CN103792849B - 可调金属切削系统的鲁棒自适应动态面控制方法 - Google Patents

Abstract

一种可调金属切削系统的鲁棒自适应动态面控制方法，其特点是，包括可调金属切削系统数学模型、磁滞模型、神经网络系统描述和自适应动态面控制器的设计等内容，通过引入的误差转换函数可任意指定控制精度，实现了对切刀切割深度的精确控制；系统模型未完全可知的情况下，通过RBF神经网络实现未知项的逼近；通过估计未知参数向量的范数来代替估计未知参数地向量，极大地减轻了系统的计算负担；采用自适应动态面技术结合误差转换函数与RBF的策略，放宽了对时滞的假设同时保证了跟踪误差和过渡过程能够在任意指定的指标内，消除了反推法的“微分爆炸”问题，保证系统信号半全局一致最终有界，具有方法科学合理，控制精度高，适用等优点。

Description

可调金属切削系统的鲁棒自适应动态面控制方法

技术领域

本发明是一种可调金属切削系统的鲁棒自适应动态面控制方法，应用于带有PI磁滞模型和未知时滞的精密仪器系统的控制。

背景技术

随着超精密加工技术在工业、军事、民品中的广泛应用，加工过程的高精度、高质量、高效率、低成本越来越重要。其中精密加工设备中的磁滞现象是影响系统稳定的关键，系统中伴有磁滞现象时，整个控制系统将会表现出振荡、不稳定、准确性降低等现象。除了磁滞现象，时延问题也出现在涡轮喷气发动机引擎、飞机系统等领域，从而降低了控制性能。

目前解决具有磁滞输入的非线性系统控制问题有两种方法：一种方法是建立磁滞的逆过程，并将之级联到控制系统的输入端；另一种方法是采用鲁棒自适应的控制策略来消除或抑制磁滞现象。由于建立磁滞逆过程非常复杂，且磁滞的逆模型输出对其参数特别敏感，因此，不建立磁滞逆而采用鲁棒自适应控制策略则更具吸引力，其中最主要最有效的方面就是自适应反推控制方案。

反推控制方案，在处理某些参数不确定非线性和线性系统及改善过渡过程品质方面的潜力而受到广泛重视。反推控制方案仍然存在一些重要缺陷，如随对象相对阶增高，控制律高度非线性、高度复杂(称为“微分爆炸”)等，近年来，研究人员为克服“微分爆炸”的缺点，提出了一种新的控制方法：“动态面控制(Dynamic Surface Control)”。即通过引入滤波器，使得每一步控制律的设计与前一级的设计基本解耦，从而使控制律的复杂程度大幅下降。动态面控制实现了相对简单的控制律与良好的过渡过程品质结合。

处理非线性时滞问题，目前常用的方法是自适应神经网络。由于使用动态面或反推控制，系统的跟踪误差最终收敛到一个紧集而不是收敛到零，因此一个挑战性的问题是如何设计控制律保证系统L_∞性能。

发明内容

本发明的目的是针对既有时滞问题又存在磁滞输入的可调金属切削系统，提供一种可调金属切削系统的鲁棒自适应动态面控制方法，它采用鲁棒自适应动态面控制、误差转换函数和神经网络相结合，能够保证其跟踪误差和过渡过程能够在预先任意给定的指标内，克服了反推控制方案中的“微分爆炸”问题，简化控制器结构，减少计算量，更便于实时控制，并消除了系统跟踪误差可能出现的“畸变”现象。

实现本发明目的所采用的技术方案是：

一种可调金属切削系统的鲁棒自适应动态面控制方法，其特征是，它包括以下内容：

1)可调金属切削系统数学模型

可调金属切削系统的数学模型包括切割系统装置本身模型、用来描述磁滞作动器的磁滞模型及未知延时环节模型，

建立可调金属切削系统：

其中x表示切割深度的波动部分，也称作模具厚度的偏移量；m，c，k分别代表切割器械的质量、阻尼系数和弹性硬度；k_a为压电作动器的弹性当量，u为压电作动器的输出，F_Δ为切割器械的切力变化

F_Δ＝h×(x-μx(t-τ))+f(x-μx(t-τ))

