasse bzw. Oberfläche in einem Zwangspunkt durch den Kreis bestimmt, der durch den Zwangs­ punkt und seine beiden Zwangspunktnachbarn geht. Der Kreis durch den Zwangspunkt und seine beiden Zwangspunktnachbarn ist die Linie kleinster, maximaler Krümmung, die durch diese drei Zwangspunkte geht, d. h. die Linie mit kleinstem, maxi­ malen Lenkradanschlag und damit größter Fahrstabilität und kleinstem Verschleiß.

Die Funktion des erfindungsgemäßen Verfahrens wird nachste­ hend anhand der Digitalisierung der Krümmung der ermittelten Trasse mittels Richtungsdifferenzen weiter erläutert.

Auf einer fertiggestellten kontinuierlich gekrümmten glatten Trassenachse kann man mit dem Meßband Punkte markieren, die voneinander immer denselben räumlichen Abstand AN von z. B. 5m haben. Diese räumlichen Äquidistanzpunkte könnten ohne weiteres zur üblichen punktweisen Absteckung der Trassen­ achse benutzt werden. Untereinander sind sie durch ein gleichseitiges Sehnenvieleck mit der Seitenlänge AN verbun­ den. Ihre gegenseitige Lage in der Ebene ist durch die Rich­ tungswinkel der gleich langen Sehnen und die Änderung DRI dieser Richtungswinkel von Äquistanzpunkt zu Äquidistanz­ punkt festgelegt. Auf geraden Trassenabschnitten ist diese Richtung unverändert konstant (vgl. Fig. 3). Auf kreisförmi­ gen Trassenabschnitten ändert sich die Richtung nach jedem Sehnenstück AN um den Betrag DRI (vgl. Fig. 4). AN und DRI bestimmen über die Sehnenformel AN = 2*R*sin(DRI/2) die Krümmung und den Radius R des Kreisbogenstücks an dieser Stelle. Das als Zwischenergebnis anfallende DRI ergibt über der Stationierung in geeignetem Maßstab laufend aufgetragen, das Krümmungsbild der Trasse. DRI kann wie der Radius R po­ sitiv und negativ sein. Auf Übergangsbögen der einfachsten Art nimmt die Richtungsänderung nach jeder Sehnenlänge um D2RI zu, wobei nach [H. Heckmann, a.a.O.] D2RI=(AN)²/A² den Parameter A des Übergangsbogens bestimmt (vgl. Fig. 5). Die zweite Änderung der Richtung D2RI kann positiv und nega­ tiv sein.

Mit diesen Richtungswinkeln und ihren Differenzen läßt sich die Trasse im Geraden- und Kreisbereich mathematisch exakt und mit überraschend hoher Rechengenauigkeit bestimmen. Im Übergangsbogenbereich wird die fahrdynamisch sanktionierte Klotoide mit mindestens der Genauigkeit erreicht, die die Praxis haben will, da mehr als siebenstellige Tafeln, mit denen verglichen werden könnte, nicht vorhanden sind. Die mit der zweistufigen Rekursion erzeugte äquidistante Punkt­ folge ist also mindestens so genau wie die von der Praxis verwendete Klotoide. Die auf die Anwendung gerichtete Be­ trachtung kann an dieser Stelle abbrechen.

Wenn man 3., 4., . . . n. Differenzen der Richtung einführt, also die Zahl der Stufen der Rekursion entsprechend erhöht, gelangt man zu Übergangsbögen höherer Ordnung, bei denen sich die Drehgestelle der Eisenbahnwagen weich zu drehen be­ ginnen. Die Gleise verschleißen dadurch weniger. Im FORTRAN- Programm ist das jeweils eine zusätzliche Zeile in der Krüm­ mungskaskade.

Eine weitere Überprüfung des erfindungsgemäßen Trassierungs­ verfahrens wurde anhand der Cornu-Spirale vorgenommen.

Bei der in der Fresnelschen Beugungstheorie wichtigen Cornu- Spirale ist die Krümmung der vom Windungspunkt aus gemesse­ nen Bogenlänge proportional. Die Cornu-Spirale ist eine Klo­ toide mit dem Speziellen Parameter A=1/√ ≈ 0,5642. Sie gilt als besonders elegante Darstellung der "sehr ausgiebig un­ tersuchten" Fresnelschen Integrale [Born, M.: Principles of Optics, Pergamon Press Oxford, U.K., 1989; Hecht, E.: Op­ tics, Addison-Wesley, Reading, MA 1990]

Integrationsvariable l, obere Integrationsgrenze L.

