Funtzio koadratiko

Aljebran, funtzio koadratiko bat, polinomio koadratiko bat edo 2. mailako polinomio bat aldagai bat edo gehiago dituen funtzio polinomikoa da, eta gradurik altuena bigarren mailakoa da.

Aldagai bakarreko funtzio koadratiko batek forma hau du:^[1]

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,\quad a\neq 0}$

Kasu horretan, aldagai bakarra x da. Funtzio koadratiko unibariatu baten grafikoa parabola bat da, eta haren simetria-ardatza ardatzarekiko paraleloa da, eta, eskuinaldean ageri den moduan.

Funtzio koadratikoa zero bada, ekuazio koadratikoa izango da emaitza. Aldagai bakarreko ekuazioaren soluzioei funtzio unibertsalaren erro deritze.

Aldagai biko kasuak x eta y aldagaien arabera, forma hau du:

${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f\,\!}$

a, b edo c koefizienteetako bat gutxienez zero ez denean. Funtzio hori zero balio duen ekuazio batek sekzio koniko bat sortzen du (zirkunferentzia bat edo beste elipse bat, parabola bat edo hiperbola bat).

Funtzio koadratiko batek, x, y, y, eta z aldagaietan, x², y², z², xy, xz, yz, x, y, z gaiak eta konstante bat baino ez ditu:

${\displaystyle f(x,y,z)=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}+dxy+exz+fyz+gx+hy+iz+j,}$

zero ez diren bigarren mailako gaien a, b, c, d, e edo f koefizienteetako batekin, gutxienez.

Oro har, aldagai kopuru handi bat egon daiteke arbitrarioki; kasu horretan, azalera koadratikoa deitzen zaio, baina gradurik altuenak ². mailakoa izan behar du, hala nola x², xy, yz, etab.

Adjektibo koadratikoa latinezko quadratum ("karratua") hitzetik dator. x² bezalako termino bati karratua deritzo aljebran, x aldea duen karratu baten azalera delako.

Polinomio baten koefizienteak zenbaki erreal edo konplexutzat hartzen dira maiz, baina polinomio bat edozein eraztunen gainean defini daiteke.

"Polinomio koadratikoa" terminoa erabiltzen denean, batzuetan "zehazki 2ko maila izatea" aipatzen da, eta beste batzuetan, berriz, "gehienez 2 gradu izatea". Gradua 2tik beherakoa bada, "endekatutako kasu" batez hitz egin daiteke. Oro har, testuinguruak aukera ematen du bi esanahietatik zein erabiltzen den ezartzeko.

Batzuetan, "ordena" hitza "gradu" hitzarekin erabiltzen da, adibidez, bigarren mailako polinomio batekin.

Polinomio koadratiko batek x aldagai bakar bat (aldagai bakarreko kasua) sar dezake, edo x, y eta z aldagai asko (aldagai anitzeko kasua).

Aldagai bakarreko edozein polinomio koadratiko honela idatz daiteke:

${\displaystyle ax^{2}+bx+c,\,\!}$

non x aldagaia baita, eta a, b eta c koefizienteak baitira. Oinarrizko aljebran, polinomio horiek ekuazio koadratiko baten bidez sortzen dira maiz.${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$ Ekuazio horren ebazpenei polinomio koadratikoaren erroak deitzen zaie, eta faktorizazioaren bidez aurki daitezke, karratua osatuz, grafikatuz, Newtonen metodoa erabiliz edo formula koadratikoa erabiliz. Polinomio koadratiko bakoitzak funtzio koadratiko bat du, eta horren grafikoa parabola bat da.

Bi aldagai dituen edozein polinomio koadratiko honela idatz daiteke:

${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f,\,\!}$

non x eta y aldagaiak diren eta a, b, c, d, e eta f aldagaiak koefizienteak baitira. Polinomio horiek funtsezkoak dira sekzio konikoak aztertzeko, horien ezaugarria da f ( x, y ) adierazpenaren balioa zero izatea. Era berean, hiru aldagai edo gehiagoko polinomio koadratikoak gainazal koadrikoei eta hipergainazalei dagozkie. Aljebra linealean, polinomio koadratikoak modu koadratikoan orokortu daitezke, espazio bektorial batean.