其中 h和μ为正常数，τ为未知时间延迟；

基于上述对金属切削系统的描述，令x＝x₁，则式(1)表述成反馈形式：

${\stackrel{\·}{x}}_1=x_2$

y＝x₁

其中对于可调金属切削系统(1)，作如下假设：

假设1：未知延时项满足如下不等式：

其中为未知连续函数；

假设2：参考信号y_r光滑、有界，且对于t≥0，属于某一紧集；

2)磁滞模型

采用Prandtl-Ishlinskii模型来表示磁滞非线性，Prandtl-Ishlinskii模型是Preisach模型的一个子集，由stop算子和play算子组成，该模型的优势主要是能准确刻画磁滞现象，同时便于实现控制器的设计和实时控制，

由于滞环的非对称性，play算子使得磁滞输出w随输入u增加或减小，设C_m[0,t_E]为一个单调分段连续的泛函空间，对于任意输入u，定义f_r:R→R，f_r(u,w)＝max(u-r,min(u+r,w))，其中r表示滞环阈值且满足r≥0，则play算子F_r[·]定义为如下形式：

F_r[u](0)＝f_r(u(0),0)

F_r[u](t)＝f_r(u(t),F_r[u](t_i)) (4)

for t_i≤t≤t_i+1and 0≤i≤N-1

其中，0＝t₀<t₁<…<t_N＝t_E为[0,t_E]的一个分割，使得输入u在每一个[t_i,t_i+1]内具有单调性，即递增或者递减，PI模型表述为如下形式：

其中p(r)是密度函数，满足p(r)≥0且密度函数p(r)通过实验辨识得到，由于p(r)随着r的增大而趋于零，为简便，选择D＝∞作为式(5)的积分上界，λ为由p(r)确定的未知常数，λ＝1.5，r∈[0,10]、输入u(t)＝7sin(3t)/(1+t),t∈[0,2π]且F_r[u](0)＝0，得到PI磁滞模型；

磁滞输出表示为：

u(t)＝λv(t)+∫₀ ^Dp(r)F_r[v](t)dr (6)

将(6)式代入(2)得：

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2$

y＝x₁

其中：

β＝bλ (8)

p_g(r)＝bp(r) (9)

且p_g(r)为未知磁滞密度函数，p_g(r)和β将在接下来被在线估计，针对上述带有磁滞驱动的非线性系统，控制目的是采用反推法的改进-动态面方法使得闭环系统保证全局稳定，同时，通过调整控制参数实现系统输出x₁＝y能够跟踪参考信号y_r；

3)神经网络系统描述

一般地，神经元网络是一个多输入单输出的系统，其数学表达式为：

Y＝θ^Tψ(ξ) (10)

其中，ξ∈Rⁿ是神经元网络的输入；Y∈R是神经元网络的输出，θ∈R^N是N维可调参数向量，这里N是神经元节点数；ψ(ξ):Rⁿ→R^N是非线性向量函数，且ψ(ξ)＝[ψ₁(ξ),…,ψ_N(ξ)]^T，这里，ψ_k(ξ)是高斯函数，

引理1：对紧集上的任意连续函数通过选择适当的参数σ_k和ζ_k，对于足够大的正整数N，存在形如式(10)的神经网络系统，使得，|δ|≤δ_m

其中，θ^*是权参数向量θ的最优值，定义δ(ξ)为逼近误差，

4)自适应动态面控制器的设计

定义系统跟踪误差

e:＝x₁-y_r (14)

其中y_r为理想跟踪轨迹，性能函数和误差转换函数将进行如下定义：性能函数被定义为一个光滑递减的正函数，使得对于所有t≥0

其中0<σ<1且 为系统稳定时跟踪误差所允许的最大值，为将式(15)转换成一等价函数，引入误差转换函数如下：

其中，S₁是由误差转换函数进行转换后的转换误差，Φ(S₁)是某一光滑、严格单调递增的函数，其反函数具有如下性质：

且

由式(18)可知，如果那么式(17)成立，同时再考虑和式(16)，当e(0)>0时，成立，或者当e(0)<0时，成立，从而公式(15)成立，因此，经分析可知，若欲实现给定的性能指标，只需证明即可，由Φ(S₁)的严格单调递增的性质，可得：

需要注意的是，将e(0)＝0时的情况包含到e(0)>0或e(0)<0中处理，同时，σ不可取零，因为这会使得S₁(0)无界，

第1步：令第1个面误差S₁为式(19)所定义，考虑式(1)和式(14)，有

根据Φ和的定义，可知Ψ>0，考虑如下二次型方程

因此，可得

其中x_2d为待设计的虚拟控制信号，设计虚拟控制律：

令x_2d经一阶低通滤波器获得的新变量z₂如下：

其中，τ₂为滤波器时间常数；

第2步：定义第2个面误差为：

S₂＝x₂-z₂ (26)