Zu diesem Zweck wurden eine Einheitsklotoide und Cornu-Spi­ rale mit Richtungsdifferenzen gezeichnet. Das dazu nötige FORTRAN-Quellenprogramm ist 14 Zeilen lang. Es erzeugt die für den Plotter erforderlichen Steuerbefehle in Hewlett- Packard Graphics Language (HP-GL):

Beim Produktionslauf sendet dieses Programm über die seri­ elle Schnittstelle COM1 an den HP 7586 DIN A0-Plotter fol­ gende Befehle in HP-GL:

Wie in Fig. 6 veranschaulicht ist, entsteht eine Spirale von ästhetischem Ebenmaß, die die Leistungsfähigkeit des Rich­ tungsdifferenzenverfahrens erkennen läßt.

Die Flexibilität von Anwendungen mit vorgegebenen Richtungs­ differenzen höherer Ordnung veranschaulicht Fig. 7 am Bei­ spiel einer Hyperklotoiden für die dritte Richtungsdiffe­ renz.

Das erfindungsgemäße Verfahren eignet sich insbesondere zur Herstellung von Hochgeschwindigkeits-Trassen (Schnell- und Straßenbahnen), einschließlich Schienen, Weichen und von sonstigen Spurführungseinrichtungen schienengebundener Transportmittel, deren Achs- und Oberflächenkoordinaten mit­ tels des Verfahrens der programmgesteuert gekoppelten Rich­ tungsdifferenzen berechnet werden. Dies gilt besonders dann, wenn dritte und höhere konstante, aber auch funktionsabhän­ gige Richtungsdifferenzen Verwendung finden. Weitere Anwen­ dungen sind die Herstellung von Straßenachsen, die Randab­ grenzungen von Straßen sowie sonstige spurgeführte Verkehrs­ bänder, soweit das Richtungsdifferenzenverfahren bei Entwurf und Herstellung verwendet wird. Besondere Vorteile ergeben sich bei enger Bebauung und vielen Zwangspunkten.

Noch weitere Möglichkeiten des erfindungsgemäßen Verfahrens ergeben sich, wenn zusätzlich die vierte und/oder höhere Richtungsdifferenz vorgegeben werden, wobei sich noch die Alternative einer funktionsabhängig bestimmten Richtungsän­ derungsdifferenz ergibt. Schon durch die Vorgabe einer kon­ stanten vierten Differenz kommt es zu einer Vielfalt neuer Anwendungsmöglichkeiten.

Weitere Variationsmöglichkeiten des erfindungsgemäßen Ver­ fahrens umfassen, daß die n-te Differenz der Richtung kon­ stant ist. Auf diese Weise können als Streckenabschnitte Ge­ raden, Kreise, Klotoiden, Hyperklotoiden, etc. gebildet wer­ den. Andererseits können die Richtungsdifferenzen auch funk­ tionsabhängig variiert werden. Ebenso können die Abstände zwischen den Punkten zur Festlegung des Trassenverlaufs va­ riiert werden. Die Werte- bzw. Parametervorgabe kann dabei von Streckenabschnitt zu Streckenabschnitt geändert werden.

Durch die Erfindung ist des weiteren mit Anwendung des Rich­ tungsdifferenzverfahrens ein Verfahren zur Konstruktion von Gegenständen unter Verwendung eines CAD-Systems geschaffen worden. Bei diesem wird die Oberfläche und/oder Form eines herzustellenden Gegenstandes unter Verwendung eines Rich­ tungsdifferenzverfahrens räumlich festgelegt, wobei be­ stimmte Abstände zwischen den Oberflächenzwischenpunkten und die erste, zweite bis n-te Richtungsdifferenz festgelegt werden.

Hierbei ergeben sich aufgrund der hohen Genauigkeit der Ap­ proximation überraschende Formgebungsmöglichkeiten. Es kann jede beliebige gekrümmte Linie und Fläche mit höchster Ge­ nauigkeit realisiert werden. Nichtgleichmäßige Krümmungen, wie sie sich bei der Interpolation mit kubischen Splines er­ geben (vgl. Fig. 1 aus G. Pomaska, "Computergrafik . . . ", Seite 108, Vogel-Verlag, Würzburg, 1984), entfallen.

