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WO2009151119A1 - 立体パズル - Google Patents

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WO2009151119A1
WO2009151119A1 PCT/JP2009/060763 JP2009060763W WO2009151119A1 WO 2009151119 A1 WO2009151119 A1 WO 2009151119A1 JP 2009060763 W JP2009060763 W JP 2009060763W WO 2009151119 A1 WO2009151119 A1 WO 2009151119A1
Authority
WO
WIPO (PCT)
Prior art keywords
regular
puzzle
atom
dodecahedron
cube
Prior art date
Legal status (The legal status is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the status listed.)
Ceased
Application number
PCT/JP2009/060763
Other languages
English (en)
French (fr)
Inventor
仁 秋山
義作 中村
郁郎 佐藤
憲久 田宮
Current Assignee (The listed assignees may be inaccurate. Google has not performed a legal analysis and makes no representation or warranty as to the accuracy of the list.)
Tokai University Educational System
Original Assignee
Tokai University Educational System
Priority date (The priority date is an assumption and is not a legal conclusion. Google has not performed a legal analysis and makes no representation as to the accuracy of the date listed.)
Filing date
Publication date
Application filed by Tokai University Educational System filed Critical Tokai University Educational System
Priority to EP09762549A priority Critical patent/EP2204224A1/en
Publication of WO2009151119A1 publication Critical patent/WO2009151119A1/ja
Priority to US12/727,390 priority patent/US20100225057A1/en
Anticipated expiration legal-status Critical
Ceased legal-status Critical Current

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    • A—HUMAN NECESSITIES
    • A63—SPORTS; GAMES; AMUSEMENTS
    • A63F—CARD, BOARD, OR ROULETTE GAMES; INDOOR GAMES USING SMALL MOVING PLAYING BODIES; VIDEO GAMES; GAMES NOT OTHERWISE PROVIDED FOR
    • A63F9/00—Games not otherwise provided for
    • A63F9/06—Patience; Other games for self-amusement
    • A63F9/12—Three-dimensional jig-saw puzzles
    • G—PHYSICS
    • G09—EDUCATION; CRYPTOGRAPHY; DISPLAY; ADVERTISING; SEALS
    • G09B—EDUCATIONAL OR DEMONSTRATION APPLIANCES; APPLIANCES FOR TEACHING, OR COMMUNICATING WITH, THE BLIND, DEAF OR MUTE; MODELS; PLANETARIA; GLOBES; MAPS; DIAGRAMS
    • G09B23/00—Models for scientific, medical, or mathematical purposes, e.g. full-sized devices for demonstration purposes
    • G09B23/02—Models for scientific, medical, or mathematical purposes, e.g. full-sized devices for demonstration purposes for mathematics
    • G09B23/04—Models for scientific, medical, or mathematical purposes, e.g. full-sized devices for demonstration purposes for mathematics for geometry, trigonometry, projection or perspective

Definitions

  • the present invention relates to a three-dimensional puzzle.
  • the present invention relates to a regular polyhedron puzzle having a plurality of convex polyhedrons filling the interior, and a three-dimensional puzzle capable of realizing a Fjordoff space-filling solid.
  • a regular polyhedron puzzle in which a regular polyhedron is cut into several convex polyhedrons is known.
  • the convex polyhedrons constituting the conventional regular polyhedron puzzle do not have regularity or characteristics in particular, and the current situation is that the convex polyhedron is appropriately cut in order to adjust the difficulty and complexity of the puzzle.
  • This invention makes it a subject to implement
  • a three-dimensional puzzle forming a regular tetrahedron, a cube, a regular octahedron, a regular dodecahedron, or a regular icosahedron composed of four types of convex polyhedrons, Three of them each have a pair of convex polyhedrons in a mirror relationship, and the four types of convex polyhedrons cannot each be divided into two or more congruent convex polyhedrons, and A three-dimensional puzzle characterized in that a regular tetrahedron, a cube, a regular octahedron, a regular dodecahedron, and a regular icosahedron are formed using only the four types of convex polyhedrons to fill the inside thereof.
  • a three-dimensional puzzle forming a regular tetrahedron, a cube, a regular octahedron, a regular dodecahedron, or a regular icosahedron composed of five types of convex polyhedrons, the five types of convex Four types of polyhedrons each have a pair of convex polyhedrons in a mirror relationship, and the five types of convex polyhedrons cannot be divided into two or more congruent convex polyhedrons, respectively.
  • the regular tetrahedron, cube, regular octahedron, regular dodecahedron, and regular icosahedron are formed using only the five kinds of convex polyhedrons, and are filled to fill the inside thereof.
  • a three-dimensional puzzle is provided.
  • a three-dimensional puzzle composed of a plurality of first convex polyhedrons and a plurality of second convex polyhedrons that are mirrored with the first convex polyhedrons, and the first convex polyhedrons.
  • the second convex polyhedron cannot be divided into two or more congruent convex polyhedrons, and the first convex polyhedron and the second convex polyhedron are all of the Fedlov
  • a Feodorov space-filling three-dimensional puzzle is provided, characterized in that space-filling solids can be formed by filling their interiors.
  • the Fedorov space-filled three-dimensional puzzle includes a plurality of the first convex polyhedrons and a plurality of the second convex polyhedrons, wherein the rhomboid dodecahedron has a truncated octahedron, a parallelepiped, and an oblique hexagonal column. And a rhomboid dodecahedron may be included.
  • the three-dimensional puzzle of the present invention since it is composed of the minimum number of atoms (convex polyhedron) filling all regular polyhedrons, all regular polyhedrons (regular tetrahedron, cube, regular octahedron, An excellent effect of being able to form a regular dodecahedron and a regular icosahedron. Further, the new theorem found by the present inventors can be visually verified, and it is excellent as an educational material for explaining this theorem.
  • a cube and a regular dodecahedron can be formed without using one of the minimum number of atoms.
  • a regular tetrahedron, a cube, and a regular dodecahedron can be obtained by using another atom without using one of the minimum number of atoms constituting all regular polyhedra. It is possible to form an excellent effect. In addition to being able to visually explain the new theorem found by the present inventors, it is possible to compare both by a modification using different atoms, and as an educational teaching material explaining this theorem Are better.
  • an unprecedented three-dimensional puzzle capable of realizing a Feodorov space-filling solid.
  • FIG. (A) is the figure which showed the cube 200
  • (b) is the figure which cut
  • FIG. (A) is a diagram showing a state where a quadrangular pyramid 301 is formed from four triangular pyramids 201
  • (b) is a diagram showing a state where a regular octahedron 300 is formed from two quadrangular pyramids 301.
  • FIG. (A) is a diagram in which three points Q, T, and U are placed on three sides of the triangular pyramid 201
  • (b) is a diagram in which the triangular pyramid 203 including the apex A is separated from the triangular pyramid 201.
  • FIG. (A) And (b) is the figure which cut
  • (c) is a regular two from four pairs of the heptahedron 207 and its mirror-symmetrical hemihedral 209. It is the figure which formed the decahedron 400.
  • (A) is the figure which showed the regular dodecahedron 500
  • (b) is the figure which each cut
  • (c) is a diagram showing a state in which the cube 200 remains in the center by separation.
  • (A) is the figure which reprinted the regular tetrahedron 100
  • (b) is the figure which cut
  • (c) is a view of the prism 101 taken out
  • (d) is a view cut along a plane passing through three points J, L, and M, where M is the midpoint of the side FH
  • (e) is a pentahedron.
  • 103 is a diagram in which 103 is divided into two congruent tetrahedrons 110 and 111.
  • FIG. It is the figure which showed the expanded view of the piece 110 which made the shape of the atom (alpha) which comprises the solid puzzle which concerns on one Embodiment of this invention.
  • (A) is the figure which reprinted the equipepta 207
  • (b) is the figure which showed a mode that the equipepta 207 was divided
  • FIG. 5 is a development view of a piece 900 having an atom ⁇ shape according to an embodiment of the present invention.
  • FIG. (A)-(e) is a schematic diagram which shows a mode that a space is filled by the stacking
  • (A) is a parallelepiped
  • (b) is a rhomboid dodecahedron
  • (c) is an oblique hexagonal column
  • (d) is a long rhombus dodecahedron
  • (e) is a state of space filling with a truncated octahedron.
  • FIG. (A) is a figure which shows the cube 1200
  • (b) is the figure cut into 6 congruent square pyramids 1201.
  • (A) is a figure which shows one of the quadrangular pyramids 1201
  • (b) is a figure which cut the quadrangular pyramid 1201 into the right-angled tetrahedron 1203 by two perpendicular surfaces
  • (c) is one right angle. It is a figure showing a tetrahedron 1203.
  • (A) is a schematic diagram in which a quadrangular pyramid 1201 is joined to each surface of a cube 1200
  • (b) is a diagram illustrating a rhomboid dodecahedron 1300.
  • FIG. (A) is a diagram of a sphenoid 1100 in which two right-angled tetrahedrons 1203 are joined at the bottom of a right-angled isosceles triangle
  • (b) is a diagram showing a triangular prism 1401 in which three sphenoids 1100 are combined
  • (c) It is a figure which shows the oblique hexagonal column 1400.
  • FIG. (A) shows a rhomboid dodecahedron 1300
  • (b) is a schematic diagram that forms a rhomboid dodecahedron 1500 from the rhombus dodecahedron 1300 and a recessed polyhedron 1501.
  • FIG. (A) is a view showing a sphenoid 1100 according to an embodiment of the present invention, and (b) is a view cut into c-squadron 1105.
  • FIG. (A) is a diagram in which four c-squadrons 1105 are rearranged into a ninehedron 1601, and (b) is a schematic diagram in which a truncated octahedron 1600 is formed by six ninehedrons 1601.
  • (A) is a diagram showing a c-squadron 105 according to an embodiment of the present invention
  • (b) is a schematic diagram in which the c-squadron 1105 is cut into ⁇ 1101 and ⁇ ′1103, and
  • (c) is a diagram showing ⁇ 1101 and FIG.
  • FIG. 10 is a schematic diagram for forming a right-angled tetrahedron 1203 using two ⁇ ′103s. It is an expanded view of (sigma) 1101 and (sigma) '1103 which concern on one Embodiment of this invention. It is the schematic diagram which formed the hexahedron 1701 using (sigma) 1101 and (sigma) '1103 which concern on one Embodiment of this invention.
  • (A) is a top view in which a polyhedron 1703 is formed using three hexahedrons 1701, and (b) is a bottom view of the polyhedron 1703.
  • (A) is a schematic diagram of forming a cube 1705 with holes using a polyhedron 1703
  • (b) is a diagram showing a combination of a cube 1705 with holes and a half 1603 of a truncated octahedron
  • (C) is a diagram showing a half of a cube formed by a cube 1705 having a hole and a truncated octahedron half 1603, and
  • (d) is a diagram showing a formed cube 1700.
  • (A) is the figure which showed half 1301 of the rhombus dodecahedron
  • (b) is the figure which shows the recessed polyhedron 1501
  • (c) is the figure which shows the polyhedron 1503 cut away from the recessed polyhedron 1501.
  • (D) is a figure which forms the oblique hexagonal column 1420 from the polyhedron 1503 and the half 1301 of a rhombus dodecahedron
  • (e) is a figure which shows the oblique hexagonal column 1420.
  • positioning of the puzzle 1651 which halved the solid puzzle of the truncated octahedron which concerns on one Embodiment of this invention is shown.
  • (A) is a side view
  • (b) is a side view
  • (c) is a top view
  • (d) is a bottom view.
  • the arrangement of a truncated octahedron solid puzzle 1650 according to an embodiment of the present invention is shown.
  • (A) is a side view
  • (b) is a side view
  • (c) is a bottom view. It is a figure which shows arrangement
  • FIG. 1 shows a bottom view of a puzzle 1651 in which a truncated octahedron three-dimensional puzzle is halved
  • a cube half puzzle 1753 obtained by joining a puzzle 1651 in which a truncated octahedron three-dimensional puzzle is halved to a puzzle 1751 by cutting is shown, and (d) shows a cubic three-dimensional puzzle 1750. It is a figure which shows arrangement
  • (A) shows a half puzzle 1753 of a cube
  • (b) shows a puzzle 1353 obtained by removing a half of a cube from a puzzle 1351 obtained by cutting a rhombus dodecahedron in half
  • (c) shows a half of a rhombus dodecahedron.
  • disconnected is shown
  • (d) shows the side view of the puzzle 1350 of a rhombus dodecahedron
  • (e) shows the top view of the puzzle 1350 of a rhombus dodecahedron. It is a figure which shows arrangement
  • FIG. 1E shows a schematic diagram of forming an oblique hexagonal prism puzzle 1450 from a puzzle 1553 cut off from 1551 and a puzzle 1351 obtained by cutting a rhombus dodecahedron 1350 in half, (e) shows a top view of the oblique hexagonal puzzle 1450, (F) shows a side view of an oblique hexagonal puzzle 1450.
  • FIG. 15 shows a side view of a recessed polyhedral puzzle 1551
  • (b) shows a front view of the recessed polyhedral puzzle 1551
  • (c) shows a rear view of the recessed polyhedral puzzle 1551
  • (d ) Shows a schematic diagram of forming a rhomboid dodecahedron puzzle 1550 from a recessed polyhedron puzzle 1551 and a rhombus dodecahedron puzzle 1350
  • (e) shows a top view of the rhomboid dodecahedron puzzle 1550.
  • (F) shows a side view of a long rhombus dodecahedron puzzle 1550.
  • the present inventors have conducted intensive studies on what kind of atom should be adopted so that all regular polyhedrons can be filled with those atoms while keeping the types of atoms small. It was. As a result, the shape of the minimum number of atoms filling all regular polyhedra was found. Hereinafter, the process by which the present inventors have found the shape of the minimum number of atoms that fills all regular polyhedra will be described.
  • the step of removing obvious atoms will be described.
  • a regular tetrahedron as a regular polygon.
  • the regular tetrahedron is divided into four congruent triangular pyramids, with the center of the regular tetrahedron as the apex and the four triangles on the surface of the regular tetrahedron as the bottom. Since the base of this triangular pyramid is an equilateral triangle, it has three-fold rotation symmetry and mirror symmetry, and they are further divided into six congruent triangular pyramids.
  • the mirror-symmetric convex polyhedron is defined as the same atom, the inside of the regular tetrahedron can be completely filled using 24 kinds of atoms.
  • the same separation method as the regular tetrahedron separation method described above can be applied to any regular polyhedron. That is, the cube and regular octahedron are filled with 48 atoms, and the regular dodecahedron and regular icosahedron are filled with 120 atoms. However, these are all obvious atoms, and are effective for filling a specific regular polyhedron. However, when trying to divert to an atom of another regular polyhedron, it becomes an inefficient atom.
  • each regular polyhedron is preferably filled with as many atoms as possible.
  • mirror-symmetric convex polyhedron is defined as the same kind of atom. (1) Because the regular polyhedron has various symmetries, it is expected that the mirror-symmetric convex polyhedron will be used considerably. (2) This is because in the tiled problem that is very similar to the filling problem, it is common sense to identify the reversed figures.
  • regular polyhedrons There are five known types of regular polyhedrons: regular tetrahedron, regular hexahedron (cube), regular octahedron, regular dodecahedron, and regular icosahedron.
  • regular tetrahedron regular hexahedron (cube)
  • regular octahedron regular dodecahedron
  • regular icosahedron regular polyhedrons
  • the upper surface square of the cube 200 is ABCD and the bottom square is EFGH, and this cube is cut along a plane passing through the three vertices A, C, and F. ),
  • the triangular pyramid 201 including the vertex B is cut off. Since this cross section is an equilateral triangle, if the triangular pyramids including the vertices D, E, and G are also separated by the same method, the remaining solid ACFH becomes a regular tetrahedron 100 as shown in FIG.
  • the six dot-dash lines in FIG. 2A indicate the regular tetrahedron 100 obtained by this cutting.
  • the four separated triangular pyramids 201 form a regular triangle on the bottom and a right isosceles triangle on the side.
  • a quadrangular pyramid 301 in which all four side surfaces shown in FIG. Become.
  • two square pyramids 301 are used and the bottom squares are joined together as shown in FIG. 3B (when the bottom squares are joined together)
  • a regular octahedron 300 is obtained. According to this cutting method, one relationship among the cube 200, the regular tetrahedron 100, and the regular octahedron 300 is obtained.
