FR2586109A1

FR2586109A1 - Method for the spatial adjustment of a pair of radar systems fixed with respect to each other

Info

Publication number: FR2586109A1
Application number: FR8512253A
Authority: FR
Inventors: Marie-Pascale Escribe; Patrick Dondaine
Original assignee: INF SYSTEMES RESEAUX
Current assignee: INF SYSTEMES RESEAUX
Priority date: 1985-08-09
Filing date: 1985-08-09
Publication date: 1987-02-13
Also published as: FR2586109B1

Abstract

The method involves estimating the systematic errors U1, U2 of each radar system R1, R2 in relation to the true position determining the differences DELTA ZA, DELTA ZB between the positions measured by the two radar systems R1, R2 for two distinct points that they observe simultaneously, and to subject these differences in position to a recursive filtering of the Kalman-Bucy type of order zero having a stationary type model equation. The figure represents an embodiment of this filter in two successive loops, the first placed at the output with an adder 10 having a feedback loop through a register 11 delivering the last estimated value U(K-1) of a vector having as its components the systematic errors U1, U2; and the second placed at the input, receiving the vector DELTA Z(k) whose components are the last measured values DELTA ZA, DELTA ZB of the differences and comprising a measurement prediction filter 12 and a correction estimation filter 14.

Description

Procédé de calage spatial d'un couple de radars fixes l'un par rapport à l'autre.A method of spatially setting a pair of fixed radars with respect to each other.

La présente invention concerne les réseaux de radars et plus particulièrement la correction des erreurs systématiques dans les mesures des radars provenant du décalage existant entre le repère théorique de coordonnées d'un radar et celui défini de façon pratique pour ce radar, que le décalage soit un écart de distance entre l'origine théorique et l'origine pratique de l'axe des distances, un écart angulaire d'azimut entre le nord géographique et la direction coincidant avec le top nord du radar ou un écart de position entre l'origine des mesures de site et l'origine calculée. Dans le cas d'un système multiradar ces erreurs jouent le rôle d'une moyenne sur le bruit de mesure et décentre les caractérisations du bruit ce qui affecte la précision du filtrage réalisant les calculs de poursuite. The present invention relates to radar arrays and more particularly to the correction of systematic errors in radar measurements originating from the discrepancy existing between the theoretical coordinates coordinate system of a radar and that conveniently defined for this radar, that the offset be a difference in distance between the theoretical origin and the practical origin of the distance axis, an angular difference in azimuth between the geographic north and the direction coinciding with the top north of the radar or a difference in position between the origin of the site measurements and calculated origin. In the case of a multiradar system these errors play the role of an average on the noise of measurement and decenter the characterizations of the noise which affects the accuracy of the filtering carrying out the calculations of continuation.

La présente invention a pour but ltestimation de ces erreurs de calage afin de les éliminer pour améliorer la précision du filtrage opérant les calculs de poursuite. The object of the present invention is to estimate these stall errors in order to eliminate them in order to improve the accuracy of the filtering which makes the tracking calculations.

Elle a pour objet un procédé de calage d'un couple de radars consistant à estimer les erreurs de calage U1, U2 de chaque radar R1, R2 par rapport à la position vraie en déterminant les écarts # Z(A), a Z(B) entre les positions mesurées par les deux radars concernés R1, R2 pour deux points distincts A et B vus simultanément par les deux radars R1, R2 et en soumettant ces écarts de position # Z(A), a Z(B) à un filtrage récursif avec prédiction de type Kalman-Bucy d'ordre zéro défini par une équation de modèle stationnaire
U(k+1) = U(k) dans laquelle le vecteur U(k) a pour composants les erreurs de calage U1, U2 à l'instant k et par l'équation de mesure
22 Z(k) = H(k) U(k) + V(k) dans laquelle le vecteur d z a pour composantes les écarts de position
j Z(A), A Z(B) mesurés pour les deux points A et B, H(k) est la matrice de mesure définie par

It relates to a method of setting a pair of radars consisting in estimating the stall errors U1, U2 of each radar R1, R2 with respect to the true position by determining the deviations # Z (A), a Z (B ) between the positions measured by the two radars concerned R1, R2 for two distinct points A and B simultaneously seen by the two radars R1, R2 and subjecting these positional deviations # Z (A), a Z (B) to a filtering recursive with zero-order Kalman-Bucy prediction defined by a stationary model equation
U (k + 1) = U (k) in which the vector U (k) has for its components the calibration errors U1, U2 at time k and by the measurement equation
22 Z (k) = H (k) U (k) + V (k) in which the vector dza for components the positional deviations
Z (A), AZ (B) measured for the two points A and B, H (k) is the measurement matrix defined by

<tb> <SEP> A1(A), <SEP> - <SEP> RA2( <SEP>
<tb> H(k)
<tb> <SEP> A1(B), <SEP> - <SEP> RA2(B <SEP>
<tb> dans laquelle R est la matrice de rotation du passage des repères de localisation liés au radar R2 à ceux liés au radar R1, et Ai(x) la matrice jacobienne de la mesure de la position x faite par le radar i à l'instant k et où V(k) est un vecteur de bruit de mesure ayant pour -composar.tes

<tb><SEP> A1 (A), <SEP> - <SEP> RA2 (<SEP>
<tb> H (k)
<tb><SEP> A1 (B), <SEP> - <SEP> RA2 (B <SEP>
<tb> where R is the rotation matrix from the passage of the location markers linked to the radar R2 to those linked to the radar R1, and Ai (x) the Jacobian matrix of the measurement of the position x made by the radar i to the moment k and where V (k) is a measurement noise vector having for -composing.

<tb> W1(A),- <SEP> RW2(A), <SEP> 0 <SEP> , <SEP> 0
<tb> <SEP> V(k) <SEP> = <SEP> # <SEP> #
<tb> <SEP> 0 <SEP> , <SEP> 0 <SEP> , <SEP> W1(B), <SEP> - <SEP> RW2(B)
<tb> où Wi(x) est le bruit de la mesure de la position x faite par le radar i à l'instant k.<tb> W1 (A), - <SEP> RW2 (A), <SEP> 0 <SEP>, <SEP> 0
<tb><SEP> V (k) <SEP> = <SEP>#<SEP>#
<tb><SEP> 0 <SEP>, <SEP> 0 <SEP>, <SEP> W1 (B), <SEP> - <SEP> RW2 (B)
<tb> where Wi (x) is the noise of the measurement of the position x made by the radar i at time k.

Selon un mode de mise en oeuvre préféré, les deux points distincts A et B vus simultanément par les deux radars R1, R2 sont des points mobiles dont les positions à un même instant sont déduites de leurs pistes vues indépendamment par chaque radar R1, R2 et soumises à un filtrage récursif avec prédiction de type Kalman-Bucy du premier ordre ayant pour modèle de trajectoire le modèle rectiligne uniforme. According to a preferred embodiment, the two distinct points A and B simultaneously seen by the two radars R1, R2 are moving points whose positions at the same instant are deduced from their tracks independently viewed by each radar R1, R2 and subjected to a recursive filtering with Kalman-Bucy prediction of the first order whose trajectory model is the uniform rectilinear model.