Das erfindungsgemäße Konstruktionsverfahren findet vorteil­ haft Anwendung bei der Herstellung von ebenen und räumlichen Industrieerzeugnissen wie Karosserieteilen z. B. von Kraft­ fahrzeugen und Flugzeugen, deren Oberflächen und Begrenzun­ gen aus gekrümmten ebenen und räumlichen Kurven und Flächen bestehen, deren Linienführung und Flächen mit dem Richtungs­ differenzenverfahren bei Entwurf oder Herstellung berechnet wurden. Als besonders zweckmäßig erweist sich das Verfahren, wenn das Richtungsdifferenzenverfahren zur Steuerung von Herstellungsautomaten Verwendung findet.

Dabei werden mit dem Richtungsdifferenzenverfahren beim Ent­ wurf und der Herstellung schrittweise x, y Koordinaten oder Polarkoordinaten der herzustellenden Linien in fast beliebi­ ger Dichte und fast beliebig kleinem Punktabstand berechnet und zur Steuerung des Herstellungsablaufes verwendet. Die Hereinnahme der dritten Koordinate z ermöglicht die Ausdeh­ nung auf die Beschreibung und Herstellung räumlicher Gebil­ de.

Eine sehr vorteilhafte Anwendung der Erfindung besteht in der Verwendung des erfindungsgemäßen Verfahrens für CNC- Steuerungen. Durch die so ermöglichte hohe Genauigkeit kön­ nen neue Gegenstände mit komplizierterer Formgebung gefer­ tigt werden bzw. die Fertigungskosten aufgrund des geringe­ ren Rechenaufwandes und Maschinenverschleißes gesenkt wer­ den.

Sehr vorteilhaft kann das erfindungsgemäße Verfahren zur EDV-gesteuerten Herstellung von Prothesen eingesetzt werden.

Die Erfindung ist in der beiliegenden Zeichnung sowie der nachfolgenden Beschreibung mit Tabellenanhang weiter veran­ schaulicht. In der Zeichnung zeigen:

Fig. 1 eine Darstellung einer durch Spline-Interpolation appoximierten Archimedischen Spirale,

Fig. 2 eine schematische Veranschaulichung der erfindungs­ gemäßen Festlegung von Streckenabschnitten für ei­ nen Trassenverlauf,

Fig. 3 ein Beispiel für die Bestimmung eines Trassenele­ mentes, das eine Gerade darstellt, mittels des Richtungsdifferenzverfahrens,

Fig. 4 ein Beispiel für die Bestimmung einer Trasse anhand eines Kreisbogens mittels des Richtungsdifferenz­ verfahrens,

Fig. 5 ein Beispiel für die Kombination einer Geraden, ei­ nes Übergangsbogens und eines Kreises mittels des Richtungsdifferenzverfahrens,

Fig. 6 ein Beispiel einer mittels des Richtungsdifferenz­ verfahrens entwickelten Cornu-Spirale,

Fig. 7 eine Realisierung einer Hyperklotoide,

Fig. 8 eine Veranschaulichung einer weiteren Variante der erfindungsgemäßen Trassierung und

Fig. 9 die Kreise durch die Zwangspunkttripel Z_i-1, Z_i, Z_i+1.

Im folgenden werden Fig. 2, 8 und 9 erläutert.

Fig. 2 veranschaulicht die erfindungsgemäße Bestimmung der Trasse. Vorgegeben sind Ort, Richtung und Krümmung im An­ fangspunkt A und Endpunkt E sowie die sogenannten Zwangs­ punkte Z₂, Z₃, . . . , durch die die Trasse zu führen ist, wo­ bei die Anfangs- und Endpunkte zugleich die Zwangspunkte Z₁ und Z_n sind. Der strichpunktierte Polygonzug durch die Zwangspunkte zeigt bereits die Richtungsänderungen, die die Trasse durchlaufen muß. Unter Zuhilfenahme des Richtungs­ differenzverfahrens werden dann Trassenelemente bestimmt, deren maximale Krümmung kleinstmöglich ist, um die unge­ wünschten Seitenbeschleunigungsänderungen und damit den Ver­ schleiß etc. auf ein Minimum herabzusetzen. Das gesuchte Trassenelement zwischen zwei Zwangspunkten ist mit ausgezo­ gener Linie dargestellt. Das Trassenelement ist wiederum für den Trassenbau in Abschnitte unterteilt, die jeweils zwei Trassenzwischenpunkte A₁, A₂; A₂, A₃, . . . verbinden und ein zweites, feineres Mikrosehnenpolygon bilden. Die Seitenlänge dieses Mikrosehnenpolygons ist z. B. 1 m und erlaubt ein di­ rektes Abstecken der Trasse im Gelände.