  • the triangular pyramid 203 including the vertex A is separated from the triangular pyramid 201.
  • the heptahedron 207 remains in the center.
  • the three points R, S, and V are placed on the three sides CB, FB, and FC at a ratio that satisfies the following expression (3).
  • the back triangle TUV is an equilateral triangle
  • the three right triangles TQU, USV, and VRT on the side face the back equilateral triangle TUV to the left and right. It becomes congruent with the right triangle on the left side when divided into two equal parts.
  • the regular dodecahedron 500 is shown in FIG.
  • the upper part is cut off by a plane passing through the four vertices A, B, C, and D
  • the right part is cut off by a plane passing through the four vertices A, B, E, and F.
  • two cross sections become a congruent square
  • two separated solids become a congruent pentahedron 501.
  • the cube 200 remains in the center when it is cut along four planes.
  • One relationship between the icosahedron and the cube is obtained.
  • the regular tetrahedron 100, the regular octahedron 300, and the regular icosahedron 400 are obtained by dividing the cube 200, and the cube 200 is obtained by dividing the regular dodecahedron 500. These separations satisfy [Condition A].
  • the regular tetrahedron 100 is assumed to be composed of a regular tetrahedron of a one-dot chain line shown in FIG.
  • the cube 200 has one regular tetrahedron 100, two heptahedrons 207 and two mirror-symmetrical heptahedrons 208, and four tetrahedrons 203 and six mirror-symmetrical tetrahedrons. It is composed of three types of convex polyhedrons (five types when mirrors are distinguished).
  • the regular octahedron 300 is divided into two types (four different from the seven-sided body 207 and its mirror-symmetric seven-sided body 208, and four tetrahedrons 203 and 12 mirror-symmetrical tetrahedrons each (the distinction between the mirror-like bodies). Then, four types of convex polyhedrons are formed. Next, as shown in FIG.
  • the regular dodecahedron has six pentahedrons 501, one regular tetrahedron 100, two heptahedrons 207 and two mirror-symmetrical heptahedrons 208,
  • the tetrahedron 203 is composed of four types of convex polyhedrons, six of which are mirror-symmetrical tetrahedrons (six types when the mirrors are distinguished).
  • the regular icosahedron is composed of one type of convex polyhedron composed of four hepahedrons 207 and four mirror-symmetrical hemihedrals 208.
  • Regular tetrahedron 100 (used for regular tetrahedron 100, cube 200, and regular dodecahedron 500)
  • Hepaheda (equipepta) 207 (and its mirror 208) (used for cube 100, regular octahedron 300, and regular icosahedron 400)
  • Tetrahedron (Golden Tetra) 203 (and its mirror 204) (used for cube 100 and regular octahedron 300)
  • pentahedron (roof) 501 (used for regular dodecahedron 500)
  • FIG. 7C shows one prism 101 taken out and viewed in a different direction.
  • the midpoint of the side FH is M and cut along a plane passing through the three points J, L, and M as shown in FIG. 7D, it is divided into two congruent pentahedrons 103.
  • the pentahedrons 103 are symmetrical to the left and right, the right pentahedron 103 can be further divided into two congruent tetrahedrons 110 and 111 as shown in FIG. .
  • FIG. 8 is a development view of the right tetrahedron 110 (KJLH), in which dimensions are described by ratio.
  • this tetrahedron 110 is defined as ⁇ and is defined as one atom constituting a regular polyhedron. Then, as shown in FIG. 1, the regular tetrahedron 100 is configured with eight atoms, and thus can be expressed as ⁇ 8 like a molecular formula.
  • the atom ⁇ is a tetrahedron (convex polyhedron) 110 having a vertex KJLH and a tetrahedron 111 having a vertex MJLH that is a mirror of the tetrahedron.
  • the atom ⁇ 110 satisfies the condition shown in the following formula (5).
  • the equipeptor 207 re-illustrated in FIG. 9A has a rotational symmetry of three times when the equilateral triangle TUV is the bottom surface and the point B is the vertex. For this reason, if the center of the equilateral triangle is O, if it is vertically cut down by three planes divided by 120 ° through O, it is always divided into three congruent solids 210. The separation at this time is shown in FIG. 9B, and the developed view is shown in FIG.
  • this heptahedron 210 is defined as ⁇ and defined as one atom constituting a regular polyhedron.
  • the atom ⁇ 210 includes sides BX, XY, YO, OA 1 , A 1 Z, ZT, TZ, ZA 1 , A 1 O, OY, YX, XR, RX, XB, BO, BZ, It is a 7-hedron (convex polyhedron) having BR, RT, TY, and TA 1 .
  • a, k, k ′, b, c, and d satisfy the conditions of the following expressions (6) to (11).
  • Beta210 Since icosahedral is composed of 24 atom Beta210, it can be referred to as beta 24.
  • FIG. 11 is a development view of the atom ⁇ 203, and shows dimensions by ratio.
  • the atom ⁇ is a tetrahedron (convex polyhedron) having sides CR, RC, CV, VC, CT, TC, RT, RV, and VT.
  • the atom ⁇ satisfies the following expression (13).
  • the regular octahedron is composed of 24 pieces of ⁇ and ⁇ , it can be expressed as ⁇ 24 ⁇ 24 .
  • the cube of FIG. 1A is composed of 8 ⁇ and 12 ⁇ and ⁇ , it can be expressed as ⁇ 8 ⁇ 12 ⁇ 12 .
  • FIG. 13 is a development view of the atom ⁇ 510 and shows the dimensions using the ratio.
  • the atom ⁇ 510 is a pentahedron having sides BE, ED 1 , D 1 A, AD 1 , D 1 E, EB, BC 1 , C 1 E, C 1 D 1 , BA, and AE ( Convex polyhedron).
  • the atom ⁇ 510 satisfies the following expression (14).
  • each regular polyhedron is Regular tetrahedron ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ 8 Cube ... 8 8 12 12 Regular octahedron ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ 24 ⁇ 24 Regular dodecahedron ...
  • mirror-symmetric atoms are also indicated by the same symbols ⁇ , ⁇ , ⁇ , and ⁇ . If you distinguish a mirror-symmetric atom with a prime symbol ('), Regular tetrahedron ... ⁇ 4 ⁇ ' 4 Cube ...
  • the minimum number of atoms constituting the regular polyhedron is four kinds of ⁇ , ⁇ , ⁇ , and ⁇ .
  • Theorem 1 the minimum number of atoms constituting the regular polyhedron can be expressed as Theorem 1 under the following definitions (1) to (4).
  • polyhedra P and Q are “congruent” means that P and Q have the same shape or are in a mirror relationship.
  • polyhedron P 1, P 2, ⁇ , and ⁇ a set of P n. i. e, ⁇ ⁇ P 1 , P 2 ,..., P n ⁇ Undivided manner polyhedron e 1, e 2, ⁇ , and E a set of e m. i.
  • E ⁇ e 1 , e 2 ,..., e m ⁇ , ⁇ e 1 is non-dividing, and e i and e j are not congruent (i ⁇ j)
  • E the soot element (atom) set E ( ⁇ )
  • the three-dimensional puzzle of the present invention according to this embodiment is to create a regular polyhedron using the minimum number of atoms ⁇ , ⁇ , ⁇ , and ⁇ , and has the excellent effect that theorem 1 can be explained visually. Play. Therefore, the three-dimensional puzzle of the present invention according to this embodiment is excellent as an educational material for explaining theorem 1.
  • FIG. 1 is a three-dimensional puzzle of the present invention according to this embodiment, and shows a regular tetrahedral three-dimensional puzzle 100.
  • the three-dimensional puzzle (tetrahedral three-dimensional puzzle 100) of the present invention according to this embodiment includes four pieces having the shape of an atom ⁇ 110 and a mirror of the atom ⁇ 110 as described in detail above. It can be configured using four pieces having the shape of ⁇ ′111.
  • the regular tetrahedron three-dimensional puzzle 100 according to the present embodiment shown in FIG. 1 is an example, and the regular tetrahedron three-dimensional puzzle according to the present embodiment has a relative position between an atom ⁇ 110 and an atom ⁇ ′111. There are also examples of changing their arrangement while maintaining the relationship.
  • FIG. 200 A cubic puzzle 200 of the present invention according to the present embodiment is shown.
  • the cube includes a regular tetrahedron 100 made of atoms ⁇ (and ⁇ ′), and by joining triangular pyramids 201 whose side surfaces form right-angled isosceles triangles to the four surfaces. It is configured.
  • the triangular pyramid 201 has three pieces 203 having an atom ⁇ shape centered on a part 207 (FIG. 16) made up of three pieces 210 having an atom ⁇ shape. It is a part.
  • the cubic three-dimensional puzzle according to this embodiment includes a relative positional relationship between ⁇ and ⁇ ′, and ⁇ and ⁇ ′.
  • the arrangement of them is changed while maintaining the relative positional relationship of ⁇ and ⁇ and ⁇ ′.
  • FIG. A three-dimensional puzzle of the present invention according to the present embodiment which is a regular octahedral three-dimensional puzzle 300, is shown.
  • the regular octahedral three-dimensional puzzle 300 is formed by joining eight regular triangular pyramids 201 whose side faces form a right isosceles triangle. Therefore, the three-dimensional puzzle (octahedral puzzle 300) of the present invention according to the present embodiment includes 12 pieces 210 having the shape of the atom ⁇ and 12 pieces 211 having the shape of the mirror ⁇ ′ of the atom ⁇ .
  • the regular octahedral three-dimensional puzzle 300 according to the present embodiment shown in FIG. 17 is an example, and the regular octahedral three-dimensional puzzle 300 according to the present embodiment includes a relative positional relationship between ⁇ and ⁇ ′, and ⁇ . There is also an example in which their arrangement is changed while maintaining the relative positional relationship between ⁇ ′ and ⁇ ′.
  • FIG. 6C A three-dimensional puzzle 500 of the present invention according to the present embodiment, which is a regular dodecahedron three-dimensional puzzle 500, is shown.
  • the cube 200 is contained in the center, and the roof part 501 composed of two pieces 510 having the shape of the atom ⁇ shown in FIG. It is arranged in. Therefore, the three-dimensional puzzle (regular dodecahedron puzzle 500) of the present embodiment according to the present embodiment includes four pieces 110 having the shape of the atom ⁇ and four pieces 111 having the shape of the mirror ⁇ ′ of the atom ⁇ .
  • the regular dodecahedron three-dimensional puzzle 500 according to the present embodiment shown in FIG. 18 is an example, and the regular dodecahedron three-dimensional puzzle according to the present embodiment has a relative position between ⁇ 110 and ⁇ ′111.
  • the arrangement, the relative positional relationship between ⁇ 210 and ⁇ ′211 and the relative positional relationship between ⁇ 203 and ⁇ ′204 are changed while maintaining their relative positions.
  • FIG. 400 A solid puzzle 400 of the icosahedron, which is the solid puzzle of the present invention according to the present embodiment, is shown.
  • a pair of the equipepta-shaped part 207 made up of the three atoms ⁇ -shaped pieces 210 shown in FIG. 16 and the equipartition mirror-symmetrical part 209 Is formed by making 4 pieces each and joining them alternately. Therefore, in the three-dimensional puzzle (the icosahedron puzzle 400) of the present invention according to the present embodiment, 12 pieces 210 having the shape of the atom ⁇ and 12 pieces 211 having the shape of the mirror ⁇ ′ of the atom ⁇ are provided. And can be configured using.
  • the icosahedron three-dimensional puzzle 400 according to the present embodiment shown in FIG. 19 is an example, and the icosahedron three-dimensional puzzle 400 according to the present embodiment has a relative position between ⁇ and ⁇ ′. There are also examples of changing their arrangement while maintaining the relationship.
  • the three-dimensional puzzle of the present invention is composed of the minimum number of atoms (convex polyhedron) that fills all regular polyhedrons. Therefore, even if the number of parts is small, all regular polyhedrons ( A regular tetrahedron, cube, regular octahedron, regular dodecahedron, regular icosahedron) can be formed. Further, the theorem found by the present inventors can be visually verified, and is excellent as an educational material for explaining theorem 1.
  • FIG. 20A shows a state in which six roofs 501 ( ⁇ 2 ) composed of two atoms ⁇ 510 (FIG. 12B) are turned over so as to fit inside the cube 200.
  • FIG. 20A only the roofs 501 on the back, left side, and bottom are shown for easy viewing.
  • Each face of the inverted pentahedron 501 ( ⁇ 2 ) overlaps with no gap as is apparent from the dihedral angle of each face.
  • an elongated gap is formed at each of the eight corners of the cube, and four hexahedrons 601 and 602 that are mirror-symmetrical are required to fill the gap.
  • FIG. 20B shows a hexahedron 601 for filling the front left corner of FIG.
  • FIG. 20A shows a development view thereof.
  • FIG. 20D shows a state when two lower left corners are filled with two mirror-symmetrical hexahedrons 601 and 602.
  • one relationship different from that of the first embodiment is obtained between the regular dodecahedron 500 and the cube 200.
  • the regular dodecahedron 500 includes two types of convex polyhedrons including 12 roofs 501 ( ⁇ 2 ) and four hexahedrons 601 and four mirror-symmetric hexahedrons 602 each.
  • Regular tetrahedron 100 (used for regular tetrahedron 100 and cube 200)
  • Equihepta 207 and its mirror body 209 used for cube 100, regular octahedron 300, and regular icosahedron 500
  • Golden tetra 203 and its mirror 204 used for cube 200 and regular octahedron 300
  • Roof 501 used for regular dodecahedron 500
  • the hexahedron 601 and its mirror 602 (used for the cube 200 and the regular dodecahedron 500) are used, and it can be seen that all five types of convex polyhedrons are used in the construction of two or more regular polyhedrons. .
  • FIG. 21 shows a developed view of three congruent quadrangular pyramids 610 cut down along the sides of the hexahedron 601. In the developed view, dimensions are described using ratios.
  • This square pyramid 610 shown in FIG. 21 is defined as an atom ⁇ .
  • the atom ⁇ 610 has sides D 1 E 1 , E 1 F 1 , F 1 G 1 , G 1 H 1 , H 1 I 1 , I 1 J 1 , J 1 K 1 , K 1 D 1 , a pentahedron (convex polyhedron) having D 1 F 1 , D 1 I 1 , D 1 J 1 and F 1 I 1 .
  • the atom ⁇ satisfies the following expression (16).
  • the cube 200 is composed of 12 ⁇ 510 and 24 atoms ⁇ (12 atoms ⁇ and 12 mirror atoms ⁇ ′ 12 ), ⁇ 12 ⁇ 24 ( ⁇ 12 ⁇ 12 ⁇ ′ 12 ) Since the regular dodecahedron 500 is composed of 24 ⁇ and ⁇ , each is represented by ⁇ 24 ⁇ 24 ( ⁇ 24 ⁇ 12 ⁇ ′ 12 ).
  • each regular polyhedron is Regular tetrahedron ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ 8 Cubic ⁇ ⁇ 8 ⁇ 12 ⁇ 12, ⁇ 12 ⁇ 24 Regular octahedron ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ 24 ⁇ 24 Regular dodecahedron ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ ⁇ 24 ⁇ 24 It became. However, the same symbols ⁇ , ⁇ , ⁇ , ⁇ , and ⁇ are shown for mirror-symmetric atoms.
  • the three-dimensional puzzle of the present invention according to the present embodiment uses ⁇ in addition to the minimum number of atoms ⁇ , ⁇ , ⁇ , and ⁇ that also constitute all regular polyhedra, so that a cube and a regular tens without using the atom ⁇ .
  • a dihedron can be formed. Therefore, the three-dimensional puzzle of the present invention according to this embodiment is to create a regular polyhedron using the atom ⁇ in addition to the minimum number of atoms ⁇ , ⁇ , ⁇ , and ⁇ , and theorem 1 will be described visually.
  • FIG. 22A shows the atom ⁇ 110 shown in FIG. 7E and changes the viewing direction.
  • a perpendicular is drawn from the vertex L to the side JH, and the leg ⁇ is cut into two as shown in FIG.
  • the left tetrahedron 121 is obtained by dividing the regular tetrahedron 100 into three equal parts vertically from one vertex.
  • the tetrahedron is divided into two mirror-symmetric tetrahedrons 151 and 152. Can be carved.