令考虑二次型函数：

其中，定义：γ_ζ，γ_pr和为正设计参数；分别为 的估计值；

对于未知延时项根据假设1，下述不等式成立：

因此，由式(27)，可得：

其中为假 设1中的未知连续函数；定义为如下形式：

由于式(29)中有未知项，因此，需用神经网络作为逼近器，在紧集上来逼近未知项：

其中则有：

其中α₂为正设计参数，根据式(28)-(32)有：

设最终的控制律υ为：

其中

和的含义由式(29))的调参律设计为如下形式

其中σ_ζ，σ_pr和为正设计参数。

本发明的可调金属切削系统的鲁棒自适应动态面控制方法，由于采用鲁棒自适应动态面控制、误差转换函数和神经网络相结合，通过引入的误差转换函数可任意指定控制精度，实现了对切刀切割深度的精确控制；系统模型未完全可知的情况下，通过RBF神经网络实现未知项的逼近；通过估计未知参数向量的范数来代替估计未知参数地向量，极大地减轻了系统的计算负担；采用自适应动态面技术结合误差转换函数与RBF的策略，放宽了对时滞的假设同时保证了跟踪误差和过渡过程能够在任意指定的指标内，消除了反推法的“微分爆炸”问题，保证系统信号半全局一致最终有界，简化了控制器结构，减少计算量，更便于实时控制，并消除了系统跟踪误差可能出现的“畸变”现象，具有方法科学合理，控制精度高，适用等优点。

附图说明

图1为可调金属切削系统的结构示意图；

图2为可调金属切削系统的结构简化示意图；

图3为PI磁滞模型曲线示意图；

图4为跟踪性能y＝x₁，y_r＝0.02sin(2.5t)曲线示意图；

图5为跟踪误差，性能指标函数曲线示意图；

图6为控制律υ与磁滞输出曲线示意图；

图7为面误差S₁与S₂曲线示意图；

图8为权值向量范数的估计值曲线示意图。

图2中，x表示切割深度的波动部分，也称作模具厚度的偏移量，F_Δ为切割器械的切力变化，τ为时间延迟；图3横坐标表示磁滞输入u(t)＝7sin(3t)/(1+t),t∈[0,2π]，纵坐标表示磁滞输出w(t)；图4中的横坐标表示时间，纵坐标表示输出y对目标函数y_r的跟踪性能；图5中的横坐标表示时间，纵坐标表示跟踪误差e和性能指标函数图6中的横坐标表示时间，纵坐标表示控制律υ与磁滞输出；图7中的横坐标表示时间，纵坐标表示面误差S₁与S₂；图8中的横坐标表示时间，纵坐标表示权值向量范数。

具体实施方式

下面利用附图和实施例对发明作进一步说明。

本发明的一种可调金属切削系统的鲁棒自适应动态面控制方法，包括：

1)可调金属切削系统数学模型

可调金属切削系统的数学模型包括切割系统装置本身模型、用来描述磁滞作动器的磁滞模型及未知延时环节模型，

建立可调金属切削系统：

其中x表示切割深度的波动部分，也称作模具厚度的偏移量；m，c，k分别代表切割器械的质量、阻尼系数和弹性硬度；k_a为压电作动器的弹性当量，u为压电作动器的输出，F_Δ为切割器械的切力变化

F_Δ＝h×(x-μx(t-τ))+f(x-μx(t-τ))

其中 h和μ为正常数，τ为未知时间延迟；

基于上述对金属切削系统的描述，令x＝x₁，则式(1)表述成反馈形式：

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2$

y＝x₁

其中对于可调金属切削系统(1)，作如下假设：

假设1：未知延时项满足如下不等式：

其中为未知连续函数；

假设2：参考信号y_r光滑、有界，且对于t≥0，属于某一紧集；

2)磁滞模型

采用Prandtl-Ishlinskii模型来表示磁滞非线性，Prandtl-Ishlinskii模型是Preisach模型的一个子集，由stop算子和play算子组成，该模型的优势主要是能准确刻画磁滞现象，同时便于实现控制器的设计和实时控制，