Fig. 8 veranschaulicht die erfindungsgemäße Trassierung für den Fall, daß durch jeweils drei benachbarte Zwangspunkte Z_i-1, Z_i, Z_i+1; Z_i, Z_i+1, Z_i+2 jeweils ein Kreisbogen mit Mittelpunkt M₁, M₂ und Radius r_i, r_i+1 gelegt wird. Die Tan­ gente T₁, T₂ im mittleren Zwangspunkt Z_i, Z_i+1 liefert dann die Trassenrichtung in diesem Zwangspunkt. Die durch die beiden Zwangspunkte Z₁, Z₂ gelegte Kurve mit derselben Stei­ gung wie die Tangenten T₁, T₂ und mit minimaler Krümmungs­ änderung ist das gesuchte Trassenelement. Wie die ent­ sprechende durchgezogene Linie in Fig. 8 zeigt, handelt es sich in diesem Fall bei dem Übergangsbogen zwischen den bei­ den Kreisabschnitten um eine Klotoide. Das Trassenelement wird schließlich in den bereits erwähnten Mikropolygonzug mit der für den Bau erforderlichen Sehnenlänge unterteilt. Dies ist in Fig. 8 nicht dargestellt.

In Fig. 9 sind die Kreise durch die Zwangspunkttripel Z_i-1, Z_i, Z_i+1 gezeigt, die linienförmige Gebiete ausschneiden, in denen die beste Trasse liegt, und für diese im mittleren Zwangspunkt Z_i Richtung und Krümmung angeben.

Zu Fig. 3 bis 7 erfolgt untenstehend keine weitere Erläute­ rung und Beschreibung. Vielmehr wird zur Vermeidung von Wie­ derholungen auf die Ausführungen in der Beschreibungseinlei­ tung verwiesen.

Das erfindungsgemäße Herstellungsverfahren wird weiter an­ hand des nachfolgend wiedergegebenen Quellenprogramms für einen Trassenalgorithmus veranschaulicht, das die Bestimmung einer äquidistanten Punktfolge mit konstanter n-ter Rich­ tungsdifferenz zum Gegenstand hat.

Als FORTRAN 77-Quellenprogramm hat der Trassenalgorithmus die folgende Form:

Abspeichern, übersetzen, linken. Aufruf des Produktions­ laufs. Eingabe der Anfangswerte im gewählten FORMAT.

<ENTER< oder 9.99 <ENTER< neues D2RIGO und <ENTER< DRIGO wird mit D2RIGO in zwei oder mehr Schritten geändert. Im Kreis macht man D2RIGO zu Null. Beendigung durch Abschalten, Warmstart oder <Ctrl+C<.

Dieser Algorithmus erzeugt eine äquidistante Punktfolge mit konstanter n-ter Differenz der Richtung nach der unten auf­ geführten n-stufigen Rekursion. In ihr sind die Richtungen RIGO in Gon und RIBO im Bogenmaß durch T bezeichnet (T = RIBO)

y_i+1 = y_i + AN _* sin τ_i
τ_i = τ_i-1 + Δτ_i,i-1
Δτ_i,i-1 = Δτ_i-1,i-2 + Δ²τ
etc.
x_i+1 = x_i + AN _* cos τ_i
mit den Anfangswerten y₀, x₀, AN, τ₀, τ₀, Δ²τ.

Δ²τ=0 bedeutet n=2 den (einfachsten) Übergangsbogen. Δ²τ=0 und Δτ= 0 bedeutet n=1 konstante Richtungsän­ derung, also Punkte auf dem Kreis. Δτ= 0 bedeutet τ₀=τ_i und damit unveränderliche Richtung, also Gerade.