De manière avantageuse, les positions à un même instant des deux points mobiles déduites par le filtrage récursif avec prédiction de type Kalman-Bucy ayant pour modèle la trajectoire rectiligne uniforme ne sont retenues pour l'estimation des erreurs de calage des radars que si les trajectoires mesurées se trouvent dans une zone centrée sur la prédiction dite fenêtre de prédiction ce qui atteste du bon suivi de la prédiction par les mobiles. Advantageously, the positions at the same instant of the two mobile points deduced by recursive filtering with Kalman-Bucy prediction modeled on the uniform rectilinear trajectory are only retained for the estimation of the calibration errors of the radars if the trajectories measured are located in an area centered on the so-called prediction prediction which testifies to the good tracking of the prediction by mobiles.

D'autres caractéristiques et avantages de l'invention ressortiront de la description ci-après d'un mode de réalisation donné à titre d'exemple. Cette description sera faite en regard du dessin dans lequel
- la figure 1 représente de manière schématique un filtre de
Kalman-Bucy permettant d'estimer les erreurs de calage de deux radars à partir des écarts de position qu'ils mesurent aux mêmes instants pour des points qu'ils voient simultanément et
- la figure 2 représente de manière schématique un autre filtre de
Kalman-Bucy permettant d'estimer à tout instant la position d'une cible mobile à partir de mesures monoradar afin de synchroniser les valeurs de position mesurées pour la détermination des écarts de position.Other features and advantages of the invention will emerge from the following description of an embodiment given by way of example. This description will be made with reference to the drawing in which
FIG. 1 schematically represents a filter of
Kalman-Bucy to estimate the calibration errors of two radars from the positional deviations they measure at the same moments for points they see simultaneously and
FIG. 2 schematically represents another filter of
Kalman-Bucy to estimate at any time the position of a moving target from monoradar measurements in order to synchronize the measured position values for the determination of positional deviations.

Dans un réseau de radars, chaque radar fournit les coordonnées de plots ou positions de mobile par rapport à un repère théorique qui lui est associé. Quel que soit le modèle de représentation choisi pour la terre (modèle plan, sphérique ou ellipsoidal), l'origine de ce repère est le pied du radar et l'axe des y est orienté suivant le nord géographique. Les positions des radars sont elles mêmes définies en latitude, longitude et altitude dans le repère géographique général lié à la terre. In a radar network, each radar provides the coordinates of pads or positions of mobile relative to a theoretical reference associated with it. Whatever the model of representation chosen for the earth (planar, spherical or ellipsoidal model), the origin of this reference is the foot of the radar and the y-axis is oriented along the geographical north. The positions of the radars are themselves defined in latitude, longitude and altitude in the general geographical reference linked to the earth.

Les erreurs systématiques introduites sur les mesures par les radars proviennent du décalage qui existe entre leur repère théorique et celui définit de façon pratique. Pour chaque radar il existe un écart entre le zéro théorique de l'axe des distances et celui calculé dit biais en distance, un écart angulaire entre la direction repérée par le top nord du radar et le nord géographique dit biais en azimut et un écart entre l'angle de site mesuré et l'angle de site réel dit biais en site. The systematic errors introduced on the measurements by the radars come from the difference which exists between their theoretical reference mark and that defines in a practical way. For each radar, there is a difference between the theoretical zero of the distance axis and that calculated as the distance bias, an angular difference between the direction indicated by the north top of the radar and the geographical north, which is the azimuth angle, and a difference between the measured elevation angle and the actual elevation angle refers to bias in site.

Ces erreurs systématiques ou biais passent inapercues dans le cadre d'un système monoradar car les incohérences spatiales qu'elles engendrent sont identiques pour toutes les cibles. Par contre, dans le cadre d'un système multiradar ces biais qui sont par essence constants ou à variation très lente par rapport à celle du bruit jouent le rôle d'une moyenne sur le bruit de mesure si bien que, pour chaque radar, les caractérisations du bruit ne sont plus centrées alors que le filtrage réalisé pour les calculs de poursuite multiradar est construit sur un modèle les considérants comme telles. These systematic errors or biases go unnoticed in the context of a monoradar system because the spatial inconsistencies they generate are identical for all targets. On the other hand, in the context of a multiradar system, these biases, which are in essence constant or very slowly varying with respect to that of the noise, play the role of an average over the measurement noise, so that for each radar the noise characterizations are no longer centered while the filtering performed for multiradar tracking calculations is built on a model considering them as such.

On peut estimer ces biais à partir de la différence qui existe entre une position vue par un radar et la même position vue par un autre radar. Pour ce faire, on suppose, ce qui est conforme à la pratique, que chaque radar fournit les coordonnées d'un point ou plot par rapport à un repère théorique qui lui est associé, dont l'origine est le pied du radar et l'axe des y orienté suivant le nord géographique, les positions des radars'un même réseau étant définies entre elles par leur latitude longitude et altitude dans le repère géographique général lié à la terre. These biases can be estimated from the difference between a position seen by one radar and the same position seen by another radar. To do this, it is assumed, which is consistent with practice, that each radar provides the coordinates of a point or plot relative to a theoretical reference associated with it, whose origin is the foot of the radar and the y-axis oriented along the geographical north, the positions of the radars of the same network being defined between them by their latitude longitude and altitude in the general geographical reference linked to the earth.

La position d'un plot par rapport à un radar R1 se définit en coordonnées sphériques par une distance pO par rapport au radar, un
o écart angulaire d'azimut o par raport au nord géographique et un angle de site i O. Soient (r, e etp ) les coordonnées d'un plot mesurées par le radar R1 et ( 'o , e ) les erreurs de mesure systémati ques faites par le radar R1 il vient

The position of a stud with respect to a radar R1 is defined in spherical coordinates by a distance pO with respect to the radar, a
o angular difference of azimuth o with respect to the geographic north and an angle of elevation i O. Let (r, e and p) the coordinates of a plot measured by the radar R1 and ('o, e) the systematic measurement errors made by the radar R1 it comes

Soient (x, y, z) les coordonnées cartésiennes de la mesure faite par le radar, (xo, yO, zo) les coordonnées cartésiennes de la position sans biais.Pour la composante x on a x = # sin# cos#
xo = po sine, cos, X = (#o + ##) sin(#0 + ##) cos(#0 +
Le développement en série de Taylor au premier ordre de x au voisinage de
Xo nous donne

Let (x, y, z) be the Cartesian coordinates of the measurement made by the radar, (xo, yO, zo) the Cartesian coordinates of the position without bias. For the component x on ax = # sin # cos #
xo = po sine, cos, X = (#o + ##) sin (# 0 + ##) cos (# 0 +
Taylor's first-order serial development of x near
Xo gives us

En faisant de même sur les trois coordonnées on obtient

que l'on écrira :
Z = Zo + AU
Les mesures étant entachées de bruit, on a Z = Z Zo + AU + W où West le bruit de mesure, on obtient ainsi l'équation de mesure vue du radar R1
Z1 = Xo1 + A1 U1 + W1 (1)
Z1 : mesure en coordonnées cartésiennes (x, y, z)
Xo1 : position vraie en coordonnées cartésiennes
U1 : biais de R1 en distance, azimut, site
A1 : matrice des dérivées partielles en distance, azimut, site (matrice jacobienne)
W1 : bruit de mesure
Par rapport à un deuxième radar R2, le même plot répond à une équation de mesure analogue
Z2 = X02 + A2U2 + W2
Pour comparer les deux mesures il faut se placer dans le même repère par exemple celui lié au radar R1. Sachant qu'on passe du repère lié à R2 à celui lié à R1 par une rotation R, et une translation T telles que
X1 = RX2 + T
On ramène l'équation de mesure relative au radar R2 dans le repère lié au radar R1
RZ2 + T = RX02 + T + RAzUz + RW2 (2)
Or Xo1 et X02 étant les positions vraies on a :
X01 = R X02 + T
En posant Z21 = RZ2 + T on obtient à partir des équations (1) et (2) #Z = = Z1 - Zzl = A1U1 - RA2U2 + W, - RWz
Ce qui peut s'écrire ::