由于滞环的非对称性，play算子使得磁滞输出w随输入u增加或减小，设C_m[0,t_E]为一个单调分段连续的泛函空间，对于任意输入u，定义f_r：R→R，f_r(u,w)＝max(u-r,min(u+r,w))，其中r表示滞环阈值且满足r≥0，则play算子F_r[·]定义为如下形式：

F_r[u](0)＝f_r(u(0),0)

F_r[u](t)＝f_r(u(t),F_r[u](t_i)) (4)

for t_i≤t≤t_i+1and 0≤i≤N-1

其中，0＝t₀<t₁<…<t_N＝t_E为[0,t_E]的一个分割，使得输入u在每一个[t_i,t_i+1]内具有单调性，即递增或者递减，PI模型表述为如下形式：

w(t)＝λu(t)+∫₀ ^Dp(r)F_r[u](t)dr (5)

其中p(r)是密度函数，满足p(r)≥0且密度函数p(r)通过实验辨识得到，由于p(r)随着r的增大而趋于零，为简便，选择D＝∞作为式(5)的积分上界，λ为由p(r)确定的未知常数，λ＝1.5，r∈[0,10]、输入u(t)＝7sin(3t)/(1+t),t∈[0,2π]且F_r[u](0)＝0，得到PI磁滞模型；

磁滞输出表示为：

u(t)＝λυ(t)+∫₀ ^Dp(r)F_r[υ](t)dr (6)

将(6)式代入(2)得：

${\stackrel{\&CenterDot;}{x}}_1=x_2$

y＝x₁

其中：

β＝bλ (8)

p_g(r)＝bp(r) (9)

且p_g(r)为未知磁滞密度函数，p_g(r)和β将在接下来被在线估计，针对上述带有磁滞驱动的非线性系统，控制目的是采用反推法的改进-动态面方法使得闭环系统保证全局稳定，同时，通过调整控制参数实现系统输出x₁＝y能够跟踪参考信号y_r；

3)神经网络系统描述

一般地，神经元网络是一个多输入单输出的系统，其数学表达式为：

Y＝θ^Tψ(ξ) (10)其中，ξ∈Rⁿ是神经元网络的输入；Y∈R是神经元网络的输出，θ∈R^N是N维可调参数向量，这里N是神经元节点数；ψ(ξ):Rⁿ→R^N是非线性向量函数，且ψ(ξ)＝[ψ₁(ξ),…,ψ_N(ξ)]^T，这里，ψ_k(ξ)是高斯函数，

引理1：对紧集上的任意连续函数通过选择适当的参数σ_k和ζ_k，对于足够大的正整数N，存在形如式(10)的神经网络系统，使得，|δ|≤δ_m

其中，θ^*是权参数向量θ的最优值，定义δ(ξ)为逼近误差，

4)自适应动态面控制器的设计

定义系统跟踪误差

e:＝x₁-y_r (14)其中y_r为理想跟踪轨迹，性能函数和误差转换函数将进行如下定义：性能函数被定义为一个光滑递减的正函数，使得对于所有t≥0

其中0<σ<1且 为系统稳定时跟踪误差所允许的最大值，为将式(15)转换成一等价函数，引入误差转换函数如下：

其中，S₁是由误差转换函数进行转换后的转换误差，Φ(S₁)是某一光滑、严格单调递增的函数，其反函数具有如下性质：

且

由式(18)可知，如果那么式(17)成立，同时再考虑和式(16)，当e(0)>0时，成立，或者当e(0)<0时，成立，从而公式(15)成立，因此，经分析可知，若欲实现给定的性能指标，只需证明即可，由Φ(S₁)的严格单调递增的性质，可得：

需要注意的是，将e(0)＝0时的情况包含到e(0)>0或e(0)<0中处理，同时，σ不可取零，因为这会使得S₁(0)无界，

第1步：令第1个面误差S₁为式(19)所定义，考虑式(1)和式(14)，有

根据Φ和的定义，可知Ψ>0，考虑如下二次型方程

因此，可得

其中x_2d为待设计的虚拟控制信号，设计虚拟控制律：

令x_2d经一阶低通滤波器获得的新变量z₂如下：

其中，τ₂为滤波器时间常数；

第2步：定义第2个面误差为：

S₂＝x₂-z₂ (26)

