CN113900377A - 双转子气动系统点对点迭代学习最小能量控制方法 - Google Patents

Abstract

本发明公开了一种双转子气动系统点对点迭代学习最小能量控制方法，涉及直流电动机优化控制领域，该方法基于提升技术将重复运行的双转子气动系统转换为时间序列的输入输出矩阵模型，选取M个跟踪时间点作为变量，提出点对点迭代学习控制的最小能量问题设计框架，并基于该框架设计了一种范数优化点对点迭代学习控制与坐标下降法结合的控制算法来解决这个优化问题。此外，当系统模型存在不确定性时，分析所设计最小能量控制算法的鲁棒性。该方法也可以拓展到输入输出约束系统中，在实现点对点跟踪任务的同时，达到最小输入能量的目的。

Description

双转子气动系统点对点迭代学习最小能量控制方法

技术领域

本发明涉及直流电动机优化控制领域，尤其是双转子气动系统点对点迭代学习最小能量控制方法。

背景技术

直流电动机是一种将直流电转换为机械能的转动装置，具有变流装置简单、调速性能好、运行性能优良等特点，在工业制造领域中得到广泛的应用。

针对执行重复运动任务的直流电动机，迭代学习控制具有良好的控制性能，迭代学习控制的原理是：使用之前批次的输入输出信息，不断修正当前批次的控制输入，从而在有限的时间能实现对期望轨迹的完全跟踪。然而在很多情况下，往往并不需要跟踪完整的轨迹，只需要在关键点处满足跟踪要求即可，这就是点对点跟踪问题。一方面，如果结合状态反馈和前馈的Riccati方程来设计控制律，那么复杂的计算可能会使系统来不及响应。另一方面，点对点跟踪问题对于输出的要求不高，会给设计带来潜在优化的可能，比如减少系统能量的损耗、减小机器人运动的加速度。因此，在点对点跟踪问题中，进行最小能量控制方法设计的研究是很有意义的。

此外，在迭代学习控制的过程中，由于存在输入输出约束时，会使最小能量控制算法的效果不理想，因此需要设计相应的机制来消除输入输出约束的影响，从而实现对期望跟踪点的完全跟踪。

发明内容

本发明人针对上述问题及技术需求，提出了双转子气动系统点对点迭代学习最小能量控制方法，在不考虑扰动的作用下，通过前馈设计的范数优化点对点迭代学习控制律更加实用；以跟踪时间点为变量，通过范数优化点对点迭代学习控制与坐标下降方法相结合，在满足跟踪要求的同时，实现最小能量的目的。同时当建立的模拟模型不够准确时，鲁棒性会是一个严重问题，以及当存在输入输出约束时，也会对系统有不小的影响。

本发明的技术方案如下：

双转子气动系统点对点迭代学习最小能量控制方法，包括如下步骤：

第一步、建立双转子气动系统的动态模型：

动态模型采用动力学方程表示，描述了直流电动机输入电压u_ψ,u_θ和系统俯仰角ψ与方位角θ之间的转化关系，建立如式(1)所示的实际物理模型：

其中，

K_g＝(m_ml_m-m_tl_t)cos(θ)+2m_cωl_cωsin(θ)；l_m表示主旋翼离原点的距离，l_t表示尾翼离原点的距离，m_m表示旋转梁的主体配重，m_t表示旋转梁的尾部配重，m_cω和l_cω分别表示杠杆两端的质量和相应的杠杆长度，J_z和J_x分别表示旋转梁相对于固定z轴与x轴的转动惯量，g表示重力加速度，K_ψ表示阻尼系数，C_ψ、C_θ分别表示系统俯仰角ψ与方位角θ对应的弹簧参数值；