By doing the same on the three coordinates we obtain

that we will write:
Z = Zo + AU
The measurements being tainted with noise, we have Z = Z Zo + AU + W where West the measurement noise, we thus obtain the measurement equation seen from the radar R1
Z1 = Xo1 + A1 U1 + W1 (1)
Z1: measure in Cartesian coordinates (x, y, z)
Xo1: true position in Cartesian coordinates
U1: R1 bias in distance, azimuth, site
A1: matrix of partial derivatives in distance, azimuth, site (jacobian matrix)
W1: measurement noise
Compared to a second radar R2, the same pad responds to a similar measurement equation
Z2 = X02 + A2U2 + W2
To compare the two measurements it is necessary to be placed in the same reference mark, for example that linked to the radar R1. Knowing that we pass the reference bound to R2 to that linked to R1 by a rotation R, and a translation T such that
X1 = RX2 + T
We reduce the measurement equation relative to the radar R2 in the reference linked to the radar R1
RZ2 + T = RX02 + T + RAzUz + RW2 (2)
Gold Xo1 and X02 being the true positions we have:
X01 = R X02 + T
By putting Z21 = RZ2 + T one obtains from equations (1) and (2) #Z = = Z1 - Zzl = A1U1 - RA2U2 + W, - RWz
What can be written ::

<tb> <SEP> @ <SEP> = <SEP> (A1 <SEP> = <SEP> RA2) <SEP> | <SEP> U2 <SEP> | <SEP> + <SEP> (Id <SEP> - <SEP> R) <SEP> | <SEP> W2 <SEP> |
<tb>
On remarque que l'on dispose d'une équation à deux inconnues qui sont les vecteurs de biais U1 et U2. En utilisant la position d'un autre plot on peut obtenir une autre équation du même type et constituer un système d'équations résolubles.<tb><SEP> @ <SEP> = <SEP> (A1 <SEP> = <SEP> RA2) <SEP> | <SEP> U2 <SEP> | <SEP> + <SEP> (Id <SEP> - <SEP> R) <SEP> | <SEP> W2 <SEP> |
<Tb>
We notice that we have an equation with two unknowns which are the vectors of bias U1 and U2. By using the position of another plot one can obtain another equation of the same type and constitute a system of solvable equations.

Soit A la position du premier plot et B celle du deuxième. Il vient :

Let A be the position of the first block and B that of the second. He comes :

<SEP> U1 <SEP> W1(A)
<tb> #Z(A) <SEP> = <SEP> (A1(A) <SEP> - <SEP> RA2(A) <SEP> ) <SEP> # <SEP> # <SEP> + <SEP> (Id <SEP> - <SEP> R) <SEP> # <SEP> #
<tb> <SEP> U2 <SEP> W2(A)
<tb> <SEP> U1 <SEP> W1(B)
<tb> #Z(B) <SEP> = <SEP> (A1(B) <SEP> - <SEP> RA2(B) <SEP> ) <SEP> # <SEP> # <SEP> + <SEP> (Id <SEP> - <SEP> R) <SEP> # <SEP> #
<tb> <SEP> U2 <SEP> W2(B)
<tb>
En posant

<SEP> U1 <SEP> W1 (A)
<tb>#Z (A) <SEP> = <SEP> (A1 (A) <SEP> - <SEP> RA2 (A) <SEP>) <SEP>#<SEP>#<SEP> + <SEP> (Id <SEP> - <SEP> R) <SEP>#<SEP>#
<tb><SEP> U2 <SEP> W2 (A)
<tb><SEP> U1 <SEP> W1 (B)
<tb>#Z (B) <SEP> = <SEP> (A1 (B) <SEP> - <SEP> RA2 (B) <SEP>) <SEP>#<SEP>#<SEP> + <SEP> (Id <SEP> - <SEP> R) <SEP>#<SEP>#
<tb><SEP> U2 <SEP> W2 (B)
<Tb>
By asking

w1(A)
<tb> <SEP> #Z(A) <SEP> U1 <SEP> W1(A)
<tb> <SEP> #Z <SEP> = <SEP> # <SEP> # <SEP> ;<SEP> U <SEP> = <SEP> # <SEP> # <SEP> ; <SEP> W <SEP> = <SEP> # <SEP> W1(B2) <SEP> #
<tb> <SEP> #Z(B) <SEP> <SEP> U2 <SEP> W2(B)
<tb> ce système d'équations peut s'écrire sous forme matricielle

w1 (A)
<tb><SEP>#Z (A) <SEP> U1 <SEP> W1 (A)
<tb><SEP>#Z<SEP> = <SEP>#<SEP>#<SEP>;<SEP> U <SEP> = <SEP>#<SEP>#<SEP>;<SEP> W <SEP> = <SEP>#<SEP> W1 (B2) <SEP>#
<tb><SEP>#Z (B) <SEP><SEP> U2 <SEP> W2 (B)
<tb> this system of equations can be written in matrix form

<tb> <SEP> A1(A), <SEP> -RA2(A) <SEP> Id <SEP> -R <SEP> 0 <SEP> 0
<tb> = <SEP> # <SEP> # <SEP> U <SEP> + <SEP> # <SEP> # <SEP> <SEP> W
<tb> <SEP> A1(B), <SEP> -RA2(B) <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> Id <SEP> -R
<tb>
Il est à noter que W représentant le bruit de mesure, celui-ci est bien évidemment propre à chaque mesure.<tb><SEP> A1 (A), <SEP> -RA2 (A) <SEP> Id <SEP> -R <SEP> 0 <SEP> 0
<tb> = <SEP>#<SEP>#<SEP> U <SEP> + <SEP>#<SEP>#<SEP><SEP> W
<tb><SEP> A1 (B), <SEP> -RA2 (B) <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> Id <SEP> -R
<Tb>
It should be noted that W representing the measurement noise, it is obviously specific to each measurement.