Aldagai baten funtzio koadratikoa hiru modutan adieraz daiteke:^[2]

• forma estandarra deitzen da ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!}$ denean.
• modu faktorizatua deritzo, non r₁ eta r₂ baitira funtzio koadratikoaren erroak eta dagokion ekuazio koadratikoaren ebazpenak:${\displaystyle f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!}$
• erpinaren forma deitzen da, non h eta k koordenatuak diren eta x eta y erpinaren koordenatuak baitira, hurrenez hurren.${\displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k\,\!}$

a koefizientea balio bera da hiru formetan. Forma estandarra forma faktorizatu bihurtzeko, r₁ eta r₂ erroak zehazteko formula koadratikoa besterik ez da behar. Forma estandarra erpinaren forma bihurtzeko, karratua osatzea izeneko prozesua behar da. Faktorizatutako forma (edo erpinaren forma) forma estandar bihurtzeko, nahikoa da horietako bakoitzaren faktoreak erabiltzea.

Formatua edozein dela ere, aldagai baten funtzio koadratiko baten grafikoa parabola bat da (eskuinean ageri den bezala).${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$. Horren baliokidea da bi aldagairen ekuazio koadratikoaren grafikoa, ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$.

• a > 0 bada, parabola gorantz irekitzen da.
• a < 0 bada, parabola beherantz irekitzen da.

a koefizienteak grafikoaren kurbadura-maila kontrolatzen du; aren magnitude handiago batek itxura itxiagoa ematen dio grafikoari (oso kurbatua).

b eta a koefizienteek batera kontrolatzen dute parabolaren simetria-ardatzaren kokapena (erpinaren x koordenatua ere bai). Honela dio:

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}.}$

c koefizienteak parabolaren altuera kontrolatzen du; zehazkiago, y ardatza mugitzen den parabolaren altuera da.

Parabola baten erpina jaisten den lekua da. Beraz, puntu maximo edo minimo bat ere bada, zeinua aldatzean kurbaren inklinazioa baliogabetzen baita. Funtzio koadratikoa erpin moduan badago, erpina (h, k) da. Karratua osatzeko metodoa erabiliz, formula estandarra bihur daiteke

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!}$

non

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x-h)^{2}+k\\&=a\left(x-{\frac {-b}{2a}}\right)^{2}+\left(c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right),\\\end{aligned}}}$

eta orduan, forma estandarreko parabolaren erpina (h, k) hau da:

${\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right).}$

Funtzio koadratikoa modu faktorizatuan badago

${\displaystyle f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!}$

bi erroen batez bestekoa, hau da,

${\displaystyle {\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\,\!}$

erpinaren x koordenatua da, eta, beraz, hau da (h, k) erpina:

${\displaystyle \left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}},f\left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\right)\right).\!}$

Erpina ere puntu maximoa da, baldin eta a < 0 bada, edo puntu minimoa, a > 0 bada.

Lerro zuzen bertikala

${\displaystyle x=h=-{\frac {b}{2a}}}$

erpinetik pasatzen dena parabolaren simetria-ardatza ere bada.

Kalkulu infinitesimala erabiliz, erpinaren puntua, funtzioaren maximoa edo minimoa dena, deribatuaren erroak aurkitzean lor daiteke:

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\quad \Rightarrow \quad f'(x)=2ax+b\,\!.}$

x f'(x) da baldin etai f'(x) = 0 erroa bada, eta, beraz,

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$

dagokion funtzioaren balioarekin

${\displaystyle f(x)=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c=c-{\frac {b^{2}}{4a}}\,\!,}$

beraz, (h, k) erpin-puntuaren koordenatuak honela adieraz daitezke:

.${\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right).}$

Aldagai baten funtzio koadratikoaren erroak (edo zeroak), r₁ eta r₂

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x-r_{1})(x-r_{2}),\\\end{aligned}}}$

f(x) = 0 den x-ren balioak dira.

a, b, eta c koefizienteak errealak edo konplexuak direnean, hauek dira erroak:

${\displaystyle r_{1}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},}$

${\displaystyle r_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

${\displaystyle ax^{2}+bx+c\,}$ ekuazio koadratikoaren erroen modulua ezin da izan${\displaystyle {\frac {\max(|a|,|b|,|c|)}{|a|}}\times \phi ,\,}$baino handiagoa, non ${\displaystyle \phi }$ urrezko arrazoia den,${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.}$^[4]

Aldagai baten funtzio koadratiko baten erro karratuak lau sekzio konikoetako bat sortzen du, ia beti elipse bat edo hiperbola bat.