第二步、构建双转子气动系统的离散状态空间方程：

将系统俯仰角、俯仰角的导数、方位角和方位角的导数定义为状态变量：

定义输入变量为直流电动机输入电压u＝[u_ψ u_θ]^T，输出变量为系统俯仰角与方位角y＝[ψ θ]^T，f表示光滑非线性函数的向量，则式(1)所示的双转子气动系统描述为：

y＝[ψ θ]^T

对于式(2)所示的非线性的连续系统模型，利用Jacobian线性化方法在平衡点ψ＝ψ_o＝0[rad]和θ＝θ_o＝0[rad]处得到线性化模型，再对其进行离散化，选取满足香农采样定理采样周期T_s，得到双转子气动系统的离散状态空间方程如下：

式中t和k分别代表采样时间和批次，批次过程的运行周期为T；在每个重复过程周期内，对于时间点t∈[0，T]取N个采样点；

和

分别是离散状态空间系统的第k批次t时刻的输入、输出和状态向量；A，B，C为式(3)中离散系统各个参数矩阵，且满足CB≠0，并且假设系统每个批次的初始状态一致，令x_k(0)＝0；

第三步、建立双转子气动系统提升模型：

针对式(3)形式的线性离散系统，将其状态空间方程转换为时间序列的输入输出矩阵模型：

y_k＝Gu_k (4)

其中：

是时间序列上的输入输出传递矩阵；输入输出的内积及相关的诱导范数定义为：

其中，权矩阵R和S为适当维度的实正定矩阵；

第四步、提出点对点迭代学习控制设计框架：

与传统的迭代学习控制方法不同的是，点对点跟踪问题只需要跟踪一些关键跟踪时间点处的参考值。选取在运行过程中的当前运行批次中的M个跟踪时间点，定义为t_i,i＝1,…,M，跟踪时间点分布定义为Λ：

Λ＝[t₁,t₂,…,t_M]^T∈Θ (7)

其中：

点对点的参考轨迹r^p是从完整的参考轨迹r中提取的：

r^p＝[r(t₁)^T,r(t₂)^T,...,r(t_M)^T]^T (9)

点对点的输出信号

和跟踪误差

与式(9)有同样的表达式：

为了将一个信号转换为其点对点形式，引入一个转换矩阵

为M行N列的分块矩阵，使得r^p＝Ψr，

当第i个采样时刻t_i为关键跟踪时间点时，转换矩阵第i行的所有N个元素除了j＝t时为单位矩阵(l×l)其余全是零矩阵，Ψ的表达式为：

其中，Ψ_ij为转换矩阵Ψ中的第i行第j列的元素；

基于式(4)，推导出点对点双转子气动系统的提升模型为：

其中，

第五步、提出点对点迭代学习控制的最小能量问题设计框架：

在已有的点对点迭代学习控制框架中，跟踪时间点分布Λ通常被认为是先验已知的信息，系统在跟踪时间点处的潜在优化问题并没有得到广泛的探索，比如说最小化输入能量问题。

选择控制能量作为目标代价函数：

最小能量的设计目的是迭代地寻找一个输入信号u_k，相应的输出y_k，以及一个跟踪时间点分布Λ_k，满足：

其中，y^*表示准确地经过点对点的参考轨迹r^p，同时u^*，Λ^*是如下问题的优化解：

通过先优化输入信号u，再优化跟踪时间点分布Λ，将优化问题(16)分为两个优化问题：

其中，u^*(Λ)是优化问题(17)的解析解；由于目标代价函数(14)是凸函数，所以可以保证解析解u^*(Λ)是唯一的全局最优解；

第六步、设计点对点迭代学习最小能量控制算法：

根据第五步中提出的设计框架，只需设计跟踪时间点分布Λ的优化方法，即可导出点对点跟踪问题的迭代学习最小能量控制算法；为了满足实际工业问题设计要求，此处考虑了跟踪误差及控制信号批次间变化，设计如下性能指标：