ou encore en posant

or by posing

<tb> <SEP> A1(A) <SEP> - <SEP> RA2(A) <SEP> Id, <SEP> -R, <SEP> 0, <SEP> 0
<tb> H <SEP> = <SEP> # <SEP> # <SEP> ; <SEP> V <SEP> = <SEP> # <SEP> # <SEP> w <SEP> (4)
<tb> <SEP> A1(B) <SEP> - <SEP> RA2(B) <SEP> 0, <SEP> 0, <SEP> Id, <SEP> -R
<tb> ss z = HIU + V et plus précisément, comme il s'agit de mesures répétées en cours du
temps par les radars R1 et R2
ss Z(t) = H(t).U(t) + V(t)
Si l'on considère le biais U(t) comme constant, on obtient par discréti
sation le système d'équations
U(k+l) = U(k)
AZ(k) = H(k)U(k) + V(k) qui correspond à un modèle Gaussien Markovien du biais et dont on peut
tirer une estimation optimale du biais par filtrage récursif avec prédictions de type Kalman-Bucy ayant pour équation de modèle, celle du modèle stationnaire
U(k+1) = U (k) et pour équation de mesure l'équation
iZ(k) = H(k) U(k) + V(k) (5)
a Z(k) étant la mesure à l'instant k, H(k) la matrice de mesure à l'instant k, U(k) l'état à l'instant k et V(k) le bruit à l'instant k.<tb><SEP> A1 (A) <SEP> - <SEP> RA2 (A) <SEP> Id, <SEP> -R, <SEP> 0, <SEP> 0
<tb> H <SEP> = <SEP>#<SEP>#<SEP>;<SEP> V <SEP> = <SEP>#<SEP>#<SEP> w <SEP> (4)
<tb><SEP> A1 (B) <SEP> - <SEP> RA2 (B) <SEP> 0, <SEP> 0, <SEP> Id, <SEP> -R
<tb> ss z = HIU + V and more precisely, as these are repeated measurements being
time by the radars R1 and R2
ss Z (t) = H (t) .U (t) + V (t)
If we consider the bias U (t) as constant, we obtain by discretion
the system of equations
U (k + 1) = U (k)
AZ (k) = H (k) U (k) + V (k) which corresponds to a Gaussian Markovian model of bias and which can be
derive an optimal estimate of the recursive filter bias with Kalman-Bucy predictions with model equation, that of the stationary model
U (k + 1) = U (k) and for equation of measure the equation
iZ (k) = H (k) U (k) + V (k) (5)
a Z (k) being the measurement at time k, H (k) the measuring matrix at time k, U (k) the state at time k and V (k) the noise at moment k.

Le filtre de Kalman-Bucy est bien connu dans la technique, pour des détails à son sujet, on peut se reporter au livre de M. LABARRERE,
J.P. KRIEF et B. GIMONET paru aux éditions CEPADUES et intitulé "Le filtrage et ses applications".The filter Kalman-Bucy is well known in the art, for details about it, we can refer to the book of Mr. LABARRERE,
JP KRIEF and B. GIMONET published by CEPADUES and entitled "Filtering and its applications".

La figure donne un exemple de réalisation de ce filtre dans le cadre de la détermination du biais des radars. Il est de forme récursive
et comporte deux boucles successives.The figure gives an example of embodiment of this filter in the context of the determination of the bias of the radars. It is recursively shaped
and has two successive loops.

La première boucle, la plus simple, est placée en sortie. Elle
comporte un sommateur 10 à deux entrées bouclé sur lui même par un
registre Il reliant sa sortie à l'une de ses entrées. Elle sert à la mise
à jour de la valeur estimée du biais à chaque échantillonnage.The first loop, the simplest, is output. She
has a summator 10 with two inputs looped on itself by a
register It linking its output to one of its inputs. It is used for
the estimated value of the bias at each sampling.

Le registre 11 mémorise la dernière valeur estimée du biais (k-1/k-1) ) et l'applique au sommateur 10 qui reçoit de la deuxième boucle
une valeur correctrice et engendre une nouvelle valeur estimée du
biais #(k/k). The register 11 stores the last estimated value of the bias (k-1 / k-1)) and applies it to the adder 10 which receives the second loop
a corrective value and generates a new estimated value of
bias # (k / k).

La deuxième boucle comporte un filtre prédicteur de mesure 12 qui estime la nouvelle valeur de mesure # #(k/k-1) à partir de la dernière valeur estimée du biais U(k-l k-l)en mémoire dans le registre 11, un soustracteur 13 dont l'entrée additive constitue celle du filtre 1 et reçoit le nouvel échantillon de mesure # Z(k) et dont l'entrée soustractive est connectée en sortie du filtre prédicteur de mesure 12, et un filtre estimateur de correction 14 qui est disposé entre la sortie du soustracteur 13 et l'entrée non bouclée du sommateur 10,et qui déduit de l'erreur entre la mesure et l'estimation de la mesure la valeur du terme correctif utilisé pour la mise à jour de l'estimation du biais. The second loop comprises a measurement predictor filter 12 which estimates the new measurement value # # (k / k-1) from the last estimated value of the bias U (kl kl) in memory in the register 11, a subtracter 13 whose additive input constitutes that of the filter 1 and receives the new measurement sample # Z (k) and whose subtractive input is connected to the output of the measurement predictor filter 12, and a correction estimator filter 14 which is arranged between the output of the subtractor 13 and the unbounded input of the adder 10, and which deduces from the error between the measurement and the estimation of the measurement the value of the corrective term used for updating the estimation of the bias.

La première boucle effectue la prédiction du biais selon le modèle stationnaire
#(k/k-1) = #(k-1/k-1) la valeur prédite U(k/k-1) du biais à l'instant k compte tenu des mesures jusqu'à l'instant k-l étant prise égale au biais estimé à l'instant (k-1) compte tenu des mesures jusqu'à cet instant.The first loop performs the prediction of the bias according to the stationary model
# (k / k-1) = # (k-1 / k-1) the predicted value U (k / k-1) of the bias at the instant k taking into account the measurements up to the instant kl being taken equal to the estimated bias at time (k-1) taking into account the measurements up to that moment.

Le filtre prédicteur. de mesure effectue la prédiction de la mesure 4 Z(k/k-1) à partir de la valeur prédite du biais U(k/k-1) ou ce qui revient au même de la dernière valeur estimée U(k-1/k-1) par mise en oeuvre d'une partie de l'équation de mesure. Sa fonction de transfert est définie par la matrice H(k). The predictor filter. measure the prediction of the measure 4 Z (k / k-1) from the predicted value of the bias U (k / k-1) or the same as the last estimated value U (k-1 / k-1) by implementing a part of the measurement equation. Its transfer function is defined by the matrix H (k).

AZ(k/k-l) = H(k) U(k/k-l)
Le filtre estimateur de correction 14, a une fonction de transfert définie par une matrice K(k) et engendre un terme correcteur de prédiction : K(k)#[ #Z(k) - ##(k/k-1) ]
La matrice K(k est déterminée de manière à obtenir une fonction de transfert donnant au biais estimé #(k/k) une variance minimale.Elle est définie, conformément à la technique de filtrage de type Kalman-Bucy, d'une manière récursive à l'aide d'un système d'équations matricielles formées:
- d'une équation de gain
t t -1
K(k) = P(k/k-I).H(.k). H(k) P(k/k-1) H(k) ^ R(k) ] dans laquelle R(k) est la matrice de covariance du bruit de mesure et P(k/k-1), la matrice de covariance de l'erreur de prédiction sur le biais à l'instant (k-1) qui compte tenu du fait que le modèle est stationnaire est égal à la matrice de covariance P(k-1/k-1) de l'erreur de prédiction sur le biais à l'instant (k-1)
P(k/k-l) = P(k-l/k-l)
- et d'une équation de la matrice de covariance d'estimation du
biais
P(k/k) = [Id - K(k) H(k)].P(k/k-1)
La matrice de covariance de bruit de mesure utilisée dans l'équa- tion du gain est définie Dar la relation
R(k) = E [ V(k).V(k)t ] ou, en tenant compte de la définition 4