  • This tetrahedron 151 shown in FIG. 22C is defined as an atom and is defined as ⁇ .
  • a developed view of the atom ⁇ 151 is shown in FIG.
  • each side is shown as a ratio.
  • the atom ⁇ 151 includes sides LM 1 , M 1 L 1 , L 1 M 1 , M 1 J, JM 1 , M 1 L. It is a tetrahedron (convex polyhedron) having LL 1 , LJ and L 1 J.
  • the atom ⁇ satisfies the following expression (17). Note that, as shown in FIG. 22C, the atom ⁇ has its mirror surface pair atom ⁇ ′152.
  • FIG. 22 (d) is a quadrangular pyramid obtained from this method, and is connected to the atom ⁇ 210 and the atom ⁇ 203 in an unexpected manner.
  • FIGS. 25 and 26 development views of each polyhedron are as shown in FIGS. 25 and 26.
  • a polyhedron obtained by cutting out the atom ⁇ 800 from the atom ⁇ 203 is defined as an atom ⁇ 900.
  • 25 and 26 which are respective development views, show the dimensions of each side as a ratio.
  • the atoms ⁇ 900 and ⁇ 800 have their mirror pairs ⁇ ′901 and ⁇ ′801.
  • the atom ⁇ 800 includes sides VO 1 , O 1 P 1 , P 1 O 1 , O 1 N 1 , N 1 O 1 , O 1 V, VP 1 , VN 1, and N 1 P 1 . It has a tetrahedron (convex polyhedron).
  • the atom ⁇ has its mirror pair atom ⁇ ′801. The atom ⁇ satisfies the following expressions (18) and (19).
  • the atom ⁇ 900 includes sides O 1 N 1, N 1 O 1 , O 1 P 1 , P 1 O 1 , O 1 C, CT, TC, CR, RC, CO 1 , N 1 P 1 , a pentahedron (convex polyhedron) having P 1 T, TR, and N 1 R;
  • the atom ⁇ 900 has its mirror pair atom ⁇ ′901.
  • FIG. 26 is a development view of the atom ⁇ 900, and the atom ⁇ satisfies the following expression (20).
  • the regular tetrahedron has 16 ⁇ 151 and 4 ⁇ 210, ⁇ 900, and ⁇ 800 each, and the total ⁇ 4 ⁇ 16 ⁇ 4 ⁇ 4 ( ⁇ 2 ⁇ ′ 2 ⁇ 8 ⁇ ′ 8 ⁇ 2 ⁇ ′ 2 ⁇ 2 ⁇ ′ 2 ).
  • the regular tetrahedron 200 is also formed from ⁇ 6 .
  • the three-dimensional puzzle of the present invention according to the first embodiment, an example that can be configured by the minimum number of atoms ⁇ , ⁇ , ⁇ , and ⁇ that also constitute all regular polyhedra has been described.
  • Such a three-dimensional puzzle of the present invention can form a regular tetrahedron, a cube and a regular dodecahedron without using the atom ⁇ . Therefore, in the three-dimensional puzzle of the present invention according to the present embodiment, the atom ⁇ can be realized by a combination of different atoms, and a regular tetrahedron, a cube, and a regular dodecahedron can be formed without using the atom ⁇ .
  • Theorem 1 can be explained visually, and there is an excellent effect that the sixth and eighth atoms ⁇ , ⁇ , ⁇ can be compared with each other. Therefore, the three-dimensional puzzle of the present invention according to this embodiment is excellent as an educational material.
  • the parallel polyhedron is a convex polyhedron that fills a three-dimensional space with a parallel moving body that contacts the surfaces.
  • Minkowski has obtained the following conclusion about a general d-dimensional parallel polyhedron.
  • P is a d-dimensional parallel polyhedron, 1) P is symmetric with respect to the center 2) All planes of P are symmetric with respect to the center 3) Along one of the (d-2) planes on the two complementary planes
  • the projection of P is either a parallelogram or a hexagon that is symmetrical about the center.
  • this quadrangular pyramid 1201 is an isosceles triangle whose bottom is square and whose four side surfaces are congruent.
  • the quadrangular pyramid 1201 when passing through two diagonal lines of the square on the bottom surface and cutting from the apex of the quadrangular pyramid 1202 by two vertical planes, four congruent triangles are obtained as shown in FIG. A cone 1203 is obtained.
  • this congruent triangular pyramid 1203 is shown again in FIG. 32C, since the three faces are orthogonal at one vertex, the triangular pyramid 1203 will be referred to as a right-angled tetrahedron 1203. From the above, it is shown that if the cube 1200 is carved well, the cube 1200 is divided into 24 congruent right-angled tetrahedrons 1203. Therefore, when the reverse operation is performed, the cube 1200 is constructed from the 24 congruent right-angled tetrahedrons 1203. it can.
  • a rhomboid dodecahedron 1300 is obtained.
  • a rhombus dodecahedron 1300 can be constructed from 48 congruent right-angled tetrahedrons 1203.
  • the rectangular tetrahedron 1203 is a common component of the cube 1200 and the rhomboid dodecahedron 1300.
  • the bottom surface of the right-angled tetrahedron 1203 is a right-angled isosceles triangle.
  • another tetrahedron 1100 is formed as shown in FIG. This tetrahedron will be referred to as Sphenoid 1100.
  • the alternate long and short dash line represents the joining surface of two triangular pyramids.
  • Sphenoid 1100 is known to have a remarkable property called self-expanding. That is, when eight of these sphenoids 1100 are combined, the length of each side can be expanded to a similar triangular pyramid that is exactly twice as long, and a space-filled solid is easily required.
  • FIG. 35A shows a long rhomboid dodecahedron 1500.
  • the long rhomboid dodecahedron 1500 is formed of two parts. One is a rhomboid dodecahedron 1300 and the other is a recessed polyhedron 1501 obtained from the rhombus dodecahedron. To obtain the second recessed polyhedron 1501, consider the four vertices of the rhomboid dodecahedron 1300.
  • a long rhombus dodecahedron 1500 is cut along the side including the vertex shown in FIG. 35, and the long rhombus dodecahedron 1500 is opened at the vertex.
  • the resulting polyhedron 1501 has a shape like a helmet.
  • the rhomboid dodecahedron 1300 is composed of 48 right-angled tetrahedrons 1203. Therefore, the long rhomboid dodecahedron 1500 can be formed using 96 right-angled tetrahedrons 1203.
  • (Truncated octahedron) Sphenoid 1100 has another important feature. As shown in FIG. 36A, when the sphenoid 1100 passes through the midpoints of the six sides and each side is cut vertically, as shown in FIG. 36B, four congruent hexahedrons 1105 are obtained. Divided into This hexahedron 1105 will be referred to as c-squadron.
  • a ninehedron (diamond) 1601 shown in FIG. 37A can be formed. Then, when the six ninehedrons 1601 are embraced (joined) to each other while adjusting so that a square and a regular hexahedron appear on the surface, a truncated octahedron 1600 is formed as shown in FIG. That is, the c-squadron 1105 becomes a constituent element of the truncated octahedron 1600, and the truncated octahedron 1600 can be formed using 24 c-squadrons 1105.
  • the cube (parallel hexahedron) 1200 has 24 right-angled tetrahedrons 1203, the rhomboid dodecahedron 1300 has 48 right-angled tetrahedrons 1203, the oblique hexagonal column 1400 has 18 sphenoids 1100, and the rhomboid dodecahedron.
  • 1500 is composed of 96 right-angled tetrahedrons 1203 and a truncated octahedron is composed of 24 c-squadrons 1105.
  • FIG. 38 (a) one of the four c-squadrons 1105 shown in FIG. 36 (b) is shown again in FIG. 38 (a). Focusing on the fact that the c-squadron 1105 is a right-and-left symmetric solid, it is divided into two congruent pentahedrons 1101 and 1103 as shown in FIG. Then, as shown in FIG. 38C, the right-angled tetrahedron 1203 shown in FIG. 32C can be formed by using two new pentahedrons 1101 and 1103 each.
  • a sphenoid 1100 can be formed with eight pentahedrons (four 1101 and four 1103). That is, it can be seen that the pentahedrons 1101 and 1103 are common components of the five types of space filling solids of Fedrov.
  • the pentahedrons 1101 and 1103 cannot be further cut into several congruent solids.
  • the pentahedrons 1101 and 1103 are Fedrov's five types of space-filled solid atoms.
  • a pentahedron (pentadron) 1101 is defined as ⁇ , and its mirror 1103 is defined as ⁇ ′.
  • FIG. 39 shows a developed view of the atom ⁇ 1101 and the atom ⁇ ′1103 with dimensions.
  • the atom ⁇ is a pentahedron (convex polyhedron) having sides ab, bc, ca, cf, fc, ca, ad, da, ab, be, eb, de, ef and fd.
  • the atom ⁇ ' is a'b', b'c ', c'a', c'f ', f'c', c'a ', a'd', d'a ', a'b', b It is a pentahedron (convex polyhedron) having 'e', e'b ', d'e', e'f 'and f'd'.
  • the atom ⁇ satisfies the following formula (1). Note that the formula of atom ⁇ ′, which is a mirror of atom ⁇ , is omitted.
  • the cube (parallel hexahedron) 1200 has 96 atoms ⁇ (48 ⁇ 1101 and 48 ⁇ ′1103), and the rhombus dodecahedron 1300 has 192 pieces.
  • Atom ⁇ (96 for ⁇ 1101 and 96 for ⁇ ′1103), 48 for the truncated octahedron 1600 ⁇ (24 for ⁇ 1101 and 24 for ⁇ ′1103), 144 for the hexagonal prism 1400 It can be seen that ⁇ (72 for ⁇ 1101 and 72 for ⁇ ′1103) and the rhomboid dodecahedron 1500 are composed of 384 atoms ⁇ (192 for ⁇ 1101 and 192 for ⁇ ′1103).
  • a cube is formed with 96 atoms ⁇ 1101 and ⁇ ′1103, a cube can be formed with only 24 atoms ⁇ (12 atoms ⁇ 1101 and ⁇ ′1103 each).
  • the minimum number of atoms constituting the Feodorov space-filling solid is one kind of ⁇ (and its mirror object ⁇ ′).
  • Theorem 2 the minimum number of atoms composing the Fedrov space-filled solid can be expressed as Theorem 2 under the following definitions (1) to (4).
  • polyhedra P and Q are “congruent” means that P and Q have the same shape or are in a mirror relationship.
  • polyhedron P 1, P 2, ⁇ , and ⁇ a set of P n. i. e, ⁇ ⁇ P 1 , P 2 ,..., P n ⁇ Undivided manner polyhedron e 1, e 2, ⁇ , and E a set of e m. i.
  • E ⁇ e 1 , e 2 ,..., e m ⁇ , ⁇ e 1 is non-dividing, and e i and e j are not congruent (i ⁇ j)
  • E a soot element (atom) set E ( ⁇ )
  • the three-dimensional puzzle of the present invention according to the present embodiment uses only the minimum number of atoms ⁇ that also constitute all the Fedrov space filling solids.
  • the three-dimensional puzzle of the present invention according to the present embodiment creates a Feodorov space-filling solid using the minimum number of atoms ⁇ , and has an excellent effect that theorem 2 can be explained visually. Therefore, the three-dimensional puzzle of the present invention according to this embodiment is excellent as an educational material for explaining theorem 2.
  • FIG. 28 is a three-dimensional puzzle of the present invention according to this embodiment, and shows a sphenoid three-dimensional puzzle.
  • the three-dimensional puzzle (sphenoid) of the present invention according to this embodiment has the shape of four pieces having the shape of the atom ⁇ 1101 and the shape of the mirror ⁇ ′1103 of the atom ⁇ 1101 as described in detail above. The four pieces can be configured.
  • the parallelepiped three-dimensional puzzle according to the present embodiment uses 48 pieces having the shape of the atom ⁇ 1101 and 48 pieces having the shape of the mirror ⁇ ′1103 of the atom ⁇ 1101 as described in detail above. Can be configured.
  • the oblique hexagonal three-dimensional puzzle according to the present embodiment includes 72 pieces having the shape of the atom ⁇ 1101 and 72 pieces having the shape of the mirror ⁇ ′1103 of the atom ⁇ 1101 as described in detail above. Can be configured.
  • the truncated octahedron three-dimensional puzzle of the present invention includes 24 pieces in the shape of the atom ⁇ 1101 and 24 pieces in the shape of the mirror ⁇ ′1103 of the atom ⁇ 1101 as described in detail above. Can be used.
  • the rhombic dodecahedron three-dimensional puzzle of the present invention includes 96 pieces having the shape of the atom ⁇ 1101 and 96 pieces having the shape of the mirror ⁇ ′1103 of the atom ⁇ 1101 as described in detail above. Can be used.
  • the long rhomboid dodecahedron three-dimensional puzzle of the present invention includes 192 pieces having the shape of the atom ⁇ 1101 and the pieces 192 having the shape of the mirror ⁇ ′1103 of the atom ⁇ 1101 as described in detail above. It can be configured using individual pieces.
  • the three-dimensional puzzle according to the first embodiment of the present invention is a three-dimensional solid in the shape of a Fedrov space-filling solid consisting of five types of parallel hexahedron, oblique hexagonal prism, rhomboid dodecahedron, truncated octahedron, and rhomboid dodecahedron.
  • a puzzle can be assembled from a piece in the shape of one atom ⁇ 1101 and a piece in the shape of its mirror ⁇ ′1103.
  • theorem 2 can be explained visually, and the three-dimensional puzzle of the present invention according to this embodiment is also excellent as an educational material.
  • the rhomboid dodecahedron 1500 includes the rhombus dodecahedron 1300. Further, from the proof of the cube 1200 and rhombus dodecahedron 1300 of Theorem 1, it has already been shown that the rhombus dodecahedron 1300 includes the cube 1200.
  • the rhomboid dodecahedron 1300 is obtained by joining the rectangular bottom surface of the quadrangular pyramid 1201 to each surface of the cube 1200. Accordingly, the rhomboid dodecahedron 1500 includes the rhombus dodecahedron 1300, and the rhombus dodecahedron 1300 includes the cube 1200.
  • the truncated octahedron 1600 encloses the cube 1200 in a special way. Considering the congruent pentahedrons ⁇ 1101 and ⁇ ′1103 shown in FIG. 38B, the hexahedron 1701 having seven vertices and eleven sides shown in FIG. 40 is obtained by joining them.
  • the hexahedron 1701 has a surface composed of three triangles (one right isosceles triangle and two congruent right triangles), two two quadrilaterals, and one pentagon. This polyhedron will be referred to as a tripadquaron.
  • a polyhedron 1703 shown in FIG. 41A is obtained.
  • the bottom surface of the polyhedron 1703 is a regular hexahedron as shown in FIG.
  • a cube 1705 having a hole in the center of each of the six surfaces shown in FIG. 42A is obtained.
  • these surfaces are cut vertically so as to pass through the diagonal lines of the two upper and lower surfaces facing each other. Looking at this diagonal cut surface shown in FIG. 42 (b), the inside of the polyhedron 1707 obtained by cutting the cube 1705 having the hole is a regular hexagonal section, and this hole cuts out half of the truncated octahedron 1603.
  • 42 (c) and 42 (d) show a cube formed by combining a truncated octahedron and a cube with a hole. It can be seen that the truncated octahedron 1600 is enclosed in the cube 1700 in a special way.
  • the hexagonal prism is encapsulated in the rhomboid dodecahedron in a unique way.
  • the rhomboid dodecahedron 1500 is composed of a rhombus dodecahedron 1300 and a helmet-shaped recessed polyhedron 1501.
  • the rhomboid dodecahedron 1300 is divided into two congruent polyhedrons 1301, and only one of them is considered.
  • the helmet-shaped depressed polyhedron 1501 shown in FIG. 43 (b) is cut off as shown in FIG. 43 (c).
  • the polyhedron 1503 on the right side of FIG. 43C is V-shaped and includes two oblique triangular prisms 1505 and 1507, one oblique triangular prism 1507 being a mirror of the other oblique triangular prism 1505.
  • Each oblique triangular prism is formed by joining three sphenoids (FIG. 36A).
  • an oblique hexagonal prism 1420 is obtained as shown in FIGS. 43 (d) and 43 (e). This shows a special inclusion of the oblique hexagonal column 1420 in the long rhomboid dodecahedron 1500.