跟踪误差及控制信号批次间变化的内积及相关的诱导范数由式(5)和式(6)导出：

其中权矩阵Q是与S维度不同的实正定矩阵；

针对具有性能指标(19)的ILC问题，采用如下范数优化迭代学习控制律解决：

为了获取稳态控制输入，令k→∞，并且初始的输入信号u₀＝0，则：

为了解决优化问题(17)，引入Language乘子λ，构造Language函数：

令u^*(Λ)为Language函数的全局最优解，则：

将

代入式(25)，则：

当且仅当

不等式(26)成立，并且满足跟踪条件

则有：

由范数优化迭代学习控制律生成的稳态控制输入u_∞就是优化问题(17)的全局最优解u^*(Λ)；

将优化问题(17)的全局最优解表达式(23)代入优化问题(18)，则有：

由于集合Θ在离散系统中是有限的，令初始跟踪时间点分布为Λ₀，所以优化问题(28)通过坐标下降法解决：

其中

表示坐标下降的次数；每个跟踪时间点经过函数

更新：

其中

是如下优化问题的解：

基于式(29)生成的序列{h(Λ_j)}，向下收敛到极限h^*；

给定线性离散时不变系统，初始跟踪时间点分布Λ₀以及集合Θ，点对点的参考轨迹r^p，选定权矩阵Q和R，趋近于零的常数ε>0和δ>0，则点对点迭代学习最小能量控制算法设计如下：

步骤6.1：初始跟踪时间点分布为Λ₀时，执行范数优化迭代学习控制律(22)直到系统收敛，即

记录稳态控制输入u^*(Λ₀)以及初始控制能量

步骤6.2：执行坐标下降法(29)，令j→j+1；

步骤6.3：令跟踪时间点分布Λ＝Λ_j时，执行范数优化迭代学习控制律(22)直到系统收敛，即

记录稳态控制输入u^*(Λ_j)以及相应的控制能量

步骤6.4：重复执行步骤6.2和步骤6.3，直到|h(Λ_j)-h(Λ_j-1)|<δ|h(Λ_j-1)|；

步骤6.5：记录最优跟踪时间点分布Λ^*以及相应的最小能量

第七步、分析点对点迭代学习最小能量控制算法的鲁棒性：

在实际应用中，由于设备老化、测量误差等原因，实际模型

与标称模型G之间存在偏差。考虑乘性不确定性对系统的影响，输入输出传递矩阵的实际模型如下：

其中，未知矩阵Δ表示模型不确定性，并且满足条件：

则由范数优化迭代学习控制律(22)生成的误差序列

单调收敛到零，即：

其中，η<1表示

的谱半径；

当误差收敛到零时，跟踪设计目标写成：

其中，

表示控制律作用于实际模型生成的稳态控制输入，通过测量获得，实际模型对应的点对点参考轨迹

也是基于测量数据生成的：

如果G(I+Δ)仍然是满秩，并且

的下界σ-非零，则将式(35)写成：

有上界

则将式(36)写成：

结合式(37)和式(38)：

代价函数h(Λ)有上界η，则：

第八步、设计输入输出约束下的点对点迭代学习最小能量控制算法：

由于实际应用中存在物理限制以及对性能的要求，控制系统中普遍存在着约束条件。以输入输出幅值作为约束条件，形式如下：

其中，t∈[0,N]，

分别表示第i个输入的幅值最小值和幅值最大值，

分别表示第i个输出的幅值最小值和幅值最大值；

当考虑系统约束时，优化问题(16)改写为：

将优化问题(43)分为两个优化问题分别进行求解，与式(17)和式(18)有同样表达式：

其中

是优化问题(44)的解析解；

由于优化问题(44)没有直接的解析解，采用具有连续投影的范数优化迭代学习控制律来解决这个问题；则控制律(22)被替换为：

为了防止约束条件下输出轨迹跟踪不上点对点的参考轨迹r^p，将优化问题(45)中的代价函数改写为：

其中ρ≥0；结合式(45)和式(47)：

当满足跟踪要求

则有：

将式(49)代入式(48)，显然

并且(1-ρ)非负，则有：

代价函数h^*(Λ)有上下界：

优化问题(45)同样通过坐标下降法解决：

其中

表示坐标下降的次数；每个跟踪时间点经过函数

更新：

其中

是如下优化问题的解：

给定线性离散时不变系统，初始跟踪时间点分布Λ₀以及集合Θ，点对点的参考轨迹r^p，选定权矩阵Q和R，输入输出约束的集合Φ和Ξ，趋近于零的常数ε>0和δ>0，则输入输出约束的点对点迭代学习最小能量控制算法设计如下：