AZ (k / kl) = H (k) U (k / kl)
The correction estimator filter 14 has a transfer function defined by a matrix K (k) and generates a prediction correction term: K (k) # [#Z (k) - ## (k / k-1)]
The matrix K (k is determined so as to obtain a transfer function giving the estimated bias # (k / k) a minimum variance. It is defined, in accordance with the Kalman-Bucy filtering technique, in a recursive manner. using a system of matrix equations formed:
- a gain equation
tt -1
K (k) = P (k / kI) .H (.k). H (k) P (k / k-1) H (k) ^ R (k)] in which R (k) is the covariance matrix of the measurement noise and P (k / k-1), the matrix of covariance of the prediction error on the bias at the instant (k-1) which, considering that the model is stationary, is equal to the covariance matrix P (k-1 / k-1) of the error of prediction on the bias at the moment (k-1)
P (k / kl) = P (kl / kl)
- and an equation of the covariance estimation matrix of the
angle
P (k / k) = [Id - K (k) H (k)]. P (k / k-1)
The noise covariance matrix of measurement used in the gain equation is defined in the relation
R (k) = E [V (k) .V (k) t] or, taking into account definition 4

<tb> <SEP> t
<tb> <SEP> @@ <SEP> @@ <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> @d <SEP> -R <SEP> 0 <SEP> 0
<tb> k) <SEP> = <SEP> # <SEP> # <SEP> E <SEP> [ <SEP> W(k).W(k) <SEP> ] <SEP> #
<tb> <SEP> 0
<tb> avec conformément à la définition 1

<tb><SEP> t
<tb><SEP> @@ <SEP> @@ <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> @d <SEP> -R <SEP> 0 <SEP> 0
<tb> k) <SEP> = <SEP>#<SEP>#<SEP> E <SEP>[<SEP> W (k) .W (k) <SEP>] <SEP>#
<tb><SEP> 0
<tb> with according to definition 1

<tb> <SEP> E1(A) <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0
<tb> <SEP> 0 <SEP> E2(A) <SEP> 0 <SEP> 0
<tb> E <SEP> [ <SEP> W(k).W(k)t <SEP> ] <SEP> = <SEP> # <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> E1(B) <SEP> 0 <SEP> #
<tb> <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> E2(B)
<tb> avec pour x = A,B
E1(x) = E [ W1(x).W1(x)t ]
E2(x) = E [ W2(x).W2(x)t ]
où W (x) est le bruit de la mesure A (x)
Les deux plots utilisés pour l'estimation des biais des deux radars R1, R2 peuvent correspondre à deux cibles fixes vues simultané- ment par les deux radars. Néanmoins, de telles cibles sont rares en pratique et il est préférable d'utiliser des plots correspondant à des cibles mobiles. Les mesures de position d'une cible mobile vue simultanément par les deux radars ne sont pas directement utilisables pour la détermination des biais car il est rare que les deux radars procédent à des mesures aux mêmes instants. Pour tourner cette difficulté et obtenir des mesures aux mêmes instants de la part de chacun des radars R1, R2, on procède à des interpolations sur leur mesure grâce à un filtrage des composantes monoradar permettant d'estimer à tout moment la position de la cible selon chacun des deux radars.Le filtre utilisé est comme le précédent un filtre récursif avec prédiction de type Kalman-Bucy et a pour modèle, le modèle de trajectoire rectiligne uniforme. Comme on l'a vu précédemment un tel filtre se définit par une équation de mesure.<tb><SEP> E1 (A) <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0
<tb><SEP> 0 <SEP> E2 (A) <SEP> 0 <SEP> 0
<tb> E <SEP>[<SEP> W (k) .W (k) t <SEP>] <SEP> = <SEP>#<SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> E1 (B) <SEP > 0 <SEP>#
<tb><SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> E2 (B)
<tb> with for x = A, B
E1 (x) = E [W1 (x) .W1 (x) t]
E2 (x) = E [W2 (x) .W2 (x) t]
where W (x) is the noise of measurement A (x)
The two pins used to estimate the biases of the two radars R1, R2 can correspond to two fixed targets seen simultaneously by the two radars. Nevertheless, such targets are rare in practice and it is preferable to use pads corresponding to moving targets. Measurements of the position of a moving target seen simultaneously by the two radars are not directly usable for the determination of the biases because it is rare that the two radars proceed to measurements at the same times. To turn this difficulty and obtain measurements at the same moments from each of the radars R1, R2, we proceed to interpolations on their measurement thanks to a filtering of the monoradar components making it possible to estimate at any moment the position of the target according to Each of the two radars.The filter used is like the previous recursive filter with Kalman-Bucy type prediction and is modeled on the uniform rectilinear trajectory model. As we have seen above, such a filter is defined by a measurement equation.

Z* (n) = H* (n) X* (n) + V* (n)
Z* (n) étant la mesure à l'instant n, X* (n) l'état à l'instant n, H* (n) la matrice de mesure et V (n) le bruit de mesure, et par une équation de modèle
X (n+1) = # (n) XX (n) + W (n) #(n) étant la matrice de modèle et W* (n) le bruit de modèle.Z * (n) = H * (n) X * (n) + V * (n)
Z * (n) being the measurement at time n, X * (n) the state at time n, H * (n) the measurement matrix and V (n) the measurement noise, and by a model equation
X (n + 1) = # (n) XX (n) + W (n) # (n) being the model matrix and W * (n) the model noise.

Le filtre de Kalman-Bucy ayant pour modèle le modèle de trajectoire rectiligne uniforme est bien connu. Ses équations se déterminent en fonction des propriétés du modèle de trajectoire rectiligne uniforme. The Kalman-Bucy filter modeled on the uniform rectilinear trajectory model is well known. His equations are determined by the properties of the uniform rectilinear trajectory model.

Une mesure Z* est unvecteur à trois coordonnées (x, y, z). Pour simplifier l'écriture on commence par ne s'intéresser qu'à une seule d'entre elles x. Dans ces conditions le vecteur d'état devient

A measure Z * is a vector with three coordinates (x, y, z). To simplify writing, we start by looking at only one of them x. Under these conditions the state vector becomes

<SEP> x
<tb> X <SEP> = <SEP> # <SEP> # <SEP> ,
<tb> <SEP> #
<tb> étant la vitesse
Un modèle rectiligne uniforme peut se traduire par
X =X
# bruit gaussien centre
X = X
Soit

<SEP> x
<tb> X <SEP> = <SEP>#<SEP>#<SEP>,
<tb><SEP>#
<tb> being the speed
A uniform rectilinear model can result in
X = X
# Gaussian noise center
X = X
Is

# <SEP> <SEP> 0 <SEP> 1 <SEP> x <SEP> 0
<tb> <SEP> # <SEP> # <SEP> <SEP> = <SEP> # <SEP> # <SEP> # <SEP> <SEP> # <SEP> + <SEP> # <SEP> # <SEP> # <SEP> #
<tb> <SEP> # <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> # <SEP> 1
<tb> qui correspond à ltéquation de modèle du processus continu #0 = C X* + D W*
Pour le processus discret : l'équation de modèle est
X* (n+1) : (n) X (n) + W* (n)
Le passage de l'une à l'autre se fait par discrétisation du processus continu.# <SEP><SEP> 0 <SEP> 1 <SEP> x <SEP> 0
<tb><SEP>#<SEP>#<SEP><SEP> = <SEP>#<SEP>#<SEP>#<SEP><SEP>#<SEP> + <SEP>#<SEP>#<SEP>#<SEP>#
<tb><SEP>#<SEP> 0 <SEP> 0 <SEP>#<SEP> 1
<tb> which corresponds to the model equation of the continuous process # 0 = CX * + DW *
For the discrete process: the model equation is
X * (n + 1): (n) X (n) + W * (n)
The transition from one to the other is done by discretizing the continuous process.