  • the three-dimensional puzzle according to the fifth embodiment of the present invention is a three-dimensional puzzle having the shape of a Fedorov space-filled solid consisting of five types: cube, oblique hexagonal column, rhombus dodecahedron, truncated octahedron, and rhomboid dodecahedron Can be assembled from a piece in the shape of one atom ⁇ 1101 and a piece in the shape of its mirror ⁇ ′1103.
  • the rhomboid dodecahedron includes a cube, an oblique hexagonal prism, a rhomboid dodecahedron, and a truncated octahedron, and the three-dimensional puzzle of the present invention according to this embodiment It is also excellent as an educational material.
  • FIG. 44 shows an arrangement of a puzzle 1651 in which the truncated octahedral solid puzzle of the present invention according to this embodiment is halved.
  • (A) is a side view
  • (b) is a side view
  • (c) is a top view
  • (d) is a bottom view.
  • FIG. 45 shows the arrangement of a truncated octahedron three-dimensional puzzle 1650.
  • (A) is a side view
  • (b) is a side view
  • (c) is a bottom view.
  • it can be configured using 24 pieces having the shape of the atom ⁇ 1101 and 24 pieces having the shape of the mirror ⁇ ′1103 of the atom ⁇ 1101.
  • FIG. 46 is a diagram showing the arrangement of the cubic three-dimensional puzzle of the present invention according to this embodiment.
  • A shows a bottom view of a puzzle 1651 in which a truncated octahedron three-dimensional puzzle is halved
  • (b) shows a puzzle 1751 by cutting a cube with a hole
  • (c) shows a cube with a hole.
  • a cube half puzzle 1753 obtained by joining a puzzle 1651 in which a truncated octahedron three-dimensional puzzle is halved to a puzzle 1751 by cutting is shown, and (d) shows a cubic three-dimensional puzzle 1750.
  • 48 pieces having the shape of the atom ⁇ 1101 and 48 pieces having the shape of the mirror ⁇ ′1103 of the atom ⁇ 1101 can be used.
  • FIG. 47 is a diagram showing the arrangement of a rhombic dodecahedron solid puzzle according to the present embodiment.
  • (A) shows a half puzzle 1753 of a cube
  • (b) shows a puzzle 1353 obtained by removing a half of a cube from a puzzle 1351 obtained by cutting a rhombus dodecahedron in half
  • (c) shows a half of a rhombus dodecahedron.
  • disconnected is shown
  • (e) shows the top view of the puzzle 1350 of a rhombus dodecahedron.
  • FIG. 48 is a diagram showing an arrangement of the oblique hexagonal prism three-dimensional puzzle according to the present invention.
  • A shows a side view of a puzzle 1553 separated from a recessed polyhedral puzzle 1551,
  • (b) shows a front view thereof,
  • (c) shows a rear view thereof, and
  • (d) shows a recessed polyhedral puzzle.
  • 1E shows a schematic diagram of forming an oblique hexagonal prism puzzle 1450 from a puzzle 1553 cut off from 1551 and a puzzle 1351 obtained by cutting a rhombus dodecahedron 1350 in half
  • (e) shows a top view of the oblique hexagonal puzzle 1450
  • (F) shows a side view of an oblique hexagonal puzzle 1450.
  • it can be configured using 72 pieces having the shape of the atom ⁇ 1101 and 72 pieces having the shape of the mirror ⁇ ′1103 of the atom ⁇ 1101.
  • FIG. 49 is a diagram showing the arrangement of the long rhomboid dodecahedron solid puzzle according to the present embodiment.
  • A shows a side view of the recessed polyhedral puzzle 551
  • (b) shows a front view of the recessed polyhedral puzzle 1551
  • (c) shows a rear view of the recessed polyhedral puzzle 1551
  • (d ) Shows a schematic diagram of forming a rhomboid dodecahedron puzzle 1550 from a recessed polyhedron puzzle 1551 and a rhombus dodecahedron puzzle 1350, and FIG.
  • (F) shows a side view of a long rhombus dodecahedron puzzle 1550. As described in detail above, it can be configured using 192 pieces having the shape of the atom ⁇ 1101 and 192 pieces having the shape of the mirror ⁇ ′1103 of the atom ⁇ 1101.
  • the three-dimensional puzzle according to the fifth embodiment of the present invention is a three-dimensional puzzle having the shape of a Fedorov space-filled solid consisting of five types: cube, oblique hexagonal column, rhombus dodecahedron, truncated octahedron, and rhomboid dodecahedron Can be assembled from a piece in the shape of one atom ⁇ 1101 and a piece in the shape of its mirror ⁇ ′1103.
  • the rhomboid dodecahedron includes a cube, an oblique hexagonal prism, a rhomboid dodecahedron, and a truncated octahedron, and the three-dimensional puzzle of the present invention according to this embodiment It is also excellent as an educational material.

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Abstract

正多面体を構成する従来にない立体パズルを実現すること。また、フョードロフの空間充填立体を実現することができる、従来にない立体パズルを実現すること。本発明によると、内部を充填する複数の凸多面体からなる正多面体を有する立体パズルであって、前記複数の凸多面体は、鏡映関係にある一対の凸多面体を複数含み、前記複数の凸多面体は、それぞれ、２つ以上の合同な多面体に分割することができないことを特徴とする立体パズルが提供される。また、前記複数の凸多面体は、４つの凸多面体であるようにしてもよく、また、３対の前記鏡映関係にある一対の凸多面体を含むようにしてもよく、また、前記複数の凸多面体は、５つの凸多面体であるようにしてもよく、４対の前記鏡映関係にある一対の凸多面体を含むようにしてもよい。

Description

立体パズル
本発明は立体パズルに関する。特に、内部を充填する複数の凸多面体を有する正多面体パズル、及びフョードロフの空間充填立体を実現することができる立体パズルに関する。
　正多面体を何個かの凸多面体に切り分けた正多面体パズルが知られている。この従来の正多面体パズルを構成する凸多面体は、特に規則性や特徴を有するものではなく、そのパズルの難度や複雑性を調整するために適当に切り分けられているのが現状であった。
実開昭６３－２００８６７号公報 特開昭５８－０４９１６８号公報 登録実用新案第３１０７７３９号公報 国際公開第２００６／０７５６６６号 特開平０３－１５５８９１号公報
本発明は、正多面体を構成する、従来にない立体パズルを実現することを課題とする。また、フョードロフの空間充填立体を実現することができる、従来にない立体パズルを実現することを課題とする。
本発明の一実施形態によると、４種類の凸多面体からなる正四面体、立方体、正八面体、正十二面体又は正二十面体を形成する立体パズルであって、前記４種類の凸多面体のうちの３種類は、それぞれ、鏡映関係にある一対の凸多面体を有し、前記４種類の凸多面体は、それぞれ、２つ以上の合同な形状の凸多面体に分割することができず、且つ、正四面体、立方体、正八面体、正十二面体及び正二十面体は、前記４種類の凸多面体のみを用いて、それらの内部を充填するように形成されることを特徴とする立体パズルが提供される。
また、本発明の一実施形態によると、５種類の凸多面体からなる正四面体、立方体、正八面体、正十二面体又は正二十面体を形成する立体パズルであって、前記５種類の凸多面体のうちの４種類は、それぞれ、鏡映関係にある一対の凸多面体を有し、前記５種類の凸多面体は、それぞれ、２つ以上の合同な形状の凸多面体に分割することができず、且つ、正四面体、立方体、正八面体、正十二面体及び正二十面体は、前記５種類の凸多面体のみを用いて、それらの内部を充填するように形成されることを特徴とする立体パズルが提供される。
本発明の一実施形態によると、複数の第１の凸多面体及び前記第１の凸多面体と鏡映関係にある複数の第２の凸多面体からなる立体パズルであって、前記第１の凸多面体及び前記第２の凸多面体は、それぞれ、２つ以上の合同な形状の凸多面体に分割することができず、且つ、前記第１の凸多面体及び前記第２の凸多面体は、全てのフョードロフの空間充填立体をそれらの内部を充填することによって形成することができることを特徴とするフョードロフの空間充填立体パズルが提供される。
前記フョードロフの空間充填立体パズルは、複数の前記第１の凸多面体及び複数の前記第２の凸多面体を用いて形成される前記長菱形十二面体が切頂八面体、平行六面体、斜六角柱及び菱形十二面体を内包してもよい。
本発明の立体パズルによると、全ての正多面体を充填する最小数のアトム（凸多面体）で構成されているので、パーツ数が少なくても全ての正多面体（正四面体、立方体、正八面体、正十二面体、正二十面体）をも形成することができるという優れた効果を奏する。また、本発明者らが見出した新規な定理を視覚的に実証することが出来、この定理を説明する教育用教材としても優れている。
本発明の立体パズルによると、全ての正多面体をも構成する最小数のアトムに加えて別のアトムを用いることにより、最小数のアトムの一つを用いずに立方体及び正十二面体を形成することができるという優れた効果を奏する。また、本発明者らが見出した新規な定理を視覚的に説明することができるとともに、別のアトムを用いた変形例によって両者を比較することができ、この定理を説明する教育用教材としても優れている。
本発明の立体パズルによると、全ての正多面体をも構成する最小数のアトムのうちのうちの一つを用いなくても、別のアトムを用いることにより正四面体、立方体及び正十二面体を形成することができるという優れた効果を奏する。また、本発明者らが見出した新規な定理を視覚的に説明することができるとともに、別のアトムを用いた変形例によって両者を比較することができ、この定理を説明する教育用教材としても優れている。
本発明によると、フョードロフの空間充填立体を実現することができる、従来にない立体パズルが提供される。