步骤8.1：初始跟踪时间点分布为Λ₀时，执行具有连续投影的范数优化迭代学习控制律(46)直到系统收敛，即

通过式(23)计算并记录理论最优的控制输入u^*(Λ₀)以及相应的初始控制能量

实际的稳态控制输入

以及相应的初始控制能量

步骤8.2：执行坐标下降法(52)，令j→j+1；

步骤8.3：令跟踪时间点分布Λ＝Λ_j时，执行具有连续投影的范数优化迭代学习控制律(46)直到系统收敛，即

通过式(23)计算并记录理论最优的控制输入u^*(Λ_j)以及相应的控制能量

实际的稳态控制输入

以及相应的控制能量

步骤8.4：重复执行步骤8.2和步骤8.3，直到|h^*(Λ_j)-h^*(Λ_j-1)|<δ|h^*(Λ_j-1)|；

步骤8.5：记录最优跟踪时间点分布

以及相应的最小能量

本发明的有益技术效果是：

本申请公开了针对双转子气动系统此类具有重复运动特征的线性系统，将该双转子气动系统作为被控对象，针对点对点跟踪任务中能量损耗问题，将范数优化点对点迭代学习控制与坐标下降方法相结合，提出了点对点迭代学习控制的最小能量问题设计框架，并在该框架下设计可实现的迭代学习控制算法，通过坐标下降方法改变跟踪时间点的分布从而减少系统能量损耗。同时，分析了该算法在模型不确定性时的鲁棒性，以及拓展了该算法在输入输出约束系统中的应用。

附图说明

图1是本申请提供的双转子气动系统点对点迭代学习最小能量控制方法的流程框图。

图2是本申请提供的双转子气动系统的惯性参照系图。

图3是本申请提供的双转子气动系统在初始跟踪时间点分布处的实际输出曲线图。

图4是本申请提供的双转子气动系统在初始跟踪时间点分布与最终跟踪时间点分布处的实际输入曲线图。

图5是本申请提供的双转子气动系统在初始跟踪时间点分布与最终跟踪时间点分布处的实际输出曲线图。

图6是本申请提供的双转子气动系统跟踪时间点变化图。

图7是本申请提供的双转子气动系统输入能量变化图。

图8是本申请提供的存在模型不确定性的双转子气动系统跟踪时间点变化图。

图9是本申请提供的存在模型不确定性的双转子气动系统输入能量变化图。

图10是本申请提供的施加输入输出约束下的双转子气动系统在初始跟踪时间点分布与最终跟踪时间点处分布的实际输入曲线图。

图11是本申请提供的施加输入输出约束下的双转子气动系统在初始跟踪时间点分布与最终跟踪时间点处分布的实际输出曲线图。

图12是本申请提供的施加输入输出约束下的双转子气动系统跟踪时间点变化图。

图13是本申请提供的施加输入输出约束下的双转子气动系统输入能量变化图。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的具体实施方式做进一步说明。

如图1所示，第k批次直流电动机的输入信号为u_k，将其作用于双转子气动系统得到第k批次系统的输出信号y_k。针对点对点跟踪问题，将存储在跟踪时间点分布存储器中第j批次的Λ_j作用于转换模块，通过转换模块将输出信号y_k转换成其点对点输出信号