Orduan ${\displaystyle a>0\,\!}$ bada, ${\displaystyle y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$ ekuazioak hiperbola bat deskribatzen du, bi aldeak karratura igotzean ikus daitekeen bezala. Dagokion parabolaren puntu minimoaren ordenatuak zehazten ditu hiperbolaren ardatzen norabideak ${\displaystyle y_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!}$ . Ordenatua negatiboa bada, hiperbolaren ardatz nagusia (erpinen bidez) horizontala da; ordenatua positiboa bada, berriz, hiperbolaren ardatz nagusia bertikala da.

Orduan, ${\displaystyle y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$ ekuazioak zirkulu, elipse bat edo batere ez du deskribatzen ${\displaystyle a<0\,\!}$ denean. Dagokion ${\displaystyle y_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!}$ parabolaren puntu maximoaren ordenatua positiboa bada, haren erro karratuak elipse bat deskribatzen du, baina ordenatua negatiboa bada, puntu hutsen leku geometriko bat deskribatzen du.

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ funtzioa iteratzeko, funtzioa behin eta berriz aplikatzen da, iterazio baten irteera hurrengoaren sarrera gisa erabiliz.

Ezin da beti ${\displaystyle f^{(n)}(x)}$-ren forma analitikoa ondorioztatu, eta horrek esan nahi du ${\displaystyle f(x)}$-ren enegarren iterazioa, izan ere, goi-indizea zenbaki negatiboetara heda daiteke, ${\displaystyle f(x)}$ alderantzizkoa existitzen bada iterazioari dagokionez. Baina badira analitikoki erabil daitezkeen kasu batzuk.

Adibidez, ekuazio iteratibo honetarako,

${\displaystyle f(x)=a(x-c)^{2}+c}$

hau egin behar da:

${\displaystyle f(x)=a(x-c)^{2}+c=h^{(-1)}(g(h(x))),\,\!}$

non

${\displaystyle g(x)=ax^{2}\,\!}$ eta ${\displaystyle h(x)=x-c.\,\!}$

Orduan, indukzio bidez, hau lor daiteke:

${\displaystyle f^{(n)}(x)=h^{(-1)}(g^{(n)}(h(x)))\,\!}$

non ${\displaystyle g^{(n)}(x)}$ erraz kalkula baitaiteke honela:

${\displaystyle g^{(n)}(x)=a^{2^{n}-1}x^{2^{n}}.\,\!}$

Azkenik:

${\displaystyle f^{(n)}(x)=a^{2^{n}-1}(x-c)^{2^{n}}+c\,\!}$

soluzio gisa.

Aplikazio logistikoa

${\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n}),\quad 0\leq x_{0}<1}$

2<r<4 parametroarekin kasu jakin batzuetan ebatz daiteke; horietako bat kaotikoa da eta bestea ez. r = 4 kasu kaotikoan, emaitza hau da:

${\displaystyle x_{n}=\sin ^{2}(2^{n}\theta \pi )}$

non hasierako ${\displaystyle \theta }$ baldintzaren parametroa honek ematen baitu:${\displaystyle \theta ={\tfrac {1}{\pi }}\sin ^{-1}(x_{0}^{1/2})}$. ${\displaystyle \theta }$ren balio arrazionaletarako, ${\displaystyle x_{n}}$iterazio kopuru mugatu baten ondoren, sekuentzia periodiko bihurtzen da. Baina ia denak irrazionalak dira, eta, beraz, inoiz ez da errepikatzen. Orduan zehazten da ez dela periodikoa eta hasierako baldintzekiko mendekotasun sentibera duela; beraz, kaotikoa dela esaten da.

Hau da aplikazio logistikoaren soluzioa r=2 denean:

${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}(1-2x_{0})^{2^{n}}}$

${\displaystyle x_{0}\in [0,1)}$ denean. ${\displaystyle (1-2x_{0})\in (-1,1)}$ denez 0 puntu finko ezegonkorra ez den ${\displaystyle x_{0}}$ren beste edozein balioren kasuan, ${\displaystyle (1-2x_{0})^{2^{n}}}$ gaiak 0 balioa hartzen du, n infiniturantz jotzen duen bezala, eta orduan ${\displaystyle x_{n}}$-k ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}.}$ puntu finko egonkorrera jotzen du.