本発明の一実施形態に係る立体パズル（正四面体）１００を示した図である。 （ａ）は立方体２００を示した図であり、（ｂ）は頂点Ｂを含む三角錐２０１を切り離した図である。 （ａ）は４個の三角錐２０１から四角錐３０１を形成する様子を示した図であり、（ｂ）は２つの四角錐３０１から正八面体３００を形成する様子を示した図である。 （ａ）は三角錐２０１の３辺上に３点Ｑ、Ｔ、Ｕをそれぞれ置いた図であり、（ｂ）は三角錐２０１から頂点Ａを含む三角錐２０３を切り離した図である。 （ａ）及び（ｂ）は頂点Ｃ、Ｆを含む三角錐２０３を切り離した図であり、（ｃ）は七面体２０７とその鏡映対称な七面体２０９とのペアを４個ずつから正二十面体４００を形成した図である。 （ａ）は正十二面体５００示した図であり、（ｂ）は４頂点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄを通る平面及び４頂点Ａ、Ｂ、Ｅ、Ｆを通る平面でそれぞれ切り離した図であり、（ｃ）は切り離しにより中央に立方体２００が残る様子を示した図である。 （ａ）は正四面体１００再掲した図であり、（ｂ）は４辺ＡＦ、ＦＣ、ＣＨ、ＨＡの中点Ｉ、Ｊ、Ｋ、Ｌを通る平面で正四面体１００を切断した図であり、（ｃ）プリズム１０１を取り出した図であり、（ｄ）は辺ＦＨの中点をＭとして、３点Ｊ、Ｌ、Ｍを通る平面で切断した図であり、（ｅ）は五面体１０３を２個の合同な四面体１１０と１１１とに分けた図である。 本発明の一実施形態に係る立体パズルを構成するアトムαの形状をしたピース１１０の展開図を示した図である。 （ａ）はイクイヘプタ２０７を再掲した図であり、（ｂ）はイクイヘプタ２０７が３個の立体に分かれる様子を示した図である。 本発明の一実施形態に係る立体パズルを構成するアトムβの形状をしたピース２１０展開図である。 本発明の一実施形態に係る立体パズルを構成するアトムγの形状をしたピース２０３の展開図である。 （ａ）は本発明の一実施形態に係るルーフ５０１を再掲した図であり、（ｂ）は本発明の一実施形態に係る立体パズルを構成するアトムδの形状をしたピース５１０を示した図である。 本発明の一実施形態に係る立体パズルを構成するアトムδの形状をしたピース５１０の展開図である。 本発明の一実施形態に係る立方体の立体パズル２００を示した図である。 本発明の一実施形態に係る三角錐のパーツ２０１をアトムβの形状をしたピース２１０からなるパーツ２０７とアトムγの形状をしたピース２０３を用いて構成した図である。 本発明の一実施形態に係るパーツ２０７を３個のアトムβの形状をしたピース２１０を用いて構成した図である。 本発明の一実施形態に係る正八面体の立体パズル３００を示した図である。 本発明の一実施形態に係る正十二面体の立体パズル５００を示した図である。 本発明の一実施形態に係る正二十面体の立体パズル４００を示した図である。 （ａ）は、ルーフ５０１が立方体２００の内部に収まるように裏返した様子を示した図であり、（ｂ）は、本発明の一実施形態に係る六面体６０１を示した図であり、（ｃ）は六面体６０１の展開図を示し、（ｄ）は鏡映対称な２個の六面体６０１及び６０２で立方体２００の内部を充填したときの様子を示した図である。 本発明の一実施形態に係るアトムεの形状をしたピース６１０の展開図である。 （ａ）は、アトムαの形状をしたピース１１０を再掲した図であり、（ｂ）はピース１１０を四面体１２１と四面体１２３に切り分けた図であり、（ｃ）は本発明の一実施形態に係るアトムζの形状をしたピース１５１とアトムζ’の形状をしたピース１５２に切り分けた図であり、（ｄ）は四面体１２３と四面体１２４を接合させた四角錐７０１を示した図である。 本発明の一実施形態に係るアトムζの形状をしたピース１５１の展開図である。 アトムγの形状をしたピース２０３の先端を、本発明の一実施形態に係るアトムθの形状をしたピース８００とアトムηの形状をしたピース９００に切り分けた様子を示した図である。 本発明の一実施形態に係るアトムθの形状をしたピース８００の展開図である。 本発明の一実施形態に係るアトムηの形状をしたピース９００の展開図である。 本発明の一実施形態に係るアトムα２個分の多面体の形状をしたピース７００を示した図である。 本発明の一実施形態に係る正四面体の立体パズルを示す図である。 （ａ）から（ｅ）は５種類のフョードロフの空間充填立体を示し、（ａ）は平行六面体を示し、（ｂ）は菱形十二面体を示し、（ｃ）は斜六角柱を示し、（ｄ）は長菱形十二面体を示し、（ｅ）は切頂八面体を示す図であり、本発明の一実施形態に係る立体パズルの図である。 （ａ）から（ｅ）は、５種類のフョードロフの空間充填立体の平行移動による積み重ねにより空間が充填される様子を示す模式図である。（ａ）は平行六面体、（ｂ）は菱形十二面体、（ｃ）は斜六角柱、（ｄ）は長菱形十二面体、（ｅ）は切頂八面体による空間充填の様子をそれぞれ示す図である。 （ａ）は、立方体１２００を示す図であり、（ｂ）は、６個の合同な四角錐１２０１に切り分けた図である。 （ａ）は、四角錐１２０１の１つを示す図であり、（ｂ）は、四角錐１２０１を２枚の垂直面で直角四面体１２０３に切り分けた図であり、（ｃ）は１つの直角四面体１２０３を示す図である。 （ａ）は立方体１２００の各面に四角錐１２０１を接合する模式図を示し、（ｂ）は菱形十二面体１３００を示す図である。 （ａ）は２つの直角四面体１２０３を直角二等辺三角形の底面で接合させたスフェノイド１１００の図であり、（ｂ）はスフェノイド１１００を３個組み合わせた三角柱１４０１を示す図で、（ｃ）は斜六角柱１４００を示す図である。 （ａ）は菱形十二面体１３００を示し、（ｂ）は菱形十二面体１３００と窪んだ多面体１５０１から長菱形十二面体１５００を形成する模式図である。 （ａ）は、本発明の一実施形態に係るスフェノイド１１００を示す図であり、（ｂ）は、ｃ－スクアドロン１１０５に切り分けた図である。 （ａ）は、４個のｃ－スクアドロン１１０５を九面体１６０１に組み替えた図であり、（ｂ）は、６個の九面体１６０１により切頂八面体１６００を形成する模式図である。 （ａ）は本発明の一実施形態に係るｃ－スクアドロン１０５を示す図であり、（ｂ）はｃ－スクアドロン１１０５をσ１１０１及びσ’１１０３に切り分けた模式図であり、（ｃ）はσ１１０１及びσ’１０３を２個ずつ用いて直角四面体１２０３を形成する模式図である。 本発明の一実施形態に係るσ１１０１及びσ’１１０３の展開図である。 本発明の一実施形態に係るσ１１０１及びσ’１１０３を用いて六面体１７０１を形成した模式図である。 （ａ）は六面体１７０１を３個用いて多面体１７０３を形成した上面図であり、（ｂ）は多面体１７０３の底面図である。 （ａ）は多面体１７０３を用いて穴が開いた立方体１７０５を形成する模式図であり、（ｂ）は穴が開いた立方体１７０５と切頂八面体の半分１６０３との組合せを示す図であり、（ｃ）は穴が開いた立方体１７０５と切頂八面体の半分１６０３とにより形成された立方体の半分を示す図であり、（ｄ）は形成された立方体１７００を示す図である。 （ａ）は菱形十二面体の半分１３０１を示した図であり、（ｂ）は窪んだ多面体１５０１を示す図であり、（ｃ）は窪んだ多面体１５０１から切り離した多面体１５０３を示す図であり、（ｄ）は多面体１５０３と菱形十二面体の半分１３０１とから斜六角柱１４２０を形成する図であり、（ｅ）は斜六角柱１４２０を示す図である。 本発明の一実施形態に係る切頂八面体の立体パズルを半分にしたパズル１６５１の配置を示す。（ａ）は側面図を、（ｂ）は側面図を、（ｃ）は上面図を、（ｄ）は底面図をそれぞれ示す。 本発明の一実施形態に係る切頂八面体の立体パズル１６５０の配置を示す。（ａ）は側面図を、（ｂ）は側面図を、（ｃ）は底面図をそれぞれ示す。 本実施形態に係る本発明の立方体の立体パズルの配置を示す図である。（ａ）は切頂八面体の立体パズルを半分にしたパズル１６５１の底面図を示し、（ｂ）は穴が開いた立方体の切断によるパズル１７５１を示し、（ｃ）は穴が開いた立方体の切断によるパズル１７５１に切頂八面体の立体パズルを半分にしたパズル１６５１を接合した立方体の半分のパズル１７５３を示し、（ｄ）は立方体の立体パズル１７５０を示す。 本実施形態に係る本発明の菱形十二面体の立体パズルの配置を示す図である。（ａ）は立方体の半分のパズル１７５３を示し、（ｂ）は菱形十二面体を半分に切断したパズル１３５１から立方体の半分を除いたパズル１３５３を示し、（ｃ）は菱形十二面体を半分に切断したパズル１３５１を示し、（ｄ）は菱形十二面体のパズル１３５０の側面図を示し、（ｅ）は菱形十二面体のパズル１３５０の上面図を示す。 本実施形態に係る本発明の斜六角柱の立体パズルの配置を示す図である。（ａ）は窪んだ多面体のパズル１５５１から切り離したパズル１５５３の側面図を示し、（ｂ）はその前面図を示し、（ｃ）はその背面図を示し、（ｄ）は窪んだ多面体のパズル１５５１から切り離したパズル１５５３と菱形十二面体１３５０を半分に切断したパズル１３５１から斜六角柱のパズル１４５０を形成する模式図を示し、（ｅ）は斜六角柱のパズル１４５０の上面図を示し、（ｆ）は斜六角柱のパズル１４５０の側面図を示す。 本実施形態に係る本発明の長菱形十二面体の立体パズルの配置を示す図である。（ａ）は窪んだ多面体のパズル１５５１の側面図を示し、（ｂ）は窪んだ多面体のパズル１５５１の前面図を示し、（ｃ）は窪んだ多面体のパズル１５５１の背面図を示し、（ｄ）は窪んだ多面体のパズル１５５１と菱形十二面体のパズル１３５０とから長菱形十二面体のパズル１５５０を形成する模式図を示し、（ｅ）は長菱形十二面体のパズル１５５０の上面図を示し、（ｆ）は長菱形十二面体のパズル１５５０の側面図を示す。
　　１００　　正四面体
　　１０１　　プリズム
　　１０３　　五面体
　　１１０　　アトムα
　　１１１　　アトムα’
　　１２１　　四面体ＬＪＫＷ
　　１２３　　四面体ＬＨＫＷ
　　１２４　　四面体１２３の鏡映体
　　１５１　　アトムζ
　　１５２　　アトムζ’
　　２００　　立方体
　　２０１　　正三角錐
　　２０３　　ゴールデンテトラ（アトムγ）
　　２０４　　アトムγ’
　　２０５　　正三角錐からゴールデンテトラを除いた多面体
　　２０７　　イクイヘプタ
　　２０９　　イクイヘプタの鏡映体
　　２１０　　アトムβ
　　２１１　　アトムβ’
　　３００　　正八面体
　　３０１　　四角錐
　　４００　　正二十面体
　　５００　　正十二面体
　　５０１　　ルーフ
　　５１０　　アトムδ
　　６０１　　六面体
　　６０２　　六面体６０１の鏡映体
　　６１０　　アトムε
　　６１１　　アトムε’
　　７００　　α２
　　７０１　　四角錐ＬＨＫＷＫ’
　　８００　　アトムθ
　　８０１　　アトムθ’
　　９００　　アトムη
　　９０１　　アトムη’
　　１１００　　スフェノイド
　　１１０１　　σ
　　１１０３　　σ’
　　１１０５　　ｃ－スクアドロン
　　１２００　　立方体
　　１２０１　　四角錐
　　１２０３　　三角錐(直角四面体)
　　１３００　　菱形十二面体
　　１３０１　　菱形十二面体を半分に切断した多面体
　　１３５０　　菱形十二面体のパズル
　　１３５１　　菱形十二面体を半分に切断したパズル
　　１３５３　　菱形十二面体を半分に切断したパズルから立方体の半分を除いたパズル
　　１４００　　斜六角柱
　　１４０１　　三角柱
　　１４０３　　鏡映対称な三角柱
　　１４２０　　斜六角柱
　　１４５０　　斜六角柱のパズル
　　１５００　　長菱形十二面体
　　１５０１　　窪んだ多面体
　　１５０３　　窪んだ多面体５０１から切り離した多面体
　　１５０５　　斜三角柱
　　１５０７　　斜三角柱５０５の鏡映体
　　１５５０　　長菱形十二面体のパズル
　　１５５１　　窪んだ多面体のパズル
　　１５５３　　窪んだ多面体のパズル５５１から切り離したパズル
　　１６００　　切頂八面体
　　１６０１　　九面体(ダイヤモンド)
　　１６０３　　切頂八面体の半分
　　１６５０　　切頂八面体のパズル
　　１６５１　　切頂八面体の半分のパズル
　　１７００　　立方体
　　１７０１　　六面体
　　１７０３　　多面体
　　１７０５　　穴が開いた立方体
　　１７０７　　穴が開いた立方体の切断による多面体
　　１７０９　　立方体の半分に切断した多面体
　　１７５０　　立方体のパズル
　　１７５１　　穴が開いた立方体の切断によるパズル
　　１７５３　　立方体の半分のパズル
（実施形態１）
複数個の凸多面体によって正多面体の内部がぴたりと充填されるとき、これら凸多面体は正多面体の構成要素（ここでは「アトム」という。）であるということができる。言い換えれば、その正多面体がいくつかのアトムに切り分けられることを意味している。正多面体としては、正四面体、立方体、正八面体、正十二面体及び正二十面体のみが存在する。
一方、正多面体を何個かの凸多面体に切り分ける方法は無限に存在する。つまり、正多面体を構成するアトムは無限に存在する。
そこで、本発明者らは、アトムの種類を少なく抑えながら、全ての正多面体もそれらのアトムで充填できるようにするには、どのようなアトムを採用すればよいかということについて鋭意検討を重ねた。その結果、全ての正多面体をも充填する最小数のアトムの形状を見出した。以下、本発明者らが全ての正多面体をも充填する最小数のアトムの形状を見出した経緯について説明する。
まず、自明なアトムは除外するステップについて説明する。たとえば正多角形として正四面体を検討する。正四面体の中心を頂点とし、正四面体の表面上の４個の三角形を底面として、正四面体を４個の合同な三角錐に切り分ける。この三角錐の底面は正三角形なので、３回割りの回転対称性と鏡映対称性を持ち、それらはさらに６個ずつの合同な三角錐に切り分けられる。ここで、鏡映対称な凸多面体は同じアトムであると定義すると、１種類のアトムを２４個使って正四面体の内部をぴたりと充填できることになる。
上述した正四面体の切り分け方法と同じ切り分け方法は、如何なる正多面体にも適用することができる。即ち、立方体及び正八面体は４８個のアトムで充填され、また、正十二面体及び正二十面体は１２０個のアトムで充填される。しかし、これらはどれも自明なアトムであり、特定の正多面体の充填には有効であるが、ほかの正多面体のアトムに転用しようとすると、途端に効率の悪いアトムになってしまう。
この自明なアトムを除外するために、以下の条件Ａを付加することにする。
［条件Ａ］：どのアトムも少なくとも２種類の正多面体のアトムとして利用することができること
すると、特定の正多面体に効率的なアトムを採用したときは、それがほかの正多面体の充填にも有効に活用できる方法を編み出す必要がある。ここで、どの正多面体もなるべく多くの数のアトムを使って充填するのが好ましい。ただし、これには補足が必要である。それは、立方体が自己拡大型のため、１つの充填方法を見つけると、それを上下、左右に並べるだけで、アトムの個数を２３倍、３２倍、・・・などに容易に増やせるためである。このため、立方体に関しては、自己拡大の性質を利用しない基本的な充填方法に限定して検討する。このように、［条件Ａ］を満足しながら、なるべく少ない種類のアトムをなるべく多く使って、すべての正多面体を充填することが課題となってくる。
なお、鏡映対称な凸多面体を同じ種類のアトムと定義したのは、（１）正多面体にさまざまな対称性があるため、鏡映対称な凸多面体はかなり使用されると予想されるため、（２）この充填問題とよく似ているタイル張りの問題では、裏返しの図形同士を同一視することが常識となっているためである。
正多面体には正四面体、正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体の５種類が知られている。これらの正多面体を［条件Ａ］を満たすように何種類かのアトムで充填するには、まず５種類の正多面体の間の相互の関係を調べる必要がある。
図２（ａ）のように、立方体２００においては、立方体２００の上面の正方形をＡＢＣＤ、底面の正方形をＥＦＧＨとして、３頂点Ａ、Ｃ、Ｆを通る平面でこの立方体を切り、図２（ｂ）のように、頂点Ｂを含む三角錐２０１を切り離す。この断面は正三角形であるため、同じ方法で頂点Ｄ、Ｅ、Ｇを含む三角錐もそれぞれ切り離すと、残りの立体ＡＣＦＨは図２（ａ）に示すとおり正四面体１００になる。図２（ａ）の６本の一点鎖線は、この切り分けで得られた正四面体１００を示す。
つぎに、図２（ｂ）に示すとおり、切り離された４個の三角錐２０１は、底面が正三角形、側面が直角二等辺三角形をなす。これらの三角錐２０１の頂点Ｂ、Ｄ、Ｅ、Ｇを１点に集め、底面が正方形になるように配置すると、図３（ａ）に示す４つの側面がすべて正三角形である四角錐３０１となる。この四角錐３０１を２個用い、図３（ｂ）に示すように底面の正方形を抱き合わせると（底面の正方形同士を接合すると）正八面体３００となる。この切り分け方法によると、立方体２００と正四面体１００と正八面体３００との間の１つの関係が得られる。
つぎに、図２（ｂ）に示した三角錐２０１に着目し、図４（ａ）に示すように、３辺ＡＢ、ＡＣ、ＡＦ上に３点Ｑ、Ｔ、Ｕをそれぞれ以下の式（１）を満たす割合で置く。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000001
ここでτは黄金比であり、周知のように以下の式（２）によって得ることができる。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000002
となる。
そして、図４（ｂ）に示すように、三角錐２０１から頂点Ａを含む三角錐２０３を切り離す。同じ方法で、図５（ａ）、（ｂ）に示すように、頂点Ｃ、Ｆを含む三角錐２０３もそれぞれ切り離すと、中央に七面体２０７が残る。ここで、３点Ｒ、Ｓ、Ｖはそれぞれ３辺ＣＢ、ＦＢ、ＦＣ上に以下の式（３）を満たす割合で置く。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000003