之后，将点对点输出信号

与存储在点对点期望轨迹存储器的设定期望值r^p进行比较，得到点对点跟踪误差

若误差精度没有达到所设定的精度，则将点对点跟踪误差

与当前控制器输入u_k传递到范数优化迭代学习控制器生成下一批次的控制器输入u_k+1，如此循环运行直至系统实际输出与期望值之间的误差达到精度要求，则停止ILC迭代，此时的控制器输入即为最优控制输入u^*(Λ_j)。若最优控制输入没有达到所设定的要求|h(Λ_j)-h(Λ_j-1)|<δ|h(Λ_j-1)|，则将最优控制输入u^*(Λ_j)与当前跟踪时间点分布存储器中的Λ_j作用于坐标下降法生成下一批次的跟踪时间点分布Λ_j+1，如此循环运行直至满足精度要求，则停止坐标迭代，此时的跟踪时间点分布存储器中是最优跟踪时间点分布Λ^*，以及相应的最小输入能量

如图2所示，针对式(1)所示的双转子气动系统实际物理模型，变量参数分别设定为：

l_m＝0.202m,l_t＝0.216m,l_cω＝0.13m,K_ψ＝0.060Nm,C_ψ＝0.008Nm·s,

m_m＝0.054kg,m_t＝0.058kg,m_cω＝0.068kg,C_θ＝0.095Nm·s,

J_x＝0.068kg/m²,J_z＝0.002kg/m²,g＝9.8m/s².

系统仿真时间设定为T＝1s，采样时间设定为T_s＝0.01s，则系统的离散状态空间方程的参数矩阵分别为：

在双转子气动系统运行过程中，需要系统的俯仰角ψ和方位角θ处于几个关键位置。因此，选取7个关键跟踪时间点，点对点期望轨迹设置为：

初始跟踪时间点分布设置为：

Λ₀＝[5,20,35,50,65,80,95]^T

选取权矩阵Q＝5000I,R＝0.1I，并且初始输入u₀＝0。本申请的上述范数优化迭代学习控制器基于STM32F103RCT6芯片上实现，芯片的输入为电机控制电压u，并通过电压传感器采集得到。第k批次的输入信号通过调理电路进入STM32F103RCT6芯片进行存储和计算，第j批次的跟踪时间点分布Λ_j同样存储在芯片中，并构建迭代学习更新律，CPU计算后得到的下一批次输入信号u_k+1，输入信号再经RS232通信模块作用于双转子气动系统，不断修正系统输出跟踪轨迹，直到跟踪上关键跟踪时间点。双转子气动系统的动态模型(1)运行时，请参考图3，其示出了双转子气动系统应用范数优化迭代学习控制律(22)的轨迹跟踪效果图，经过一定批次k后，系统的输出值能准确跟踪上关键跟踪时间点。第j批次最优控制输入u^*(Λ_j)与当前跟踪时间点分布Λ_j作用于坐标下降法生成下一批次的跟踪时间点分布Λ_j+1，不断修正跟踪时间点分布，直到达到最小能量的目的。图4示出了双转子气动系统在初始跟踪时间点分布Λ₀与最终跟踪时间点分布Λ₇₀处的实际输入曲线图，可以直观地看出在最终跟踪时间点分布处的输入能量小于在初始跟踪时间点分布处的输入能量。图5示出了双转子气动系统在初始跟踪时间点分布Λ₀与最终跟踪时间点分布Λ₇₀处的实际输出曲线图，系统的输出满足点对点跟踪任务。图6和图7分别示出了双转子气动系统跟踪时间点变化图与输入能量变化图，跟踪时间点分布存储器中的最优跟踪时间分布Λ^*＝[18,26,39,67,79,87,100]^T，以及相应的最小输入能量

如果存在模型不确定性，标称模型G就不能很好地反映出实际模型

的性质，用下三角未知矩阵Δ表示系统模型的乘性不确定性，该不确定性有上界||Δ||≤1，并且满足条件(33)。图8和图9分别示出了存在模型不确定性的双转子气动系统跟踪时间点变化图与输入能量变化图，跟踪时间点分布存储器中的最优跟踪时间分布