Im folgenden werden Betrachtungen zur numerischen Stabilität des erfindungsgemäßen Verfahrens anhand von kreisförmigen Trassen angestellt.

Nachdem gezeigt war, daß der Trassenalgorithmus über Rich­ tungsdifferenzen genau dieselben Zahlenwerte liefert wie die Klotoide über Reihenentwicklungen, interessierte die numeri­ sche Stabilität des Zusammenwirkens so vieler Differenz­ schritte. Da Kreise in sich selbst zurückkehren, kann an ih­ nen die numerische Stabilität der Trasse über lange Strecken besonders gut geprüft werden.

Das gleichseitige Vieleck bei der kreisförmigen Trasse ist ein Polygonzug mit sehr vielen sehr kurzen Seiten. Dieser Polygonzug ist jedoch frei von Zentrierfehlern und verhält sich daher anders als ein Polygonzug im Gelände.

Ein Überblick über die Testrechnungen zeigt: Wenn alle Va­ riablen und Konstanten mit DOUBLE PRECISION arbeiten, dem Algorithmus insbesondere π und mit 16 signifikanten Stellen zur Verfügung gestellt werden, kehren die mit Richtungsdif­ ferenzen gerechneten Kreise noch nach über 100 km und über 100 000 Differenzschritten mit feinmechanischer Präzision in sich zurück. Damit wiederholt sich eine Erfahrung, die schon bei der Nachrechnung der Tabellen der Fresnelschen Integrale überrascht hat: Der Algorithmus hat eine große numerische Stabilität.

Die numerische Stabilität ist das Ergebnis des Zusammenwir­ kens von Rechenalgorithmus und Rechenanlage. Verwendet wurde ein IBM Personal System/2 Modell 80X21 mit 80387 Math. Co- Prozessor und IBM FORTRAN/2 Compiler. Dieser Compiler wickelt alle Berechnungen über den Co-Prozessor 80387 im Format "temporary real" ab, gleichgültig welcher Datentyp das Argument oder das Resultat hat [IBM 1987 D-13,14]. Die 8 Register des 80387 für "temporary real" haben 80 Bit, 64 da­ von sind Mantisse, 1 ist Vorzeichen, 15 sind Exponent. 64 Bit bedeutet 19 dezimale Stellen [Sargent, M., Shoemaker, R.: The IBM Personal Computer from the inside out, Seite 162, Addison-Wesley 1988]. Mit dieser Genauigkeit werden zum Argument X über den partiellen Tangens FPTAN(X) zwei Werte A und B gebildet, so daß TAN(X)=A/B ist. C=SQRT(A*A+B*B), SIN(X)=A/C und COS(X)=B/C entsteht in den Registern des 80387 mit 19 signifikanten dezimalen Stellen. Für DOUBLE PRECISION werden diese Werte auf 16 dezimale Stellen (8 Bytes Hex) gerundet.

Jeder Sinus- und Cosinuswert hat damit einen Fehler δ mit -0,5_*10^-16δ+0,5_*10^-16=ε. Wird mit dem Algorithmus von A zum Nachbarpunkt N mit DY = AN*sinτ und DX = AN*cosτ weitergerechnet, so hat jeder der beiden Koordinatenunter­ schiede einen maximalen Fehler von AN*ε und die relative Punktlage von A und N einen solchen von AN*ε*√.

Rechnet man jedoch A und N vom Kreismittelpunkt aus, mit y=r*sinτ und x=r*cosτ, so ist die Klaffung für A und N je­ weils maximal r*ε*√, was für AN im ungünstigsten Fall r*ε*√_*2 ergibt. Die Relation für die Nachbargenauigkeit beider Berechnungswege verhält sich wie (AN*ε*√)/(r*ε*2*√ =AN/2r. Bei r=60 km und AN=1 m ist das ein Verhältnis von 1/120 000. Der mit dem Richtungsalgorithmus über seinen Rand gerechnete Kreis hat die besseren Nachbarschaftseigenschaf­ ten. Er ist runder.