この方法によって図５（ｂ）の中央の七面体２０７を作ると、背面の三角形ＴＵＶが正三角形であり、側面の３個の直角三角形ＴＱＵ、ＵＳＶ、ＶＲＴがすべて背面の正三角形ＴＵＶを左右に２等分したときの左側の直角三角形と合同になる。
つぎに、以下の式（４）の関係が成立することに着目する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000004
この七面体２０７とその鏡映対称な七面体２０９とのペアを４個ずつ作る。それらを交互に抱き合わせる（接合する）と、図５（ｃ）に示す正二十面体４００が形成される。よって、三角錐２０１と正二十面体４００との間の１つの関係が得られる。
つぎに、正十二面体５００を図６（ａ）に示す。図６（ｂ）のように、４頂点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄを通る平面で上部を切り離し、４頂点Ａ、Ｂ、Ｅ、Ｆを通る平面で右部を切り離す。すると、２つの断面は合同な正方形になり、切り離された２個の立体は合同な五面体５０１になる。図６（ｃ）の一点鎖線のように、さらに４個の平面で切ると、中央に立方体２００が残る。正十二面体と立方体の間の１つの関係が得られる。
上述の検討から、立方体２００の切り分けから正四面体１００と正八面体３００と正二十面体４００とが得られ、また、正十二面体５００の切り分けから立方体２００が得られる。これらの切り分けは［条件Ａ］を満たしている。
次に、［条件Ａ］を満足しながら、全ての正多面体を充填することができる、なるべく少ない種類のアトムについて検討する。まず、正四面体１００は図２（ａ）に示す一点鎖線の正四面体そのものから構成されると考える。つぎに、立方体２００は正四面体１００が１個と、七面体２０７及びその鏡映対称な七面体２０８が２個ずつと、四面体２０３とその鏡映対称な四面体が６個ずつとの３種類（鏡映体を区別すると５種類）の凸多面体で構成されている。つぎに、正八面体３００は七面体２０７及びその鏡映対称な七面体２０８が４個ずつと、四面体２０３及びその鏡映対称な四面体が１２個ずつとの２種類（鏡映体を区別すると４種類）の凸多面体で構成されている。つぎに、正十二面体は図６（ｂ）に示すとおり、五面体５０１が６個と正四面体１００が１個と、七面体２０７及び鏡映対称な七面体２０８が２個ずつと、四面体２０３とその鏡映対称な四面体が６個ずつとの４種類（鏡映体を区別すると６種類）の凸多面体で構成されている。最後に、正二十面体は七面体２０７及びその鏡映対称な七面体２０８が４個ずつからなる１種類の凸多面体で構成される。
以上の検討から、
［１］正四面体１００（正四面体１００と立方体２００及び正十二面体５００に使用）
［２］七面体（ｅｑｕｉｈｅｐｔａ（イクイヘプタ））２０７（及びその鏡映体２０８）（立方体１００と正八面体３００と正二十面体４００とに使用）
［３］四面体（Ｇｏｌｄｅｎ　Ｔｅｔｒａ（ゴールデンテトラ））２０３（及びその鏡映体２０４）（立方体１００と正八面体３００とに使用）
［４］五面体（ｒｏｏｆ（ルーフ））５０１（正十二面体５００に使用）
となり、４種類の凸多面体（鏡映体を区別すると６種類）がどれも正多面体の構成に使われていることがわかる。
これらの４種類の凸多面体がそれぞれ何個ずつかの合同な凸多面体に切り分けられれば、正多面体を構成するアトムの個数は増加してしまう。自明な切り分けは除外し検討する。まず、［１］の正四面体１００において、図２（ａ）から抜き出したこの正四面体１００を図７（ａ）に再掲し、４辺ＡＦ、ＦＣ、ＣＨ、ＨＡの中点Ｉ、Ｊ、Ｋ、Ｌを通る平面で正四面体１００を切る。すると、図７（ｂ）のように、この断面は正方形（ペトリー図形）となり、切り分けられた２個の立体は合同なプリズム（三角柱）１０１になる。図７（ｃ）はその一方のプリズム１０１を取り出し、向きを変えて眺めたものである。辺ＦＨの中点をＭとして、図７（ｄ）のように３点Ｊ、Ｌ、Ｍを通る平面で切ると、２個の合同な五面体１０３に分かれる。しかも、それぞれの五面体１０３は左右に対称なため、右側の五面体１０３をとると、図７（ｅ）のように、さらに２個ずつの合同な四面体１１０と１１１とに分けることができる。図８は右側の四面体１１０（ＫＪＬＨ）の展開図を示したもので、比によって寸法が記載されている。以下では、この四面体１１０をαとし、正多面体を構成する１つのアトムと定義する。すると、図１に示すように、正四面体１００は８個のアトムで構成されるため、分子式のように、これをα８と記すことができる。
ここで、図７（ｅ）にしめしたように、アトムαは、頂点をＫＪＬＨとする四面体（凸多面体）１１０及びその鏡映体である頂点をＭＪＬＨとする四面体１１１である。アトムα１１０は、以下の式（５）に示す条件を満たす。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000005
つぎに、［２］のイクイヘプタ２０７について検討すると、図９（ａ）に再掲したイクイヘプタ２０７は、正三角形ＴＵＶを底面、点Ｂを頂点とすると、３回割りの回転対称性を有する。このため、正三角形の中心をＯとすると、Ｏを通って１２０°ずつに分かれた３枚の面で垂直に切り下ろせば、つねに合同な３個の立体２１０に分かれる。このときの切り分けを図９（ｂ）に、その展開図を図１０に示す。
以下では、この七面体２１０をβとし、正多面体を構成する１つのアトムと定義する。アトムβ２１０は、図１０に示すように、辺ＢＸ、ＸＹ、ＹＯ、ＯＡ１、Ａ１Ｚ、ＺＴ、ＴＺ、ＺＡ１、Ａ１Ｏ、ＯＹ、ＹＸ、ＸＲ、ＲＸ、ＸＢ、ＢＯ、ＢＺ、ＢＲ、ＲＴ、ＴＹ及びＴＡ１を有する７面体（凸多面体）である。
ここで、ａ、ｋ、ｋ’、ｂ、ｃ、ｄは以下の式（６）～式（１１）の条件を満たす。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000006
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000007
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000008
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000009
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000010
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000011
このとき、アトムβ２１０は、以下の式（１２）に示す条件を満たす。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000012
正二十面体は２４個のアトムβ２１０で構成されるので、これをβ２４と記すことができる。
つぎに［３］のゴールデンテトラ２０３について検討すると、ゴールデンテトラ２０３を複数の合同な凸多面体に切り分けることはできない。そこで、このゴールデンテトラ２０３をγとし、正多面体を構成する１つのアトムと定義する。図１１はアトムγ２０３の展開図で、比によって寸法を示す。アトムγは、図１１に示すように、辺ＣＲ、ＲＣ、ＣＶ、ＶＣ、ＣＴ、ＴＣ、ＲＴ、ＲＶ及びＶＴを有する４面体（凸多面体）である。アトムγは、以下の式（１３）を満たす。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000013
すると、正八面体はβとγが２４個ずつで構成されるので、β２４γ２４と記すことができる。また、図１（ａ）の立方体は、αが８個、βとγが１２個ずつで構成されるので、α８β１２γ１２と記すことができる。
つぎに、［４］のルーフ５０１について検討すると、ルーフ５０１は上下と左右に対称性があることを考慮したうえで、これを図１２（ａ）及びのように２個の合同な五面体５１０に切り分ける。この五面体５１０をδとし、正多面体を構成する１つのアトムとして定義する。図１３はアトムδ５１０の展開図で、比を用いて寸法を示す。アトムδ５１０は、図１３に示すように、辺ＢＥ、ＥＤ１、Ｄ１Ａ、ＡＤ１、Ｄ１Ｅ、ＥＢ、ＢＣ１、Ｃ１Ｅ、Ｃ１Ｄ１、ＢＡ及びＡＥを有する五面体（凸多面体）である。アトムδ５１０は、以下の式（１４）を満たす。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000014
以上により最小の数のアトムα、β、γ及びδにより正多面体を構成する解を得た。アトムα、β、γ、δを用い、個々の正多面体は、
正四面体・・・・・・・・・・・・α８
立方体・・・・・・・・・・・・・・α８β１２γ１２
正八面体・・・・・・・・・・・・β２４γ２４
正十二面体・・・・・・・・・・α８β１２γ１２δ１２
正二十面体・・・・・・・・・・β２４
と表現することができる。ただし、鏡映対称なアトムも同じ記号α、β、γ、δで示している。鏡映対称なアトムにプライム記号（’）をつけて区別すれば、
正四面体・・・・・・・・・・・・α４α’４
立方体・・・・・・・・・・・・・・α４α’４β６β’６γ６γ’６
正八面体・・・・・・・・・・・・β１２β’１２γ１２γ’１２
正十二面体・・・・・・・・・・α４α’４β６β’６γ６γ’６δ１２
正二十面体・・・・・・・・・・β１２β’１２
となる。
以上のことから、正多面体を構成する最小の数のアトムは、α、β、γ、δの４種類であることが見出された。
ここで、正多面体を構成する最小の数のアトムは、以下の（１）～（４）の定義のもとで、定理１として表現することができることがわかった。
（１）多面体ＰとＱとが「合同」であるとは、ＰとＱとが全く同じ形であるか、または鏡映関係にあることである。
（２）多面体が「非分割的（ｉｎｄｅｃｏｍｐｏｓａｂｌｅ）」であるとは、Ｐを２個以上の合同な多面体に分割できないことである。
（３）多面体Ｐ１、Ｐ２、・・・、Ｐｎの集合をΠとする。
ｉ．ｅ，　Π＝｛Ｐ１、Ｐ２、・・・、Ｐｎ｝
非分割的多面体ｅ１、ｅ２、・・・、ｅｍの集合をＥとする。
ｉ．ｅ，　Ｅ＝｛ｅ１、ｅ２、・・・、ｅｍ｝、∀ｅ１は非分割的、ｅｉとｅｊとは非合同（ｉ≠ｊ）
このとき、ＥがΠの元素（アトム）集合Ｅ（Π）であるとは、以下の式（１５）を満たすことである。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000015
すなわち、Πに属する如何なる多面体Ｐｉも、Ｅに属する非分割的多面体に分割できる。（４）Πの元素数（アトム数、ａｔｏｍ　ｎｕｍｂｅｒ）ｅ（Π）とは、Πに対する種々の元素集合の中で、位数の最小数をいう。
すなわち、ｅ（Π）＝ｍｉｎ｜Ｅ（Π）｜
（定理１）
Π１＝｛正多面体の集合｝とする。
ｅ（Π１）≦４であり、ｅ（Π１）＝｛α、β、γ、δ｝
ここで、全ての正多面体をも構成する最小数のアトムα、β、γ、δを用いた本実施形態に係る本発明の立体パズルの詳細について説明する。本実施形態に係る本発明の立体パズルは、最小数のアトムα、β、γ、δを用いて正多面体を作り上げるものであり、上記定理１を視覚的に説明することができるという優れた効果を奏する。よって、本実施形態に係る本発明の立体パズルは、上記定理１を説明する教育用教材としても優れている。
（正四面体の立体パズル）
図１を参照する。図１は、本実施形態に係る本発明の立体パズルであり、正四面体の立体パズル１００を示している。図１に示すとおり、本実施形態に係る本発明の立体パズル（正四面体の立体パズル１００）は、上で詳細に説明したとおりアトムα１１０の形状をしたピース４個及びアトムα１１０の鏡映体α’１１１の形状をしたピース４個を用いて構成することができる。なお、図１に示す本実施形態に係る正四面体の立体パズル１００は一例であり、本実施形態に係る正四面体の立体パズルには、アトムα１１０とアトムα’１１１との相対的な位置関係を維持しながら、それらの配置を変えた例も存在する。
（立方体の立体パズル）
図１４を参照する。本実施形態に係る本発明の立体パズルであり、立方体の立体パズル２００を示している。上で詳細に説明したとおり、立方体はアトムα（及びα’）からなる正四面体１００を内包し、その４つの面にそれぞれに側面が直角二等辺三角形をなす三角錐２０１を接合することにより構成されている。また、図１５に示すように、三角錐２０１は、３個のアトムβの形状をしたピース２１０からなるパーツ２０７（図１６）を中心として、アトムγの形状をしたピース２０３を３個配置したパーツである。よって、本実施形態に係る本発明の立体パズル（立方体パズル２００）は、アトムαの形状をしたピース１１０が４個及びアトムαの鏡映体α’の形状をしたピース１１１が４個と、アトムβの形状をしたピース２１０が６個及びアトムβの鏡映体β’の形状をしたピース２１１が６個と、アトムγの形状をしたピース２０３が６個及びアトムγの鏡映体γ’の形状をしたピース２０４が６個とを用いて構成することができる。なお、図１４に示す本実施形態に係る立方体の立体パズル２００は一例であり、本実施形態に係る立方体の立体パズルには、αとα’との相対的な位置関係、βとβ’との相対的な位置関係、及びγとγ’との相対的な位置関係を維持しながら、それらの配置を変えた例も存在する。
（正八面体の立体パズル）
図１７を参照する。本実施形態に係る本発明の立体パズルであり、正八面体の立体パズル３００を示している。上で詳細に説明したとおり、正八面体の立体パズル３００は、側面が直角二等辺三角形をなす正三角錐２０１を８個接合したものである。よって、本実施形態に係る本発明の立体パズル（正八面体パズル３００）は、アトムβの形状をしたピース２１０を１２個及びアトムβの鏡映体β’の形状をしたピース２１１を１２個と、アトムγの形状をしたピース２０３を１２個及びアトムγの鏡映体γ’の形状をしたピース２０４を１２個とを用いて構成することができる。なお、図１７に示す本実施形態に係る正八面体の立体パズル３００は一例であり、本実施形態に係る正八面体の立体パズル３００には、βとβ’との相対的な位置関係、及びγとγ’との相対的な位置関係を維持しながら、それらの配置を変えた例も存在する。
（正十二面体の立体パズル）
図１８を参照する。本実施形態に係る本発明の立体パズルであり、正十二面体の立体パズル５００を示している。図６（ｃ）に示したとおり、中心に立方体２００を内包し、図１２（ｂ）に示したアトムδの形状をしたピース５１０を２個からなるルーフのパーツ５０１を立方体２００の６つの側面に配置したものである。よって、本実施形態に係る本発明の立体パズル（正十二面体パズル５００）は、アトムαの形状をしたピース１１０を４個及びアトムαの鏡映体α’の形状をしたピース１１１を４個と、アトムβの形状をしたピース２１０を６個及びアトムβの鏡映体β’の形状をしたピース２１１を６個と、アトムγの形状をしたピース２０３を６個及びアトムγの鏡映体γ’の形状をしたピース２０４を６個と、δの形状をしたピース５１０を１２個とを用いて構成することができる。なお、図１８に示す本実施形態に係る正十二面体の立体パズル５００は一例であり、本実施形態に係る正十二面体の立体パズルには、α１１０とα’１１１との相対的な位置関係、β２１０とβ’２１１との相対的な位置関係、及びγ２０３とγ’２０４との相対的な位置関係を維持しながら、それらの配置を変えた例も存在する。
（正二十面体の立体パズル）
図１９を参照する。本実施形態に係る本発明の立体パズルであり、正二十面体の立体パズル４００を示している。上で詳細に説明したとおり、図１６に示した３個のアトムβの形状をしたピ－ス２１０からなるイクイヘプタの形状をしたパーツ２０７とイクイヘプタの鏡映対称な形状をしたパーツ２０９とのペアを４個ずつ作り、それらを交互に接合することにより形成される。よって、本実施形態に係る本発明の立体パズル（正二十面体パズル４００）は、アトムβの形状をしたピース２１０を１２個及びアトムβの鏡映体β’の形状をしたピース２１１を１２個と、を用いて構成することができる。なお、図１９に示す本実施形態に係る正二十面体の立体パズル４００は一例であり、本実施形態に係る正二十面体の立体パズル４００には、βとβ’との相対的な位置関係を維持しながら、それらの配置を変えた例も存在する。
以上説明したとおり、本実施形態に係る本発明の立体パズルは、全ての正多面体を充填する最小数のアトム（凸多面体）で構成されているので、パーツ数が少なくても全ての正多面体（正四面体、立方体、正八面体、正十二面体、正二十面体）をも形成することができるという優れた効果を奏する。また、本発明者らが見出した定理を視覚的に実証することが出来、上記定理１を説明する教育用教材としても優れている。
（実施形態２）
本実施形態においては、実施形態１のアトムαを用いずに立方体及び正十二面体を形成することができる立体パズルの例について説明する。