以及相应的最小输入能量

双转子气动系统在实际控制过程中会受到输入输出的影响，本申请考虑对系统施加输入输出幅值约束：

-100≤u_ψ(t)≤180,-15≤u_θ(t)≤40

-1.8≤ψ(t)≤1.8,-0.5≤θ(t)≤0.5

使用控制律(46)实现点对点跟踪任务，设置坐标下降法(52)中的代价函数(47)参数ρ＝0.6。在双转子气动系统运行过程中，图10示出了施加输入输出幅值约束下的双转子气动系统在初始跟踪时间点分布Λ₀与最终跟踪时间点分布Λ₇₀处的实际输入曲线图。图11示出了施加输入输出幅值约束下的双转子气动系统在初始跟踪时间点分布Λ₀与最终跟踪时间点分布Λ₇₀处的实际输出曲线图，系统的输出满足点对点跟踪任务。图12和图13分别示出了施加输入输出幅值约束下的双转子气动系统跟踪时间点变化图与输入能量变化图，跟踪时间点分布存储器中的最优跟踪时间分布

以及相应的最小输入能量

以上所述的仅是本申请的优选实施方式，本发明不限于以上实施例。可以理解，本领域技术人员在不脱离本发明的精神和构思的前提下直接导出或联想到的其他改进和变化，均应认为包含在本发明的保护范围之内。

Claims (1)

1.双转子气动系统点对点迭代学习最小能量控制方法，其特征在于，所述方法包括：

第一步、建立双转子气动系统的动态模型：

所述动态模型采用动力学方程表示，描述了直流电动机输入电压u_ψ,u_θ和系统俯仰角ψ与方位角θ之间的转化关系，建立如式(1)所示的实际物理模型：

其中，

K_g＝(m_ml_m-m_tl_t)cos(θ)+2m_cωl_cωsin(θ)；l_m表示主旋翼离原点的距离，l_t表示尾翼离原点的距离，m_m表示旋转梁的主体配重，m_t表示旋转梁的尾部配重，m_cω和l_cω分别表示杠杆两端的质量和相应的杠杆长度，J_z和J_x分别表示旋转梁相对于固定z轴与x轴的转动惯量，g表示重力加速度，K_ψ表示阻尼系数，C_ψ、C_θ分别表示系统俯仰角ψ与方位角θ对应的弹簧参数值；

第二步、构建所述双转子气动系统的离散状态空间方程：

将系统俯仰角、俯仰角的导数、方位角和方位角的导数定义为状态变量：

定义输入变量为直流电动机输入电压u＝[u_ψ u_θ]^T，输出变量为所述系统俯仰角与方位角y＝[ψ θ]^T，f表示光滑非线性函数的向量，则式(1)所示的双转子气动系统描述为：

y＝[ψ θ]^T

对于式(2)所示的非线性的连续系统模型，利用Jacobian线性化方法在平衡点ψ＝ψ_o＝0[rad]和θ＝θ_o＝0[rad]处得到线性化模型，再对其进行离散化，选取满足香农采样定理采样周期T_s，得到双转子气动系统的离散状态空间方程如下：

式中t和k分别代表采样时间和批次，批次过程的运行周期为T；在每个重复过程周期内，对于时间点t∈[0，T]取N个采样点；

和

分别是离散状态空间系统的第k批次t时刻的输入、输出和状态向量；A，B，C为式(3)中离散系统各个参数矩阵，且满足CB≠0，并且假设系统每个批次的初始状态一致，令x_k(0)＝0；

第三步、建立双转子气动系统提升模型：

针对式(3)形式的线性离散系统，将其状态空间方程转换为时间序列的输入输出矩阵模型：

y_k＝Gu_k (4)