Soient t(i) l'instant correspondant à l'état i il vient #(n) = exp [C(t(n+1) - t(n))] soit en posant#T = t(n+l) - t(n)

Let t (i) be the instant corresponding to the state i it comes # (n) = exp [C (t (n + 1) - t (n))] by posing # T = t (n + 1) - t (n)

En revenant à une mesure à trois dimensions on a
Le vecteur de mesure
Z*(n) = (x, y, z)t
Le vecteur d'état #(n) = (x,#,y,#,z,#,)t
La matrice de mesure

Returning to a three-dimensional measure we have
The measurement vector
Z * (n) = (x, y, z) t
The state vector # (n) = (x, #, y, #, z, #,) t
The measurement matrix

<tb> 1 <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0
<tb> H*= <SEP> # <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 1 <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> #
<tb> <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 1 <SEP> 0
<tb>
La matrice de modèle

<tb> 1 <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0
<tb> H * = <SEP>#<SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 1 <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP>#
<tb><SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 1 <SEP> 0
<Tb>
The template matrix

<tb> <SEP> 1 <SEP> #T <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0
<tb> <SEP> 0 <SEP> 1 <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0
<tb> <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 1 <SEP> #T <SEP> <SEP> 0 <SEP> 0
<tb> #(n) <SEP> = <SEP> # <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 1 <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> #
<tb> <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 1 <SEP> #T
<tb> <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 1
<tb> notées par la suite # (T)
La matrice de covariance de bruit de modèle :
On a Q(n) = E [W*(n) W*(n)t] et en remplaçant W*(n) par sa valeur, on obtient, en supposant que le bruit de modèle est blanc gaussien :

<tb><SEP> 1 <SEP>#T<SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0
<tb><SEP> 0 <SEP> 1 <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0
<tb><SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 1 <SEP>#T<SEP><SEP> 0 <SEP> 0
####
<tb><SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 1 <SEP>#T
<tb><SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 1
<tb> noted subsequently # (T)
The model noise covariance matrix:
We have Q (n) = E [W * (n) W * (n) t] and by replacing W * (n) by its value, we obtain, assuming that the model noise is Gaussian white:

<tb> <SEP> ##T4/4 <SEP> #T2/2 <SEP> <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0
<tb> <SEP> #T2/2 <SEP> <SEP> T <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0
<tb> Q(n) <SEP> = <SEP> #2 <SEP> # <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> #T4/4 <SEP> #T2/2 <SEP> <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> #
<tb> <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> #T2/2 <SEP> <SEP> T <SEP> 0 <SEP> 0
<tb> <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> #T4/4 <SEP> #T2/2
<tb> <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> #T2/2 <SEP> <SEP> #T
<tb> qu'on notera Q(T) avec 2 écart type du bruit de modèle. <tb><SEP>## T4 / 4 <SEP># T2 / 2 <SEP><SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0
<tb><SEP># T2 / 2 <SEP><SEP> T <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0
<tb> Q (n) <SEP> = <SEP># 2 <SEP>#<SEP> 0 <SEP> 0 <SEP># T4 / 4 <SEP># T2 / 2 <SEP><SEP> 0 <SEP> 0 <SEP>#
<tb><SEP> 0 <SEP> 0 <SEP># T2 / 2 <SEP><SEP> T <SEP> 0 <SEP> 0
<tb><SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP>#T4 / 4 <SEP># T2 / 2
<tb><SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP># T2 / 2 <SEP><SEP>#T
<tb> that we will note Q (T) with 2 standard deviation of the model noise.

La matrice de covariance de bruit de mesure
t
On a R(n) = Et V(n).V(n) ]
Soit (#, #, #) les coordonnées sphériques de la mesure Z, on connait pour chaque radar # # , # # , # # les écart type des bruits de mesure respectivement en distance, azimut, site.The measurement noise covariance matrix
t
We have R (n) = And V (n) .V (n)]
Let (#, #, #) be the spherical coordinates of the measure Z, we know for each radar # #, # #, # # the standard deviations of the measurement noises respectively in distance, azimuth, site.

Soit A la matrice des dérivées partielles de (x, y, z) par rapport à (# , # , # ) on a :

Let A be the matrix of the partial derivatives of (x, y, z) with respect to (#, #, #) we have:

<tb> <SEP> #2# <SEP> <SEP> 0 <SEP> 0
<tb> R*(n) <SEP> = <SEP> A. <SEP> # <SEP> 0 <SEP> #2# <SEP> 0 <SEP> # <SEP> .A <SEP> t
<tb> <SEP> 0 <SEP> 0 <SEP> #2#
<tb>
Ce qui complète la définition du filtre de Kalman-Bucy à modèle de trajectoire rectiligne uniforme utilisé pour estimer à tout moment la position d'une cible mobile selon l'un des radars.<tb><SEP># 2 # <SEP><SEP> 0 <SEP> 0
####
<tb><SEP> 0 <SEP> 0 <SEP># 2 #
<Tb>
This completes the definition of the Kalman-Bucy filter with uniform rectilinear trajectory model used to estimate at any time the position of a moving target according to one of the radars.

Les mesures de chaque radar relatives à une même cible mobile sont filtrées indépendamment l'une de l'autre dans le filtre de Kalman précédemment défini qui peut être réalisé conformément au schéma de la figure 2 selon une structure à deux boucles successives. The measurements of each radar relating to the same moving target are filtered independently of each other in the previously defined Kalman filter which can be produced according to the diagram of FIG. 2 according to a structure with two successive loops.

La première boucle placée en sortie comporte un sommateur 20 à deux entrées bouclé sur lui même par l'intermédiaire d'un registre 21 et d'un filtre de prédiction d'état 22 disposés à la suite entre sa sortie et l'une de ses entrées. Cette boucle sert à la mise à jour la valeur estimée X* E (t + L T) de la position de la cible mobile selon le radar considéré à partir de la valeur estimée X* E (t) à l'instant t précédent compte tenu des mesures jusqu'à cet instant t. Cette valeur mise à jour est disponible en sortie du sommateur 20 tandis que le registre 21 mémorise la valeur estimée précédente et que le filtre de prédiction d'état 22 prédit la valeur XP (t + ss t) de l'état de la cible mobile selon le radar considéré à partir de la valeur estimée de cet état à l'instant t X* E (t) compte tenu des mesures jusqu'à cet instant.Le filtre de prédiction d'état 22 a sa fonction de transfert définie par la matrice de modèle # Q ss t)
XP (t+ # T) = # (# T). XE (t)
La deuxième boucle comporte un filtre prédicteur de mesure 23 qui prédit la nouvelle position mesurée ZP (t + # T) de la cible à l'instant (t + ss T) à partir de l'état prédit XP (t + # + T) de la cible déli vré par le filtre de prédiction d'état 22 de la première boucle, un
soustracteur 24 dont l'entrée additive constitue celle du filtre et reçoit le nouvel échantillon de mesure Z (t + # T), et dont l'entrée soustractive est connectée en sortie du filtre de prédiction de mesure 23, et un filtre estimateur de correction 25 disposé entre le sortie du soustracteur 24 et l'entrée non bouclée du sommateur 20 de la première boucle.The first loop placed at the output comprises a summator 20 with two inputs looped on itself by means of a register 21 and a state prediction filter 22 arranged subsequently between its output and one of its entries. This loop is used to update the estimated value X * E (t + LT) of the position of the moving target according to the radar considered from the estimated value X * E (t) at time t preceding considering measurements up to this moment t. This updated value is available at the output of the adder 20 while the register 21 stores the previous estimated value and the state prediction filter 22 predicts the value XP (t + ss t) of the state of the moving target. according to the radar considered from the estimated value of this state at the instant t X * E (t) taking into account the measurements up to this instant. The state prediction filter 22 has its transfer function defined by the template matrix # Q ss t)
XP (t + # T) = # (# T). XE (t)
The second loop includes a measurement predictor 23 which predicts the new measured position ZP (t + # T) of the target at the instant (t + ss T) from the predicted state XP (t + # + T ) of the target delivered by the state prediction filter 22 of the first loop, a
subtractor 24 whose additive input constitutes that of the filter and receives the new measurement sample Z (t + # T), and whose subtractive input is connected at the output of the measurement prediction filter 23, and a correction estimator filter 25 disposed between the output of the subtractor 24 and the unconnected input of the summator 20 of the first loop.