図２０を参照する。図２０（ａ）は、２個のアトムδ５１０（図１２（ｂ））からなる６個のルーフ５０１（δ２）が立方体２００の内部に収まるように裏返した様子を示したものである。図２０（ａ）においては、見やすいように背面と左側面と底面のルーフ５０１だけを示してある。裏返された五面体５０１（δ２）の各面は、各面の二面角から明らかであるように隙き間なく重なる。しかし、立方体の八隅にそれぞれ細長い隙き間が生じ、これを充填するためには鏡映対称な４個ずつの六面体６０１及び６０２が必要になる。図２０（ｂ）には、図２０（ａ）の左下隅の手前を充填するための六面体６０１を示し、図２０（ｃ）にはその展開図を示す。また、図２０（ｄ）は鏡映対称な２個の六面体６０１及び６０２で左下の２隅を充填したときの様子を示す。これにより正十二面体５００と立方体２００との間に実施形態１とは別の１つの関係が得られる。
実施形態１で説明した立方体とは別の立方体の構成として、ルーフ５０１（δ２）が６個、六面体６０１とその鏡映対称な六面体６０２が４個ずつとの２種類の凸多面体により構成される。また、正十二面体５００は、ルーフ５０１（δ２）が１２個と、六面体６０１及びその鏡映対称な六面体６０２が４個ずつとの２種類の凸多面体で構成されている。
以上の検討から、
［１］正四面体１００（正四面体１００と立方体２００とに使用）
［２］イクイヘプタ２０７及びその鏡映体２０９（立方体１００と正八面体３００と正二十面体５００とに使用）
［３］ゴールデンテトラ２０３及びその鏡映体２０４（立方体２００と正八面体３００とに使用）
［４］ルーフ５０１（正十二面体５００に使用）
［５］六面体６０１及びその鏡映体６０２（立方体２００と正十二面体５００とに使用）となり、５種類の凸多面体がどれも２個以上の正多面体の構成に使われていることがわかる。
ここで、［１］～［４］の凸多面体については、実施形態１で詳細に説明したのでここでは省略する。
［５］の六面体６０１について検討すると、これは図２０（ｂ）の六面体で、図２０（ｃ）の展開図から明らかなように、３回割りの回転対称性を有する。このため、１２０°ずつに分かれた３枚の面で垂直に切り下ろすことにより、３個の合同な凸多面体に分かれる。六面体６０１の辺に沿って切り下ろした３個の合同な四角錐６１０の展開図を図２１に示す。なお、この展開図には、比を用いて寸法を記載している。図２１に示すこの四角錐６１０をアトムεと定義する。
アトムε６１０は、図２１に示すように、辺Ｄ１Ｅ１、Ｅ１Ｆ１、Ｆ１Ｇ１、Ｇ１Ｈ１、Ｈ１Ｉ１、Ｉ１Ｊ１、Ｊ１Ｋ１、Ｋ１Ｄ１、Ｄ１Ｆ１、Ｄ１Ｉ１、Ｄ１Ｊ１及びＦ１Ｉ１を有する５面体（凸多面体）である。アトムεは、以下の式（１６）を満たす。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000016
立方体２００はδ５１０が１２個とアトムεが２４個（アトムεが１２個とその鏡映体アトムε’１２個）で構成されるため、δ１２ε２４（δ１２ε１２ε’１２）と示され、正十二面体５００はδとεとが２４個ずつで構成されるので、δ２４ε２４（δ２４ε１２ε’１２）示される。
以上により、アトムα、β、γ、δ、εを用いることにより、個々の正多面体は、
正四面体・・・・・・・・・・・・α８
立方体・・・・・・・・・・・・・・α８β１２γ１２、δ１２ε２４
正八面体・・・・・・・・・・・・β２４γ２４
正十二面体・・・・・・・・・・δ２４ε２４
となるた。ただし、鏡映対称なアトムにも同じ記号α、β、γ、δ、εと示している。鏡映対称なアトムにプライム記号（’）をつけて区別すれば、
正四面体・・・・・・・・・・・・α４α’４
立方体・・・・・・・・・・・・・・α４α’４β６β’６γ６γ’６、δ１２ε１２ε’１２
正八面体・・・・・・・・・・・・β１２β’１２γ１２γ’１２
正十二面体・・・・・・・・・・δ２４ε１２ε’１２
正二十面体・・・・・・・・・・β１２β’１２
となる。
本実施形態に係る本発明の立体パズルは、全ての正多面体をも構成する最小数のアトムα、β、γ、δに加えてεを用いることにより、アトムαを用いずに立方体及び正十二面体を形成することができる。よって、本実施形態に係る本発明の立体パズルは、最小数のアトムα、β、γ、δに加えてアトムεを用いて正多面体を作り上げるものであり、上記定理１を視覚的に説明することができるとともに、５番目のアトムであるεを用いた変形例によって両者を比較することができるという優れた効果を奏する。よって、本実施形態に係る本発明の立体パズルは、教育用教材としても優れている。
（実施形態３）
本実施形態においては、実施形態１のアトムαを用いずに正四面体１００、立方体２００及び正八面体３００を形成することができる立体パズルの例について説明する。
図２２を参照する。図２２（ａ）は、図７（ｅ）に示したアトムα１１０をとり、眺める方向を変えて示したものである。つぎに、頂点Ｌから辺ＪＨに垂線を下ろし、その足をＷとして、図２２（ｂ）のようにアトムα１１０を２つに切り分ける。すると、左側の四面体１２１は正四面体１００を１つの頂点から垂直に３等分したものとなり、図２２（ｃ）のように、これを鏡映対称な２個の四面体１５１及び１５２に切り分けることができる。図２２（ｃ）に示すこの四面体１５１をアトムとし、ζと定義する。アトムζ１５１の展開図を図２３に示す。各辺の寸法は比で示している。アトムζ１５１は、図２２（ｃ）に示すように、辺ＬＭ１、Ｍ１Ｌ１、Ｌ１Ｍ１、Ｍ１Ｊ、ＪＭ１、Ｍ１Ｌ．ＬＬ１、ＬＪ及びＬ１Ｊを有する四面体（凸多面体）である。アトムζは、以下の式（１７）を満たす。なお、図２２（ｃ）に示したように、アトムζは、その鏡面対アトムζ’１５２が存在する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000017
また、図２２（ｂ）の右側の四面体１２３に対しては、それと鏡映対称な四面体１２４を作り、三角形ＨＬＷの面で抱き合わせる（接合させる）。図２２（ｄ）はこの方法から得られた四角錐で、アトムβ２１０とアトムγ２０３と予想外の形で結び付けられる。
これを示すため、まずアトムγ２０３に着目する。これはやや紬長の三角錐であるが、図２４のように、アトムγの先端をアトムθ８００だけ切り取る。すると、それぞれの多面体の展開図は図２５及び図２６のようになる。アトムγ２０３からアトムθ８００を切り取った多面体をアトムη９００と定義する。それぞれの展開図である図２５及び図２６では各辺の寸法は比で示す。なお、アトムη９００及びθ８００は、それらの鏡面対η’９０１及びθ’８０１が存在する。
アトムθ８００は、図２５に示すように、辺ＶＯ１、Ｏ１Ｐ１、Ｐ１Ｏ１、Ｏ１Ｎ１、Ｎ１Ｏ１、Ｏ１Ｖ、ＶＰ１、ＶＮ１及びＮ１Ｐ１を有する四面体（凸多面体）である。なお、アトムθは、その鏡面対アトムθ’８０１が存在する。アトムθは以下の式（１８）及び式（１９）を満たす。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000018
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000019
アトムη９００は、図２５に示すように、辺Ｏ１Ｎ１、Ｎ１Ｏ１、Ｏ１Ｐ１、Ｐ１Ｏ１、Ｏ１Ｃ、ＣＴ、ＴＣ、ＣＲ、ＲＣ、ＣＯ１、Ｎ１Ｐ１、Ｐ１Ｔ、ＴＲ及びＮ１Ｒを有する５面体（凸多面体）である。なお、アトムη９００は、その鏡面対アトムη’９０１が存在する。
図２６はアトムη９００の展開図で、アトムηは以下の式（２０）を満たす。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000020
３種類のアトムβ２１０、η９００、θ８００を１個ずつ組み合わせると、図２２（ｄ）に示した四角錐７０１を作ることができる。
この四角錐７０１にアトムζ１５１を４個加えると、アトムα１１０の２個分、つまり図２７に示す多面体７００が得られる。上述したとおり、正四面体はζ１５１が１６個、β２１０とη９００とθ８００とが４個ずつ、合計β４ζ１６η４θ４（β２β’２ζ８ζ’８η２η’２θ２θ’２）で構成される。なお、すでに指摘したように、ζ６からも正四面体２００は構成される。
正四面体をこの方法で構成すると、アトムα１１０を使っていた構成はすべてこれに置き換えられ、β２１０、ζ１５１、η９００、θ８００の４つのアトムによる正四面体１００と立方体２００と正八面体３００はそれぞれ、
正四面体・・・・・・・・・・・・β４ζ１６η４θ４ζ６（β２β’２ζ８ζ’８η２η’２θ２θ’２ζ３ζ’３）
立方体・・・・・・・・・・・・・・β１６ζ１６η１６θ１６（β８β’８ζ８ζ’８η８η’８θ８θ’８）
正八面体・・・・・・・・・・・・β２４η２４θ２４（β１２β’１２η１２η’１２θ１２θ’１２）
となる。これによって、構成に使用するアトムの個数は大幅に増加するが、アトムの種類が１種類だけ多くなる。
本実施形態１に係る本発明の立体パズルにおいては、全ての正多面体をも構成する最小数のアトムα、β、γ、δで構成することができる例について説明したが、本実施形態３に係る本発明の立体パズルは、アトムαを用いずに正四面体、立方体及び正十二面体を形成することができる。よって、本実施形態に係る本発明の立体パズルは、アトムαを別のアトムの組み合わせによって実現し、アトムαを用いずに正四面体、立方体及び正十二面体を形成することができるので、上記定理１を視覚的に説明することができるとともに、６番目～８番目のアトムであるζ、θ、ηを用いた変形例によって両者を比較することができるという優れた効果を奏する。よって、本実施形態に係る本発明の立体パズルは、教育用教材としても優れている。
（実施形態４）
本実施形態においては、上述の実施形態１～３で説明したアトムを構成要素とする立体パズルをフョードロフの多面体又はフョードロフの空間充填立体に適用した例について説明する。先に述べたように、凸多面体において、２つの凸多面体ＰとＱとが同一であるか、またはどちらか一方の凸多面体がもう一方の凸多面体と鏡映の関係にあるとき、凸多面体ＰとＱとは合同であるとする。
非合同である凸多面体Ｐｉが１≦ｉ≦ｎのとき、Π＝｛Ｐ１，Ｐ２，・・・・，Ｐｎ｝とする。Ｐｉに含まれる少なくとも１つの要素Ｐが、凸多面体σの合同な凸多面体が面と面とを接することにより形成されるならば、凸多面体σは、Πのアトムと呼ぶことにする。
また、平行多面体とは、面と面とを接する平行移動体により三次元空間を充填する凸多面体である。ミンコクスキー（Ｍｉｎｋｏｗｓｋｉ）は、一般的なｄ次元の平行多面体について、以下の結論を得ている。
（ミンコクスキーの定理Ａ）
Ｐがｄ次元の平行多面体であるならば、
１）　Ｐは、中心に対して対称である
２）　Ｐの全ての面は、中心に対して対称である
３）　相補的な２つの面上の（ｄ－２）面の何れかに沿ったＰの投影は、平行四辺形か、中心に対して対称な六角形の何れかである。
（ミンコクスキーの定理Ｂ）
ｄ次元の平行多面体Ｐの面の数ｆｄ－１（Ｐ）は、２（２ｄ－１）より大きくなく、ｆｄ－１＝２（２ｄ－１）である平行多面体Ｐが存在する。
ドルビリン（Ｄｏｌｂｉｌｉｎ）は、ミンコフスキーの定理を面と面とを接しない空間充填に拡張した。アレキサンドロフやグルーバーにより論じられた多数の平行多面体の研究もある。
１８９０年にロシアの結晶学者であるエフグラフ　フョードロフは、まさに５つの平行多面体、即ち、図２９（ａ）から（ｅ）に示す平行六面体（立方体）、菱形十二面体、斜六角柱（平行六角柱）、長菱形十二面体、切頂八面体、を確立した。これらの平行多面体は、「フョードロフの多面体」又は「フョードロフの空間充填立体」ともいう。図３０（ａ）から（ｅ）は、それぞれの平行多面体の空間充填特性を示した図である。
これらの空間充填立体に共通する性質は、どれも１種類の立体で空間を隙き間なく充填する立体であるばかりでなく、それぞれの立体で空間を充填したとき、どの２個の立体も平行移動だけで重ねられるという著しい性質を有することである。
立方体、斜六角柱、菱形十二面体、長菱形十二面体及び切頂八面体の一群をΠ１とする。本発明者らはΠ１に含まれる全ての空間充填立体を最小数のアトムで充填できるようにするには、どのようなアトムを採用すればよいかということについて鋭意検討を重ねた。その結果、全ての空間充填立体をも充填する最小数のアトムの形状を見出した。以下、本発明者らが全ての空間充填をも充填する最小数のアトムの形状を見出した経緯について説明する。また、本実施形態においては、この５種類のフョードロフの空間充填立体を構成する凸多面体を有する立体パズルについて説明する。
（立方体と菱形十二面体）
図３１（ａ）に示す立方体１２００に対し、６枚の断面をすべて立方体の中心と２本の対辺を通過するようにして、図３１（ｂ）に示すように６個の合同な四角錐１２０１に切り分ける。すると、この四角錐１２０１は、図３２（ａ）に示すように、底面が正方形で、４個の側面が合同な二等辺三角形となる。
四角錐１２０１において、底面の正方形の２本の対角線を通るようにして、四角錐１２０１の頂点から、２枚の垂直面で切り分けると、図３２（ｂ）のように、４個の合同な三角錐１２０３が得られる。この合同な三角錐１２０３を図３２（ｃ）に再掲すると、３つの面が１つの頂点で直交しているので、三角錐１２０３を直角四面体１２０３と呼ぶことにする。以上のことから、立方体１２００をうまく切り分けると、２４個の合同な直角四面体１２０３に分かれることを示しているので、逆の操作をすると、２４個の合同な直角四面体１２０３から立方体１２００が構成できる。
また、図３３（ａ）及び図３３（ｂ）に示すように、立方体１２００の６個の面に四角錐１２０１をそれぞれ１個ずつ載せると、菱形十二面体１３００となる。このことは、４８個の合同な直角四面体１２０３から菱形十二面体１３００も構成できることを示す。こうして、直角四面体１２０３は立方体１２００と菱形十二面体１３００との共通な構成要素となる。
（斜六角柱）
図３２（Ｃ）に示したように、直角四面体１２０３の底面は直角二等辺三角形である。この直角二等辺三角形の底面で、２つの直角四面体１２０３を接合すると、図３４（ａ）に示すように、別の四面体１１００が形成される。この四面体をＳｐｈｅｎｏｉｄ（スフェノイド）１１００と呼ぶことにする。図３４（ａ）において、一点鎖線は２個の三角錐の接合面を表す。
スフェノイド１１００は自己拡大型と呼ばれる著しい性質を有することが知られている。それは、このスフェノイド１１００を８個組み合わせると、各辺の長さがちょうど２倍の相似な三角錐に拡大できるという性質であり、これから空間充填立体になることが簡単に求められる。
しかも、スフェノイド１１００を３個組み合わせと、図３４（ｂ）に示す垂直な断面が正三角形となる三角柱（プリズム）１４０１も構成できる。そこで、三角柱１４０１と鏡映対称な三角柱１４０３を３個ずつ上下の面が平行六角形になるように調整しながら組み合わせると、図３４（ｃ）に示すフョードロフの斜六角柱１４００になる。したがって、斜六角柱１４００は１８個のスフェノイド１１００により形成される。
（長菱形十二面体）
次に、図３５（ａ）に長菱形十二面体１５００を示す。この長菱形十二面体１５００は、２つの部位から形成されている。１つは、菱形十二面体１３００で、もう１つは菱形十二面体から得られる窪んだ多面体１５０１である。２つ目の窪んだ多面体１５０１を得るために、菱形十二面体１３００の４つの頂点を考える。図３５に示すこの頂点を含む辺に沿って、長菱形十二面体１５００を切り、その頂点で長菱形十二面体１５００を開く。得られる多面体１５０１は、ヘルメットのような形状をしている。先に述べたように、菱形十二面体１３００は４８個の直角四面体１２０３から成る。したがって、長菱形十二面体１５００は、９６個の直角四面体１２０３を用いて形成することが出来る。
（切頂八面体）
スフェノイド１１００にはもう１つの重要な特徴がある。図３６（ａ）のように、スフェノイド１１００を６本の辺の中点を通るようにして、各辺を垂直に切り分けると、図３６（ｂ）に示すように、４個の合同な六面体１１０５に分かれる。この六面体１１０５をｃ－スクアドロン（ｃ－ｓｑｕａｄｒｏｎ）と呼ぶことにする。
この４個のｃ－スクアドロン１１０５を適切に組み替えると、図３７（ａ）に示す九面体（ダイヤモンド）１６０１を形成することができる。そして、表面に正方形と正六面体とが現れるよう調整しながら、６個の九面体１６０１を互いに抱き合わせる（接合させる）と、図３７（ｂ）に示すように切頂八面体１６００となる。つまり、ｃ－スクアドロン１１０５は切頂八面体１６００の構成要素となり、切頂八面体１６００は、２４個のｃ－スクアドロン１１０５を用いて形成することが出来る。
以上の考察により、立方体（平行六面体）１２００は直角四面体１２０３を２４個、菱形十二面体１３００は直角四面体１２０３を４８個、斜六角柱１４００はスフェノイド１１００を１８個、長菱形十二面体１５００は直角四面体１２０３を９６個、切頂八面体はｃ－スクアドロン１１０５を２４個用いて、それぞれ構成されることが分かる。