令考虑二次型函数：

其中，定义：γ_ζ，γ_pr和为正设计参数；分别为 的估计值；

对于未知延时项根据假设1，下述不等式成立：

因此，由式(27)，可得：

其中为假 设1中的未知连续函数；定义为如下形式：

由于式(29)中有未知项，因此，需用神经网络作为逼近器，在紧集上来逼近未知项：

其中则有：

其中α₂为正设计参数，根据式(28)-(32)有：

设最终的控制律υ为：

其中

和的含义由式(29))的调参律设计为如下形式

其中σ_ζ，σ_pr和为正设计参数。

具体实施例：

具有磁滞输入及延时现象的金属切削系统的数学模型如式(1)、(2)所示，式中PI磁滞模型如式(6)所示，且λ＝8。系统参数为m＝26kg，c＝1.2，k＝6800N/m，f(x-μx(t-τ))＝0.18sin(x-μx(t-1))，μ＝1，h＝4500，控制目的是使系统输出x₁＝y能够跟踪参考信号y_r＝0.02sin(2.5t)。神经网络的输入向量为神经网络的基函数ψ(ξ₁)选择31个节点，中心点σ_j，j＝1,…,31，均匀分布在[-3,3]×[-3,3]×[-3,3]]且宽度为η_j＝1。为基函数ψ(ξ₂)选择61个节点，中心点ζ_j，j＝1,…,61，均匀分布在[-3,3]×[-3,3]×[-3,3]，且宽度为σ_j＝1。

系统中各个参数的调参律的初始值为此外，设计参数k₁＝7.5，k₂＝2，α₂＝2.5，γ_ζ＝1.5，γ_pr＝3；滤波器的时间常数τ₂＝0.15，小增益参数σ_pr＝0.00001；系统各个状态的初始值为x₁(0)＝-0.1，x₂(0)＝0。仿真中，给定性能指标函数

为避免使控制信号避免产生“抖震”现象，使用：

来代替符号函数sgn(S₂/0.01)。

仿真结果如图4到图8所示。图4中良好的跟踪性能表明，本发明的可调金属切削系统的鲁棒自适应动态面控制方法可很好克服磁滞现象、时滞现象以及外部扰动对控制系统的不良影响。图5展示了系统的跟踪误差不超过0.05按照指定性能指标收敛，保持在预先指定的性能函数的约束范围内。图6给出了系统的控制信号υ(t)和在此信号下磁滞输出u(t)。图7给出了面误差信号S₁和S₂，S₁的有界性恰好说明了跟踪误差将按指定的性能函数来收敛。图8为权值向量范数的估计值图4到图8说明本发明的可调金属切削系统的鲁棒自适应动态面控制方法可以很好的处理输出磁滞现象与系统状态的延时，证明了所提控制策略的可行性。

具体实施方式仅是对本发明的说明，并不构成对权利要求保护范围的限制，本领域技术人员不经过创造性劳动的等同替代，均在本发明保护范围内。

Claims (1)

1.可调金属切削系统的鲁棒自适应动态面控制方法，其特征是，它包括以下内容：

1)可调金属切削系统数学模型

可调金属切削系统的数学模型包括切割系统装置本身模型、用来描述磁滞作动器的磁滞模型及未知延时环节模型，

建立可调金属切削系统：

其中x表示切割深度的波动部分，也称作模具厚度的偏移量；m，c，k分别代表切割器械的质量、阻尼系数和弹性硬度；k_a为压电作动器的弹性当量，u为压电作动器的输出，F_Δ为切割器械的切力变化

F_Δ＝h×(x-μx(t-τ))+f(x-μx(t-τ))

其中 h和μ为正常数，τ为未知时间延迟；

基于上述对金属切削系统的描述，令x＝x₁，则式(1)表述成反馈形式：

y＝x₁

其中对于可调金属切削系统(1)，作如下假设：

假设1：未知延时项i＝1,…,n，满足如下不等式：

其中为未知连续函数；

假设2：参考信号y_r光滑、有界，且对于t≥0，属于某一紧集；

2)磁滞模型

采用Prandtl-Ishlinskii模型来表示磁滞非线性，Prandtl-Ishlinskii模型是Preisach模型的一个子集，由stop算子和play算子组成，该模型的优势主要是能准确刻画磁滞现象，同时便于实现控制器的设计和实时控制，

由于滞环的非对称性，play算子使得磁滞输出w随输入u增加或减小，设C_m[0,t_E]为一个单调分段连续的泛函空间，对于任意输入u，定义f_r:R→R， f_r(u,w)＝max(u-r,min(u+r,w))，其中r表示滞环阈值且满足r≥0，则play算子F_r[·]定义为如下形式：