Le filtre prédicteur de mesure 23 a une fonction de transfert définie par la matrice de mesure H
ZP (t+ t T) = H*.XP (t+ # T)
Le filtre estimateur de correction 25 a une fonction de transfert déterminée pour donner à l'état estimé une variance minimale, et définie à l'aide d'un matrice de gain K* (# T) déterminée, conformément à la technique de filtrage de type Kalman-Bucy à l'aide d'un système d'équations matricielles formé : - d'une équation de gain ::
K* (t+ # T) = PP (t# #T).H*t #H*.PP (t+ #T).H*t + R* (t+ #t)# -1 dans laquelle PP (t +A T) est la matrice de covariance de l'erreur de prédiction et R (t+ # T) la matrice de covariance du bruit de mesure - d'une équation de la matrice de covariance de prédiction PP (t+ # T) = # (# T). PE (t). # (# T) t + # (# T) dans laquelle PE (t) est la matrice de covariance de l'erreur d'estima tion et Q ( # T) la matrice de covariance de bruit de modèle précédemment définie. The measurement predictor filter 23 has a transfer function defined by the measurement matrix H
ZP (t + t T) = H * .XP (t + # T)
The correction estimator filter 25 has a transfer function determined to give the estimated state a minimum variance, and defined using a determined gain matrix K * (# T), in accordance with the filtering technique of Kalman-Bucy type using a system of matrix equations formed of: - a gain equation ::
K * (t + # T) = PP (t # #T) .H * t # H * .PP (t + #T) .H * t + R * (t + #t) # -1 in which PP (t + A T) is the covariance matrix of the prediction error and R (t + # T) the covariance matrix of the measurement noise - of an equation of the prediction covariance matrix PP (t + # T) = # ( # T). PE (t). # (# T) t + # (# T) where PE (t) is the covariance matrix of the estimation error and Q (# T) is the previously defined model noise covariance matrix.

et d'une équation de la matrice de covariance d'estimation
PE (t+ ss T) = pId - K# (t+ t T) Hi .PP (t+ AT)
Pour résumer la détermination des biais des radars d'un. réseau s'effectue simultanément par deux radars R1, R2 du réseau à l'aide des pistes de deux cibles mobiles vues simultanément par les deux radars qui subissent un filtrage monoradar sur chacune de leurs quatre composantes de manière à pouvoir déterminer à chaque instant la position des deux cibles selon les deux radars.and an equation of the estimation covariance matrix
PE (t + ss T) = pId - K # (t + t T) Hi .PP (t + AT)
To summarize the determination of the radar bias of a. network is carried out simultaneously by two radars R1, R2 of the network using the tracks of two mobile targets simultaneously viewed by the two radars which undergo a monoradar filtering on each of their four components so as to be able to determine at each moment the position of the two targets according to the two radars.

Si à l'instant t une mesure arrive pour la piste K issue du radar R1, on utilise pour la détermination de l'écart de position # Z(x) correspondant à cette piste l'état estimée de cette mesure Z1E (x) à l'instant t par le filtre de Kalman-Bucy du premier ordre qui la traite en tant que composante d'une piste monoradar et l'état prédit Z2P (x) à l'instant t par le filtre de Kalman-Bucy du premier ordre qui traite la composante monoradar de la même piste vue par l'autre radar :
Z (x) = Z1E (x) - RZ2P (x) + T
La matrice de covariance du bruit de mesure
R(k) = E [V (k).V (k)t] utilisée dans la détermination de la fonction de transfert du filtre estimateur de correction 14 du filtre de Kalman-Bucy d'ordre zéro estimant les biais se détermine comme on l'a vu précédemment à partir des matrices de covariance ::
E [ Wi (x).Wi (x)T] qui sont alors directement liées à la matrice de covariance associée à l'état prédit (respectivement estimé) délivré par le filtre de
Kalman-Bucy du premier ordre utilisé pour filtrer individuellement les composantes monoradar des pistes
Elle exprime alors en tenant compte des relations 6 et 7

If at the moment t a measurement arrives for the track K resulting from the radar R1, for the determination of the positional deviation # Z (x) corresponding to this track, the estimated state of this measurement Z1E (x) to the instant t by the first order Kalman-Bucy filter which treats it as a component of a monoradar track and the state predicts Z2P (x) at time t by the first order Kalman-Bucy filter which deals with the monoradar component of the same track seen by the other radar:
Z (x) = Z1E (x) - RZ2P (x) + T
The covariance matrix of the measurement noise
R (k) = E [V (k) .V (k) t] used in the determination of the transfer function of the zero-order Kalman-Bucy filter correction estimator 14 estimating the bias is determined as saw it previously from the covariance matrices ::
E [Wi (x) .Wi (x) T] which are then directly linked to the covariance matrix associated with the predicted (respectively estimated) state delivered by the filter of
Kalman-Bucy of the first order used to filter individually the monoradar components of the tracks
It expresses then taking into account relations 6 and 7

<tb> <SEP> H.Pα1(A).Ht <SEP> + <SEP> R.H.Pα2(A).Ht.Rt <SEP> <SEP> 0
<tb> R(k) <SEP> = <SEP> # <SEP> #
<tb> <SEP> 0 <SEP> H.Pα1(B).Ht <SEP> + <SEP> R.H.Pα2(B).Ht.Rt
<tb>
Les valeurs des biais étant contenues dans des intervalles centrés sur la valeur zéro, on adopte comme biais estimés initiaux la valeur zéro en l'absence de toute information à priori.<tb><SEP> HP α 1 (A) .Ht <SEP> + <SEP> RHP α 2 (A) .Ht.Rt <SEP><SEP> 0
<tb> R (k) <SEP> = <SEP>#<SEP>#
<tb><SEP> 0 <SEP> HP α 1 (B) .Ht <SEP> + <SEP> RHP α 2 (B) .Ht.Rt
<Tb>
Since the bias values are contained in intervals centered on the zero value, the initial value bias is assumed to be zero in the absence of any prior information.

Pour obtenir une estimation des biais de qualité, il faut que la prédiction de position réalisée par le filtre de Kalman-Bucy du premier ordre soit elle-même de qualité ce qui ne se réalise que si le type de trajectoire suivi par les deux pistes des mobiles choisis suit le modèle de trajectoire rectiligne uniforme adopté. To obtain an estimate of the quality bias, it is necessary that the position prediction made by the Kalman-Bucy filter of the first order is itself of quality which is only realized if the type of trajectory followed by the two tracks of the selected mobile phones follows the adopted uniform rectilinear trajectory model.

