Linearna transformacija

Línearna transformácija (tudi línearni operátor) je značilna vrsta preslikave iz linearne algebre. Pomeni homomorfizem vektorskih prostorov.

Naj bosta ${\displaystyle V}$ in ${\displaystyle U}$ vektorska prostora nad obsegom ${\displaystyle O}$. Preslikava ${\displaystyle A:{V\rightarrow U}}$ je linearna transformacija, če za vsak ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle y}$ iz ${\displaystyle V}$ ter za vsak ${\displaystyle \alpha }$ iz ${\displaystyle O}$ velja:

• aditivnost: ${\displaystyle A(x+y)=Ax+Ay\!\,}$
• homogenost: ${\displaystyle A(\alpha x)=\alpha Ax\!\,}$

Linearna preslikava ohranja linearne kombinacije, zato se lahko zgornji lastnosti zapiše tudi kot

${\displaystyle A(\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n})=\alpha _{1}Ax_{1}+\alpha _{2}Ax_{2}+\cdots +\alpha _{n}Ax_{n}}$

Jedro in sliko linearne transformacije ${\displaystyle A:{V\rightarrow U}}$ definiramo analogno kot pri homomorfizmih grup:

${\displaystyle \ker(A)=\{\,x\in V:Ax=0\,\}}$

${\displaystyle \operatorname {im} (A)=\{\,Ax:x\in V\,\}}$

Množica ${\displaystyle \ker(A)}$ je podprostor prostora ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle \operatorname {im} (A)}$ pa podprostor prostora ${\displaystyle U}$.

Če ${\displaystyle V=U}$, pravimo, da je ${\displaystyle A}$ endomorfizem. Množica ${\displaystyle \operatorname {End} (V)}$ vseh endomorfizmov iz ${\displaystyle V}$ v ${\displaystyle V}$ tvori asociativno algebro nad ${\displaystyle V}$ z operacijami adicije, kompozicije in množenja s skalarji.

Vsi bijektivni endomorfizmi (avtomorfizmi) tvorijo grupo ${\displaystyle \operatorname {Aut} (V)}$ z operacijo kompozicije.