F_r[u](0)＝f_r(u(0),0)

F_r[u](t)＝f_r(u(t),F_r[u](t_i)) (4)

for t_i≤t≤t_i+1and 0≤i≤N-1

其中，0＝t₀<t₁<…<t_N＝t_E为[0,t_E]的一个分割，使得输入u在每一个[t_i,t_i+1]内具有单调性，即递增或者递减，PI模型表述为如下形式：

其中p(r)是密度函数，满足p(r)≥0且密度函数p(r)通过实验辨识得到，由于p(r)随着r的增大而趋于零，为简便，选择D＝∞作为式(5)的积分上界，λ为由p(r)确定的未知常数，λ＝1.5，r∈[0,10]、输入u(t)＝7sin(3t)/(1+t),t∈[0,2π]且F_r[u](0)＝0，得到PI磁滞模型；

磁滞输出表示为：

将(6)式代入(2)得：

y＝x₁

其中：

β＝bλ (8)

p_g(r)＝bp(r) (9)

且p_g(r)为未知磁滞密度函数，p_g(r)和β将在接下来被在线估计，针对上述带有磁滞驱动的非线性系统，控制目的是采用反推法的改进-动态面方法使得闭环系统保证全局稳定，同时，通过调整控制参数实现系统输出x₁＝y能够跟踪参考信号y_r；

3)神经网络系统描述

一般地，神经元网络是一个多输入单输出的系统，其数学表达式为：

Y＝θ^Tψ(ξ) (10)

其中，ξ∈Rⁿ是神经元网络的输入；Y∈R是神经元网络的输出，θ∈R^N是N维可调参数 向量，这里N是神经元节点数；ψ(ξ):Rⁿ→R^N是非线性向量函数，且ψ(ξ)＝[ψ₁(ξ),…,ψ_N(ξ)]^T，这里，ψ_k(ξ)是高斯函数，

引理1：对紧集上的任意连续函数通过选择适当的参数σ_k和ζ_k，对于足够大的正整数N，存在形如式(10)的神经网络系统，使得，

其中，θ^*是权参数向量θ的最优值，定义δ(ξ)为逼近误差，

4)自适应动态面控制器的设计

定义系统跟踪误差

e:＝x₁-y_r (14)

其中y_r为理想跟踪轨迹，性能函数和误差转换函数将进行如下定义：性能函数被定义为一个光滑递减的正函数，使得对于所有t≥0

其中0<σ<1且 为系统稳定时跟踪误差所允许的最大值，为将式(15)转换成一等价函数，引入误差转换函数如下：

其中，S₁是由误差转换函数进行转换后的转换误差，Φ(S₁)是某一光滑、严格单调递增的函数，其反函数具有如下性质：

且

由式(18)可知，如果那么式(17)成立，同时再考虑和式(16)，当e(0)>0时，成立，或者当e(0)<0时，成立，从而公式(15)成立，因此，经分析可知，若欲实现给定的性能指标，只需证明即可，由Φ(S₁)的严格单调递增的性质，可得：

需要注意的是，将e(0)＝0时的情况包含到e(0)>0或e(0)<0中处理，同时，σ不可取零，因为这会使得S₁(0)无界，

第1步：令第1个面误差S₁为式(19)所定义，考虑式(1)和式(14)，有

根据Φ和的定义，可知Ψ>0，考虑如下二次型方程

因此，可得

其中x_2d为待设计的虚拟控制信号，设计虚拟控制律：

令x_2d经一阶低通滤波器获得的新变量z₂如下：

其中，τ₂为滤波器时间常数；

第2步：定义第2个面误差为：

S₂＝x₂-z₂ (26)

令考虑二次型函数：

其中，定义：γ_ζ，γ_pr和为正设计参 数；分别为 的估计值；

对于未知延时项根据假设1，下述不等式成立：

因此，由式(27)，可得：

其中为假设1中的未知连续函数；定义为如下形式：

由于式(29)中有未知项，因此，需用神经网络作为逼近器，在紧集上来逼近未知项：

其中则有：

其中α₂为正设计参数，根据式(28)-(32)有：

设最终的控制律v为：

其中

和的含义由式(29))的调参律设计为如下形式

其中σ_ζ，σ_pr和为正设计参数。