Kofaktor (matematika)

Kofaktor (oznaka ${\displaystyle C_{ij}\,}$ za element ${\displaystyle a_{ij}\,}$ matrike ${\displaystyle A\,}$) (tudi adjunkt ali adjunkta) je v linearni algebri poddeterminanta s predznakom. Uporablja se za izračun vrednosti determinant in obratnih matrik. Vsakemu elementu ${\displaystyle (i,j)\,}$ matrike lahko pripišemo kofaktor. Kofaktor je vrednost poddeterminante s predznakom.

Elementu ${\displaystyle a_{ij}\,}$, ki pripada matriki ${\displaystyle A\,}$, lahko pripišemo poddeterminanto ${\displaystyle M_{ij}\,}$ tako, da izbrišemo i-tovrstico in j-ti stolpec. Če je ${\displaystyle i+j\,}$ parno število, je kofaktor ${\displaystyle C_{ij}\,}$ enak poddeterminanti:

${\displaystyle C_{ij}=M_{ij}.\,}$

Če pa je ${\displaystyle i+j\,}$ liho število, je enak nasprotni vrednosti poddeterminante

${\displaystyle C_{ij}=-M_{ij}.\,}$

V splošni obliki to lahko zapišemo kot

${\displaystyle C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\,}$

kjer je

• ${\displaystyle C_{ij}\,}$ kofaktor elementa ${\displaystyle a_{ij}\,}$
• ${\displaystyle M_{ij}\,}$ poddeterminanta elementa ${\displaystyle a_{ij}\,}$.

Če imamo matriko

${\displaystyle B={\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\b_{31}&b_{32}&b_{33}\\\end{bmatrix}}}$

in želimo poiskati kofaktor ${\displaystyle C_{23}\,}$. V tem primeru dobimo poddeterminanto ${\displaystyle M_{23}\,}$ zgornje matrike, če odstranimo 2. vrstico in 3. stolpec je

${\displaystyle M_{23}={\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}&\Box \\\Box &\Box &\Box \\b_{31}&b_{32}&\Box \\\end{vmatrix}}}$

Kjer je z ${\displaystyle \Box \,}$ označen element, ki ga brišemo.

To nam da ${\displaystyle M_{23}={\begin{vmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{31}&b_{32}\\\end{vmatrix}}=b_{11}b_{32}-b_{31}b_{12}}$

Iz tega sledi, da so kofaktorji enaki

${\displaystyle \ C_{23}=(-1)^{2+3}(M_{23})}$

${\displaystyle \ C_{23}=(-1)^{5}(b_{11}b_{32}-b_{31}b_{12})}$

${\displaystyle \ C_{23}=b_{31}b_{12}-b_{11}b_{32}.}$.

Glavni članek: Determinanta.

Če imamo matriko ${\displaystyle n\times n\,}$ z elementi

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}}$ ,

lahko vrednost pripadajoče determinante izračunamo z razvojem po j-tem stolpcu:

${\displaystyle \ \det(A)=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+a_{3j}C_{3j}+...+a_{nj}C_{nj}}$

Lahko pa jo izračunamo tudi z razvojem po i-ti vrstici

${\displaystyle \ \det(A)=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+a_{i3}C_{i3}+...+a_{in}C_{in}}$

Matrika kofaktorjev matrike ${\displaystyle A\,}$ z ${\displaystyle n\times n\,}$ je matrika, ki ima za elemente kofaktorje ${\displaystyle C_{ij}\,}$.

Primer: matrika

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}}$

ima naslednjo matriko kofaktorjev

${\displaystyle C={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&C_{n2}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}}$

kjer je

• ${\displaystyle C_{ij}\,}$ kofaktor elementa ${\displaystyle a_{ij}\,}$.

Glavni članek: Adjungirana matrika.

Adjungirana matrika se uporablja za določanje obratne matrike ${\displaystyle A\,}$.

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}{\mbox{adj}}(\mathbf {A} )}$.

Adjungirana matrika je matrika kofaktorjev, ki smo jo transponirali.

Primer:
Matrika kofaktorjev

${\displaystyle {\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&C_{n2}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}}$,

ki jo transponiramo je

${\displaystyle \mathrm {adj} (A)={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{21}&\cdots &C_{n1}\\C_{12}&C_{22}&\cdots &C_{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{1n}&C_{2n}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}.}$

kjer je

• ${\displaystyle \mathrm {adj} (A)\,}$ adjungirana matrika matrike ${\displaystyle A\,}$.

• Matematika za biologe (slovensko)
• Kalkulator za določanje kofaktorjev Arhivirano 2011-02-04 na Wayback Machine. (angleško)
• Weisstein, Eric Wolfgang. »Cofactor«. MathWorld.