其中：

u_k＝[u_k(0)^T,u_k(1)^T,...,u_k(N-1)^T]^T

y_k＝[y_k(1)^T,y_k(2)^T,...,y_k(N)^T]^T

是时间序列上的输入输出传递矩阵；输入输出的内积及相关的诱导范数定义为：

其中，权矩阵R和S为适当维度的实正定矩阵；

第四步、提出点对点迭代学习控制设计框架：

选取在运行过程中的当前运行批次中的M个跟踪时间点，定义为t_i,i＝1,...,M，跟踪时间点分布定义为Λ：

Λ＝[t₁,t₂,...,t_M]^T∈Θ (7)

其中：

点对点的参考轨迹r^p是从完整的参考轨迹r中提取的：

r^p＝[r(t₁)^T,r(t₂)^T,...,r(t_M)^T]^T (9)

点对点的输出信号

和跟踪误差

与式(9)有同样的表达式：

为了将一个信号转换为其点对点形式，引入一个转换矩阵

为M行N列的分块矩阵，使得r^p＝Ψr，

当第i个采样时刻t_i为关键跟踪时间点时，转换矩阵第i行的所有N个元素除了j＝t时为单位矩阵(l×l)其余全是零矩阵，Ψ的表达式为：

其中，Ψ_ij为转换矩阵Ψ中的第i行第j列的元素；

基于式(4)，推导出点对点双转子气动系统的提升模型为：

其中，

第五步、提出点对点迭代学习控制的最小能量问题设计框架：

选择控制能量作为目标代价函数：

最小能量的设计目的是迭代地寻找一个输入信号u_k，相应的输出y_k，以及一个跟踪时间点分布Λ_k，满足：

其中，y^*表示准确地经过点对点的参考轨迹r^p，同时u^*，Λ^*是如下问题的优化解：

通过先优化输入信号u，再优化跟踪时间点分布Λ，将优化问题(16)分为两个优化问题：

其中，u^*(Λ)是优化问题(17)的解析解；由于目标代价函数(14)是凸函数，所以可以保证解析解u^*(Λ)是唯一的全局最优解；

第六步、设计点对点迭代学习最小能量控制算法：

根据第五步中提出的设计框架，只需设计所述跟踪时间点分布Λ的优化方法，即可导出点对点跟踪问题的迭代学习最小能量控制算法；为了满足实际工业问题设计要求，此处考虑了跟踪误差及控制信号批次间变化，设计如下性能指标：

跟踪误差及控制信号批次间变化的内积及相关的诱导范数由式(5)和式(6)导出：

其中权矩阵Q是与S维度不同的实正定矩阵；

针对具有性能指标(19)的ILC问题，采用如下范数优化迭代学习控制律解决：

为了获取稳态控制输入，令k→∞，并且初始的输入信号u₀＝0，则：

为了解决优化问题(17)，引入Language乘子λ，构造Language函数：

令u^*(Λ)为Language函数的全局最优解，则：

将

代入式(25)，则：

当且仅当

不等式(26)成立，并且满足跟踪条件

则有：

由所述范数优化迭代学习控制律生成的稳态控制输入u_∞就是优化问题(17)的全局最优解u^*(Λ)；

将优化问题(17)的全局最优解表达式(23)代入优化问题(18)，则有：

由于集合Θ在离散系统中是有限的，令初始跟踪时间点分布为Λ₀，所以优化问题(28)通过坐标下降法解决：

其中

表示坐标下降的次数；每个跟踪时间点经过函数

更新：

其中

是如下优化问题的解：

基于式(29)生成的序列{h(Λ_j)}，向下收敛到极限h^*；

给定线性离散时不变系统，初始跟踪时间点分布Λ₀以及集合Θ，点对点的参考轨迹r^p，选定权矩阵Q和R，趋近于零的常数ε>0和δ>0，则点对点迭代学习最小能量控制算法设计如下：