Claims (15)

1. Verfahren für den Bau von durch Ort, Richtung und Krüm­ mung im Anfangs- und Endpunkt (A, E) sowie durch vorgegebene Zwangspunkte (Z₁, Z₂, . . . ) verlaufenden Spurführungsein­ richtungen und Verkehrsbändern für Fahrzeuge, bei dem mit­ tels einer Verarbeitungseinrichtung der Trassenverlauf unter Anwendung eines Richtungsdifferenzverfahrens bestimmt wird derart, daß die Trassenkrümmung und Krümmungsänderung vorge­ gebene Werte für ein stabiles Fahrverhalten der Fahrzeuge nicht überschreiten, der Trassenverlauf im Gelände durch Trassenzwischenpunkte (A, A₁, A₂, . . . ) sukzessive festgelegt wird und die Trassenzwischenpunkte durch Trassenabschnitte (A, A₁; A₁, A₂; . . . ) verbunden werden, wobei bestimmte Ab­ stände zwischen den Trassenzwischenpunkten und die erste, zweite sowie dritte Richtungsdifferenz so festgelegt werden, daß sie die vorgegebenen Zwangspunkte (Z₁, Z₂, . . . ) enthal­ ten.

2. Verfahren zur Konstruktion von Gegenständen unter Ver­ wendung eines CAD-Systems, dadurch gekennzeich­ net, daß die Oberfläche und/oder Form eines herzustel­ lenden Gegenstandes unter Verwendung eines Richtungsdiffe­ renzverfahrens mittels Oberflächenzwischenpunkten räumlich festgelegt wird, wobei bestimmte Abstände zwischen den Ober­ flächenzwischenpunkten und die erste, zweite sowie dritte Richtungsdifferenz festgelegt werden.

3. Verfahren nach Anspruch 1 oder 2, dadurch ge­ kennzeichnet, daß die Trassenabschnitte (A, A₁; A₁, A₂; . . . ) bzw. Abschnitte zwischen den Oberflächenzwi­ schenpunkten Geradenstücke sind, wobei die Abschnitte anein­ ander gereiht einen Polygonzug ergeben.

4. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 3, dadurch gekennzeichnet, daß die Trassen- bzw. Ober­ flächenzwischenpunkte zur Festlegung des Trassen- bzw. Ober­ flächenverlaufs in äquidistanten Abständen angeordnet wer­ den.

5. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 4, dadurch gekennzeichnet, daß zusätzlich die vierte und/oder höhere Richtungsdifferenz vorgegeben werden.

6. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 5, dadurch gekennzeichnet, daß die n-te Differenz der Richtung konstant ist.

7. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 6, dadurch gekennzeichnet, daß die Abstände zwischen den Trassen- bzw. Oberflächenzwischenpunkten variiert werden.

8. Verfahren nach einem der Ansprüche 1, 3 bis 7, dadurch gekennzeichnet, daß die Trassenzwischenpunkte direkt zur punktweisen Absteckung der Trassenachse verwendet werden.

9. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 8, dadurch gekennzeichnet, daß die Richtungsdifferenzen insbesondere funktionsabhängig variiert werden.

10. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 9, dadurch gekennzeichnet, daß die Richtung der Trasse bzw. der Oberfläche in einem Zwangspunkt (Z_i) durch die Richtung der Tangente eines Kreises gegeben ist, der durch den Zwangspunkt (Z_i) und dessen beide benachbarte Zwangs­ punkte (Z_i-1, Z_i+1) verläuft.

11. Verfahren nach einem der Ansprüche 1 bis 10, dadurch gekennzeichnet, daß die Streckenabschnitte (A, A₁; A₁, A₂; . . . ) als miteinander verbundenen Mikro-seh­ nenpolygone durch die Zwangspunkte (Z₁, Z₂, . . . , Z_n) ausge­ führt werden, deren maximale Richtungsänderung ein Minimum ist.

12. Verwendung des Verfahrens nach einem der Ansprüche 1, 3 bis 11 zum Bau von Schienentrassen von der Hochgeschwindig­ keitstrasse bis zur Straßenbahntrasse.

13. Anwendung des Verfahrens nach einem der Ansprüche 2 bis 10 auf CNC-Steuerungen.

14. Verwendung des Verfahrens nach einem der Ansprüche 2 bis 10 zur Herstellung von Karosserieteilen, Werkstücken, Motorteilen sowie von Industriedesign.

15. Verwendung des Verfahrens nach einem der Ansprüche 2 bis 10 zur Herstellung von Prothesen.