次に、直角四面体１２０３とスフェノイド１１００とｃ－スクアドロン１１０５とにおいて、共通する構成要素が存在するか検討する。
ここで、図３６（ｂ）に示した４つのｃ－スクアドロン１１０５のうち一つを図３８（ａ）に再掲する。ｃ－スクアドロン１１０５が左右対称な立体であることに着目して、図３８（ｂ）のように、これを合同な２個の五面体１１０１及び１１０３に切り分ける。すると、図３８（ｃ）に示すように、この新たな五面体１１０１及び１１０３を２個ずつ用いることで、図３２（ｃ）にしめした直角四面体１２０３を形成することが出来る。
また、図１に示すように、この五面体８個（１１０１を４個と１１０３を４個）でスフェノイド１１００を形成することができる。つまり、五面体１１０１及び１１０３はフョードロフの５種類の空間充填立体の共通の構成要素になっていることがわかる。
そして、この五面体１１０１及び１１０３はいくつかの合同な立体にこれ以上切り分けることはできない。五面体１１０１及び１１０３こそがフョードロフの５種類の空間充填立体のアトムであり、五面体（ペンタドロン：ｐｅｎｔａｄｒｏｎ）１１０１をσ、その鏡映体１１０３をσ’と定義する。図３９には、このアトムσ１１０１及びアトムσ’１１０３の展開図を寸法入りで示す。アトムσは、図３９に示すように、辺ａｂ、ｂｃ、ｃａ、ｃｆ、ｆｃ、ｃａ、ａｄ、ｄａ、ａｂ、ｂｅ、ｅｂ、ｄｅ、ｅｆ及びｆｄを有する五面体（凸多面体）であり、アトムσ’はａ’ｂ’、ｂ’ｃ’、ｃ’ａ’、ｃ’ｆ’、ｆ’ｃ’、ｃ’ａ’、ａ’ｄ’、ｄ’ａ’、ａ’ｂ’、ｂ’ｅ’、ｅ’ｂ’、ｄ’ｅ’、ｅ’ｆ’及びｆ’ｄ’を有する五面体（凸多面体）である。アトムσは、以下の式（１）を満たす。なお、アトムσの鏡映体であるアトムσ’の式は省略する。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000021
以上の検討により、アトムσ１１０１及びσ’１１０３を用いると、立方体（平行六面体）１２００は９６個のアトムσ（σ１１０１が４８個及びσ’１１０３が４８個）、菱形十二面体１３００は１９２個のアトムσ（σ１１０１が９６個及びσ’１１０３が９６個）、切頂八面体１６００は４８個のアトムσ（σ１１０１が２４個及びσ’１１０３が２４個）、斜六角柱１４００は１４４個のアトムσ（σ１１０１が７２個及びσ’１１０３が７２個）、長菱形十二面体１５００は３８４個のアトムσ（σ１１０１が１９２個及びσ’１１０３が１９２個）で構成されることがわかる。
また、９６個のアトムσ１１０１及びσ’１１０３で立方体を形成したが、わずか２４個のアトムσ（アトムσ１１０１及びσ’１１０３をそれぞれ１２個）でも立方体が形成できる。
以上のことから、フョードロフ空間充填立体を構成する最小の数のアトムは、σの１種類（及びその鏡映体σ’）であることが見出された。
ここで、フョードロフ空間充填立体を構成する最小の数のアトムについて、以下の（１）～（４）の定義のもとで、定理２として表現できることがわかった。
（１）多面体ＰとＱとが「合同」であるとは、ＰとＱとが全く同じ形であるか、または鏡映関係にあることである。
（２）多面体が「非分割的（ｉｎｄｅｃｏｍｐｏｓａｂｌｅ）」であるとは、Ｐを２個以上の合同な多面体に分割できないことである。
（３）多面体Ｐ１、Ｐ２、・・・、Ｐｎの集合をΠとする。
　　ｉ．ｅ，　Π＝｛Ｐ１、Ｐ２、・・・、Ｐｎ｝
非分割的多面体ｅ１、ｅ２、・・・、ｅｍの集合をＥとする。
　　ｉ．ｅ，　Ｅ＝｛ｅ１、ｅ２、・・・、ｅｍ｝、∀ｅ１は非分割的、ｅｉとｅｊとは非合同（ｉ≠ｊ）
このとき、ＥがΠの元素（アトム）集合Ｅ（Π）であるとは、以下の式（２２）を満たすことである。
Figure JPOXMLDOC01-appb-M000022
すなわち、Πに属する如何なる多面体Ｐｉも、Ｅに属する非分割的多面体に分割できる。（４）Πの元素数（アトム数、ａｔｏｍ　ｎｕｍｂｅｒ）ｅ（Π）とは、Πに対する種々の元素集合の中で、位数の最小数をいう。
すなわち、ｅ（Π）＝ｍｉｎ｜Ｅ（Π）｜
（定理２）
　　Π２＝｛フョードロフ空間充填立体の集合｝とする、
　　ｅ（Π２）≦１であり、Ｅ（Π２）＝｛σ｝
ここで、全てのフョードロフ空間充填立体をも構成する最小数のアトムσのみを用いた本実施形態に係る本発明の立体パズルの詳細について説明する。本実施形態に係る本発明の立体パズルは、最小数のアトムσを用いてフョードロフ空間充填立体を作り上げるものであり、上記定理２を視覚的に説明することができるという優れた効果を奏する。よって、本実施形態に係る本発明の立体パズルは、上記定理２を説明する教育用教材としても優れている。
（正四面体の立体パズル）
図２８を参照する。図２８は、本実施形態に係る本発明の立体パズルであり、スフェノイドの立体パズルを示している。図２８に示すとおり、本実施形態に係る本発明の立体パズル（スフェノイド）は、上記で詳細に説明したとおりアトムσ１１０１の形状をしたピース４個及びアトムσ１１０１の鏡映体σ’１１０３の形状をしたピース４個を用いて構成することができる。
（平行六面体の立体パズル）
本実施形態に係る本発明の平行六面体の立体パズルは、上で詳細に説明したとおりアトムσ１１０１の形状をしたピース４８個及びアトムσ１１０１の鏡映体σ’１１０３の形状をしたピース４８個を用いて構成することができる。
（斜六角柱の立体パズル）
本実施形態に係る本発明の斜六角柱の立体パズルは、上で詳細に説明したとおりアトムσ１１０１の形状をしたピース７２個及びアトムσ１１０１の鏡映体σ’１１０３の形状をしたピース７２個を用いて構成することができる。
（切頂八面体の立体パズル）
本実施形態に係る本発明の切頂八面体の立体パズルは、上で詳細に説明したとおりアトムσ１１０１の形状をしたピース２４個及びアトムσ１１０１の鏡映体σ’１１０３の形状をしたピース２４個を用いて構成することができる。
（菱形十二面体の立体パズル）
本実施形態に係る本発明の菱形十二面体の立体パズルは、上で詳細に説明したとおりアトムσ１１０１の形状をしたピース９６個及びアトムσ１１０１の鏡映体σ’１１０３の形状をしたピース９６個を用いて構成することができる。
（長菱形十二面体の立体パズル）
本実施形態に係る本発明の長菱形十二面体の立体パズルは、上で詳細に説明したとおりアトムσ１１０１の形状をしたピース１９２個及びアトムσ１１０１の鏡映体σ’１１０３の形状をしたピース１９２個を用いて構成することができる。
本実施形態１に係る本発明の立体パズルは、平行六面体、斜六角柱、菱形十二面体、切頂八面体、長菱形十二面体の５種類からなるフョードロフの空間充填立体の形状をした立体パズルを、１つのアトムσ１１０１の形状をしたピース及びその鏡映体σ’１１０３の形状をしたピースから組み立てることができる。よって、上記定理２を視覚的に説明することができるとともに、本実施形態に係る本発明の立体パズルは、教育用教材としても優れている。
（実施形態５）
（空間充填立体を内包する長菱形十二面体）
本発明者らは、５種類のフョードロフの空間充填立体がそれぞれ２４の倍数のｃ－スクアドロン、つまりアトムσ１１０１及びσ’１１０３をそれぞれ２４の倍数個必要とすることを発見した。
定理２の長菱形十二面体１５００の証明及び図３５から、長菱形十二面体１５００が菱形十二面体１３００を内包していることは明らかである。また、定理１の立方体１２００及び菱形十二面体１３００の証明から、菱形十二面体１３００が立方体１２００を内包することを既に示した。菱形十二面体１３００は、四角錐１２０１の四角形の底面を立方体１２００の各面に接合することにより得られる。したがって、長菱形十二面体１５００は菱形十二面体１３００を内包し、菱形十二面体１３００は立方体１２００を内包する。
切頂八面体１６００は立方体１２００を特別な方法で内包する。図３８（ｂ）に示した合同な五面体であるアトムσ１１０１及びσ’１１０３を考えると、これらを接合することにより図４０に示す７つの頂点と１１の辺を有する六面体１７０１を得る。
この六面体１７０１は、３つの三角形（１つの直角二等辺三角形と２つの合同な直角三角形）と２つの２つ四辺形及び１つの五角形からなる面を持つ。この多面体をトリペンクアドロン（ｔｒｉｐｅｎｑｕａｄｏｒｏｎ）と呼ぶことにする。
３つのトリペンクアドロン１７０１を用いて、それらの直角三角形の面に沿って、頂点が重なるように接合すると、図４１（ａ）に示す多面体１７０３が得られる。この多面体１７０３の底面は、図４１（ｂ）に示すように正六面体である。
この多面体１７０３を８個用いて、直角二等辺三角形の面に沿って、それらを接合すると、図４２（ａ）に示す、６つの面それぞれの中心に穴が開いた立方体１７０５を得る。この穴が開いた立方体１７０５の内部を調べるために、向かい合う上下２つの面の対角線を通るように、これらの面を垂直に切り開く。図４２（ｂ）に示すこの対角線での切断面を見ると、この穴が開いた立方体１７０５の切断による多面体１７０７の内部は断面が正六角形で、この穴が切頂八面体１６０３の半分を切り出すことにより得られることが分かる。図４２（ｃ）及び（ｄ）に切頂八面体と穴が開いた立方体とを組み合せて出来る立方体を示す。切頂八面体１６００が立方体１７００に特別な方法で内包されていることが分かる。
既に、斜六角柱が独特な方法で長菱形十二面体に内包されていることを示した。長菱形十二面体１５００が、菱形十二面体１３００とヘルメット型の窪んだ多面体１５０１とからなることを再び考える。
まず、図４３（ａ）に示すように、菱形十二面体１３００を２つの合同な多面体１３０１に切り分け、その１つについてのみ考える。次に図４３（ｂ）に示すヘルメット型の窪んだ多面体１５０１を図４３（ｃ）に示すように切り離す。図４３（ｃ）の右側の多面体１５０３は、Ｖ字型で、２つの斜三角柱１５０５及び１５０７からなり，その１つ斜三角柱１５０７はもう一方の斜三角柱１５０５の鏡映体である。それぞれの斜三角柱は３つのスフェノイド（図３６（ａ））を接合して形成される。
このＶ字型の多面体１５０３を菱形十二面体の下半分１３０１に接合すると、図４３（ｄ）及び（ｅ）に示すように斜六角柱１４２０を得る。これにより、長菱形十二面体１５００の中の斜六角柱１４２０の特別な内包が示される。
本実施形態５に係る本発明の立体パズルは、立方体、斜六角柱、菱形十二面体、切頂八面体、長菱形十二面体の５種類からなるフョードロフの空間充填立体の形状をした立体パズルを、１つのアトムσ１１０１の形状をしたピース及びその鏡映体σ’１１０３の形状をしたピースから組み立てることができる。また、長菱形十二面体が立方体、斜六角柱、菱形十二面体、切頂八面体を内包することを視覚的に説明することができるとともに、本実施形態に係る本発明の立体パズルは、教育用教材としても優れている。
（切頂八面体の立体パズル）
図４４は、本実施形態に係る本発明の切頂八面体の立体パズルを半分にしたパズル１６５１の配置を示す。（ａ）は側面図を、（ｂ）は側面図を、（ｃ）は上面図を、（ｄ）は底面図をそれぞれ示す。また、図４５は、切頂八面体の立体パズル１６５０の配置を示す。
（ａ）は側面図を、（ｂ）は側面図を、（ｃ）は底面図をそれぞれ示す。上記で詳細に説明したとおりアトムσ１１０１の形状をしたピース２４個及びアトムσ１１０１の鏡映体σ’１１０３の形状をしたピース２４個を用いて構成することができる。
（立方体の立体パズル）
図４６は、本実施形態に係る本発明の立方体の立体パズルの配置を示す図である。（ａ）は切頂八面体の立体パズルを半分にしたパズル１６５１の底面図を示し、（ｂ）は穴が開いた立方体の切断によるパズル１７５１を示し、（ｃ）は穴が開いた立方体の切断によるパズル１７５１に切頂八面体の立体パズルを半分にしたパズル１６５１を接合した立方体の半分のパズル１７５３を示し、（ｄ）は立方体の立体パズル１７５０を示す。上記で詳細に説明したとおりアトムσ１１０１の形状をしたピース４８個及びアトムσ１１０１の鏡映体σ’１１０３の形状をしたピース４８個を用いて構成することができる。
（菱形十二面体の立体パズル）
図４７は本実施形態に係る本発明の菱形十二面体の立体パズルの配置を示す図である。（ａ）は立方体の半分のパズル１７５３を示し、（ｂ）は菱形十二面体を半分に切断したパズル１３５１から立方体の半分を除いたパズル１３５３を示し、（ｃ）は菱形十二面体を半分に切断したパズル１３５１を示し、（ｄ）は菱形十二面体のパズル１３５０の側面図を示し、（ｅ）は菱形十二面体のパズル１３５０の上面図を示す。上記で詳細に説明したとおりアトムσ１１０１の形状をしたピース９６個及びアトムσ１１０１の鏡映体σ’１１０３の形状をしたピース９６個を用いて構成することができる。
（斜六角柱の立体パズル）
図４８は本実施形態に係る本発明の斜六角柱の立体パズルの配置を示す図である。（ａ）は窪んだ多面体のパズル１５５１から切り離したパズル１５５３の側面図を示し、（ｂ）はその前面図を示し、（ｃ）はその背面図を示し、（ｄ）は窪んだ多面体のパズル１５５１から切り離したパズル１５５３と菱形十二面体１３５０を半分に切断したパズル１３５１から斜六角柱のパズル１４５０を形成する模式図を示し、（ｅ）は斜六角柱のパズル１４５０の上面図を示し、（ｆ）は斜六角柱のパズル１４５０の側面図を示す。上記で詳細に説明したとおりアトムσ１１０１の形状をしたピース７２個及びアトムσ１１０１の鏡映体σ’１１０３の形状をしたピース７２個を用いて構成することができる。
（長菱形十二面体の立体パズル）
図４９は、本実施形態に係る本発明の長菱形十二面体の立体パズルの配置を示す図である。（ａ）は窪んだ多面体のパズル５５１の側面図を示し、（ｂ）は窪んだ多面体のパズル１５５１の前面図を示し、（ｃ）は窪んだ多面体のパズル１５５１の背面図を示し、（ｄ）は窪んだ多面体のパズル１５５１と菱形十二面体のパズル１３５０とから長菱形十二面体のパズル１５５０を形成する模式図を示し、（ｅ）は長菱形十二面体のパズル１５５０の上面図を示し、（ｆ）は長菱形十二面体のパズル１５５０の側面図を示す。上記で詳細に説明したとおりアトムσ１１０１の形状をしたピース１９２個及びアトムσ１１０１の鏡映体σ’１１０３の形状をしたピース１９２個を用いて構成することができる。
本実施形態５に係る本発明の立体パズルは、立方体、斜六角柱、菱形十二面体、切頂八面体、長菱形十二面体の５種類からなるフョードロフの空間充填立体の形状をした立体パズルを、１つのアトムσ１１０１の形状をしたピース及びその鏡映体σ’１１０３の形状をしたピースから組み立てることができる。また、長菱形十二面体が立方体、斜六角柱、菱形十二面体、切頂八面体を内包することを視覚的に説明することができるとともに、本実施形態に係る本発明の立体パズルは、教育用教材としても優れている。

Claims (4)

  1. ４種類の凸多面体からなる正四面体、立方体、正八面体、正十二面体又は正二十面体を形成する立体パズルであって、
    前記４種類の凸多面体のうちの３種類は、それぞれ、鏡映関係にある一対の凸多面体を有し、
    前記４種類の凸多面体は、それぞれ、２つ以上の合同な形状の凸多面体に分割することができず、且つ、
    正四面体、立方体、正八面体、正十二面体及び正二十面体は、前記４種類の凸多面体のみを用いて、それらの内部を充填するように形成されることを特徴とする立体パズル。
  2. ５種類の凸多面体からなる正四面体、立方体、正八面体、正十二面体又は正二十面体を形成する立体パズルであって、
    前記５種類の凸多面体のうちの４種類は、それぞれ、鏡映関係にある一対の凸多面体を有し、
    前記５種類の凸多面体は、それぞれ、２つ以上の合同な形状の凸多面体に分割することができず、且つ、
    正四面体、立方体、正八面体、正十二面体及び正二十面体は、前記５種類の凸多面体のみを用いて、それらの内部を充填するように形成されることを特徴とする立体パズル。
  3. 複数の第１の凸多面体及び前記第１の凸多面体と鏡映関係にある複数の第２の凸多面体からなる立体パズルであって、
    前記第１の凸多面体及び前記第２の凸多面体は、それぞれ、２つ以上の合同な形状の凸多面体に分割することができず、且つ、
    前記第１の凸多面体及び前記第２の凸多面体は、全てのフョードロフの空間充填立体をそれらの内部を充填することによって形成することができることを特徴とするフョードロフの空間充填立体パズル。
  4. 複数の前記第１の凸多面体及び複数の前記第２の凸多面体を用いて形成される前記長菱形十二面体が切頂八面体、平行六面体、斜六角柱及び菱形十二面体を内包することを特徴とする請求項１に記載のフョードロフの空間充填立体パズル。
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