步骤6.1：初始跟踪时间点分布为Λ₀时，执行范数优化迭代学习控制律(22)直到系统收敛，即

记录稳态控制输入u^*(Λ₀)以及初始控制能量

步骤6.2：执行坐标下降法(29)，令j→j+1；

步骤6.3：令跟踪时间点分布Λ＝Λ_j时，执行范数优化迭代学习控制律(22)直到系统收敛，即

记录稳态控制输入u^*(Λ_j)以及相应的控制能量

步骤6.4：重复执行步骤6.2和步骤6.3，直到|h(Λ_j)-h(Λ_j-1)|<δ|h(Λ_j-1)|；

步骤6.5：记录最优跟踪时间点分布Λ^*以及相应的最小能量

第七步、分析所述点对点迭代学习最小能量控制算法的鲁棒性：

考虑乘性不确定性对系统的影响，输入输出传递矩阵的实际模型如下：

其中，未知矩阵Δ表示模型不确定性，并且满足条件：

则由范数优化迭代学习控制律(22)生成的误差序列

单调收敛到零，即：

其中，η<1表示

的谱半径；

当误差收敛到零时，跟踪设计目标写成：

其中，

表示控制律作用于实际模型生成的稳态控制输入，通过测量获得，实际模型对应的点对点参考轨迹

也是基于测量数据生成的：

如果G(I+Δ)仍然是满秩，并且

的下界σ非零，则将式(35)写成：

有上界

则将式(36)写成：

结合式(37)和式(38)：

代价函数h(Λ)有上界η，则：

第八步、设计输入输出约束下的点对点迭代学习最小能量控制算法：

以输入输出幅值作为约束条件，形式如下：

其中，t∈[0,N]，

分别表示第i个输入的幅值最小值和幅值最大值，

分别表示第i个输出的幅值最小值和幅值最大值；

当考虑系统约束时，优化问题(16)改写为：

将优化问题(43)分为两个优化问题分别进行求解，与式(17)和式(18)有同样表达式：

其中

是优化问题(44)的解析解；

由于优化问题(44)没有直接的解析解，采用具有连续投影的范数优化迭代学习控制律来解决这个问题；则控制律(22)被替换为：

为了防止约束条件下输出轨迹跟踪不上点对点的参考轨迹r^p，将优化问题(45)中的代价函数改写为：

其中ρ≥0；结合式(45)和式(47)：

当满足跟踪要求

则有：

将式(49)代入式(48)，显然

并且(1-ρ)非负，则有：

代价函数h^*(Λ)有上下界：

优化问题(45)同样通过坐标下降法解决：

其中

表示坐标下降的次数；每个跟踪时间点经过函数

更新：

其中

是如下优化问题的解：

给定线性离散时不变系统，初始跟踪时间点分布Λ₀以及集合Θ，点对点的参考轨迹r^p，选定权矩阵Q和R，输入输出约束的集合Φ和Ξ，趋近于零的常数ε>0和δ>0，则输入输出约束的点对点迭代学习最小能量控制算法设计如下：

步骤8.1：初始跟踪时间点分布为Λ₀时，执行具有连续投影的范数优化迭代学习控制律(46)直到系统收敛，即

通过式(23)计算并记录理论最优的控制输入u^*(Λ₀)以及相应的初始控制能量

实际的稳态控制输入

以及相应的初始控制能量

步骤8.2：执行坐标下降法(52)，令j→j+1；

步骤8.3：令跟踪时间点分布Λ＝Λ_j时，执行具有连续投影的范数优化迭代学习控制律(46)直到系统收敛，即

通过式(23)计算并记录理论最优的控制输入u^*(Λ_j)以及相应的控制能量

实际的稳态控制输入

以及相应的控制能量

步骤8.4：重复执行步骤8.2和步骤8.3，直到|h^*(Λ_j)-h^*(Λ_j-1)|<δ|h^*(Λ_j-1)|；

步骤8.5：记录最优跟踪时间点分布

以及相应的最小能量

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