Pour s'en assurer, on peut effectuer un test sur l'innovation réduite RES qui traduit écart prédiction mesure et qui se définit par la formule
RES (t+#T) = [Z (t+#T)-H.XP (t+#T)].S-1 (t+#T).[Z (t+#T)-H.XP(t+#T)]t dans laquelle le terme S-1 (t+#T) est la matrice de covariance d'innovation S (t+#T) H.PP (t+ ss T). Ht + R (t+ #T)
Ce test consiste à vérifier que l'innovation réduite RES reste inférieure à une constante déterminée à partir d'une probabilité que l'on se fixe pour que la mesure si elle existe et si la cible suit une trajectoire rectiligne uniforme, appartienne à la fenêtre de prédiction.To make sure of this, we can perform a test on the reduced innovation RES which translates the difference between prediction measurement and which is defined by the formula
RES (t + # T) = [Z (t + # T) -H.XP (t + # T)] .S-1 (t + # T). [Z (t + # T) -H.XP (t + # T) ] in which the term S-1 (t + # T) is the innovation covariance matrix S (t + # T) H.PP (t + ss T). Ht + R (t + #T)
This test consists of verifying that the reduced innovation RES remains below a constant determined from a probability that we set so that the measurement if it exists and if the target follows a uniform rectilinear trajectory, belongs to the window prediction.

Dès que le test n'est plus vérifié pour l'une des composantes monoradar des deux pistes choisies pour l'estimation des biais, on arrête le calage car les états prédits sont de mauvaise qualité voir erronés.As soon as the test is no longer verified for one of the monoradar components of the two tracks chosen for estimating bias, stalling is stopped because the predicted states are of poor quality or erroneous.

Dans la description précédente, on a indiqué que les biais estimés initiaux étaient pris égaux à zéro. Cela est vrai bien entendu dans le cas où l'on ne possède pas d'estimations antérieures de ces biais si non, on reprend comme valeurs initiales les dernières estimations. En effet, on a intérêt à réduire l'écart entre la position vraie et la position mesurée pour se rapporcher le plus possible des hypothéses théoriques du développement en série de Taylor au voisinage d'un point qui est à la base de la formulation de équation de mesure du filtre de Kalman-Bucy d'ordre zéro fournissant les biais. In the foregoing description, it was indicated that the initial estimated bias was taken as zero. This is true, of course, in the case where no previous estimates of these biases are available, if not, the latest estimates are taken as initial values. Indeed, it is advantageous to reduce the gap between the true position and the measured position to get as close as possible to the theoretical hypotheses of the Taylor series development in the vicinity of a point which is the basis of the equation formulation. of zero-order Kalman-Bucy filter providing bias.

On na pas précisé les types de radars calés; néanmoins on a supposé que les coordonnées des cibles utilisées étaient entièrement déterminées c'est-à-dire que leurs altitudes étaient connues ce qui n'est le cas que lorsque l'on a affaire à deux radars de type 3D. (3 dimensions). Dans le cas où l'un des radars est de type 2D (2 dimensions) et l'autre de type 3D on utilise l'altitude des pistes fournies par le radar de type 3D comme mesure d'altitude du radar 2D c'est-à-dire que l'on remplace l'altitude manquante dans une mesure du radar 2D par l'altitude prédite à cet instant par le filtrage de Kalman-Bucy du premier ordre mettant en oeuvre les mesures du radar 3D pour la piste considérée. The types of speeded radars have not been specified; nevertheless, it was assumed that the coordinates of the targets used were entirely determined, ie their altitudes were known, which is the case only when two type 3D radars are involved. (3 dimensions). In the case where one of the radars is of type 2D (2 dimensions) and the other of type 3D one uses the altitude of the tracks provided by the radar of type 3D like measurement of altitude of the radar 2D that is that is to say that we replace the missing altitude in a measurement of the 2D radar by the altitude predicted at this time by Kalman-Bucy filtering of the first order implementing the 3D radar measurements for the track in question.

Dans le cas de deux radars de type 2D on utilise toute information disponible sur l'altitude des cibles utilisées. A défaut, on la remplace par une constante arbitraire. In the case of two type 2D radars, any information available on the altitude of the targets used is used. Otherwise, it is replaced by an arbitrary constant.

Dans le cas d'un réseau comportant plus de deux radars, on regroupe les radars deux à deux pour effectuer les estimations des biais en essayant de préférence de regrouper un radar 2D avec un radar 3D pour éviter une trop grande incertitude sur l'altitude et en s'efforçant d'obtenir un renouvellement de l'estimation des biais avec une périodicité comparable pour tous les radars. In the case of a network with more than two radars, two by two radars are grouped together to make the bias estimates, preferably by combining a 2D radar with a 3D radar to avoid too much uncertainty about the altitude and endeavoring to obtain a renewal of the bias estimate with a similar frequency for all radars.

Claims

1 / Method for the spatial setting of a pair of radars (R1, R2), characterized in that it consists in estimating the systematic measurement errors (U1,

U2) of each radar (R1, R2) with respect to the true position by determining the deviations (# ZA, ss ZB) between the positions measured by the two radars concerned (R1, R2) for two distinct points (A, B) seen simultaneously by the two radars (R1, R2) and by subjecting these positional deviations (A ZA, OZB) to a zero-order Kalman-Bucy recursive filtering defined by a stationary model equation

U (k + 1) = U (k) in which the vector U (k) has for its components the calibration errors U1, U2 at time k and by a measurement equation

AZ (k) = H (k) U (k) + V (k) in which the vector # Z (k) has as its components the positional deviations t ZA, ss ZB measured for the two points A, B to the instant k, H (k) is the measurement matrix

<tb> in which R is the rotation rotation matrix of the location markers linked to the radar R2 to those related to the radar R1, and Ai (x) the Jacobian matrix of the position measurement (x), made by the radar Ri at time k and where V (k) is the measurement noise vector having for components

<tb> <SEP> | <SEP> A1 (A), <SEP> - <SEP> RA2 (A)

<tb> where Wi (x) is the noise of the measurement of the position x made by the radar Ri at time k.

<tb> <SEP> 0, <SEP> 0, <SEP> W1 (B), <SEP> -RW2 (B)

<tb> V (k) <SEP> = <SEP> # <SEP> #

<tb> <SEP> W1 (A), <SEP> -RW2 (A), <SEP> 0, <SEP> 0

2 / A method according to claim 1, characterized in that said points (A, B) seen simultaneously by the radars (R1, R2) are moving targets whose positions at the same time (k) are deduced by filtering the components. monoradar of their tracks by means of a recursive filter of Kalman-Bucy type of the first order having for model of trajectory the rectilinear uniform model.

3 / A method according to claim 2, characterized in that the positions at the same time (k) resulting from Kalman-Bucy type filtering of the first order with the uniform linear path pattern of the tracks measured by the radar are retained for the first time. determining said positional deviations (b ZA, aZB) only if the reduced innovation of the Kalman-Bucy filter of the first-order filter remains below an arbitrary constant defining a prediction window in which it is assumed that the moving targets actually follow the uniform rectilinear trajectory model corresponding to type filtering

Kalman-Bucy monoradar components of tracks.