CN100426038C - 非球面镜片的设计方法 - Google Patents

Abstract

一种非球面镜片的设计方法，其主要步骤包括：设定该非球面镜片的折光率、折射率与直径；采用球面设计，设计该非球面镜片的两个曲率半径，使其达到上述设定的折光率，并利用该两个曲率半径使0.5视场、0.7视场及1.0视场的畸变为最小值；采用镜片非球面设计公式设计其第一非球面和第二非球面，该镜片非球面设计公式为右式，Z(r)为镜面深度，C_v为非球面顶点的曲率，r为镜面上任一点至光轴的垂直高度，P为二次曲线常数值，B、C、D、E为非球面的高次项系数；采用阻尼最小二乘法对第一非球面和第二非球面进行优化设计；其中，优化设计时，使该非球面镜片在至少五个视场消除像差，并得出第一非球面和第二非球面的非球面系数P、B、C、D、E。

Description

非球面镜片的设计方法

【技术领域】

本发明涉及一种光学镜片的设计方法，尤其涉及一种非球面镜片的设计方法。

【背景技术】

目前光学设备如光学读取头、相机镜头、眼镜片所采用的镜片，一般采用球面设计或非球面设计。

镜片采用球面设计时，由于镜片的两个折射表面均设计为球面形式，故易于制造与加工。然而，中心薄边缘厚的球面发散镜片或中心厚边缘薄的球面会聚镜片，会随着镜片折光率(也称度数)的增加，镜片的边缘或中心会明显增厚。其中镜片折光率是指该镜片的后顶焦度值，其值等于以米为单位测得的镜片近轴后项焦距(自镜片像方表面顶点至像方焦点的距离)的倒数。可由公式(1)计算：

$F_v=\frac{1}{f_v}=\frac{F_1+F_2-\frac{t}{n}{F}_1{F}_2}{1-\frac{t}{n}{F}_1}---\left(1\right)$

其中，f_v为镜片的近轴后顶焦距，取未紧贴像方的球面的曲率半径为R₁，紧贴像方的球面的曲率半径为R₂，镜片中心厚度为t，镜片材质折射率为n，则两球面的折光率可分别为F₁＝(n-1)/R₁与F₂＝(1-n)/R₂。

镜片折光率的单位通常用D(屈光度)表示，平常所说镜片度数就是F_v之值乘以100即1D＝100度。从公式(1)来看，当镜片材质一定时，镜片的折光率就由R₁、R₂及t值来决定。

球面发散镜片进行设计时，如果将t固定，则随着镜片折光率的增大，R₁和R₂的差值就越大，此不仅使球面发散镜片的边缘明显增厚，而且如果镜片直径固定，就会使得整个镜片厚度加大。

球面会聚镜片进行设计时，由于球面会聚镜片中心厚度t取决于R₁、R₂值，因此，也可通过调节R₁和R₂值来调节镜片的折光率。由公式(1)可知，球面会聚镜片随着镜片折光率的增大，R₁和R₂的差值也就越大，则镜片的中心厚度t就越大，使得整个镜片的体积较大。

因此，采用球面设计方法设计出来的球面发散或会聚镜片，如果用于相机镜头，则会增大相机镜头的体积；如果该球面发散或会聚镜片为近视眼镜片或远视眼镜片，则既影响美观，又造成戴镜者的不适。

此外，镜片进行设计时，一般除考虑镜片制造与加工的容易性与镜片薄型化外，还必须考虑到镜片的成像质量。

像差是影响镜片成像质量的主要因素之一，一般影响镜片成像质量的像差包括斜射像散、视场弯曲及畸变等三种像差。其中，斜射像散是由于自轴外物点的细小光源发出的光束在子午场和弧矢场的聚焦点不同，而使得成像时存在像散以致于像不清晰。视场弯曲是指垂直于光轴的平面物体在成像时，像的中心与像的边缘在像面位置不一致而令像面视场成曲面，又可称平均折光率误差，通常称为折光率误差。畸变是由于在近光轴区域和远光轴区域因放大率不同，而使成像发生桶形畸变或枕形畸变，此种像差使得成像发生几何改变但不影响成像的清晰度。

如设子午场中成像面的折光率为F′_T(D)，弧矢场中成像面的折光率为T′_S(D)，理想成像的像高为MQ′，真实成像的像高为MQ″，则：

斜射像散＝F′_T-F′_S

由公式(1)可知，镜片采用球面设计时，只能通过调节两个球面的曲率半径来消除斜射像散、折光率误差及畸变这三种像差。但实际上，如果仅仅通过两个球面的曲率半径来消除像差，则会发生消除某一个像差，就会增大其它另两个像差的现象。

因此，镜片采用球面设计，无法使镜片既薄又能同时有效消除斜射像散、折光率误差及畸变三种像差。

为解决这一问题，目前较多的镜片均采用非球面设计，其中非球面镜片是指其中至少一个折射表面是非球面。

镜片采用非球面设计，能有效消除斜射像散、折光率误差及畸变三种像差。如公开于1999年3月31日的第CN1212766号中国专利申请公开说明书中，揭示一种非球面镜片的设计，其通过引入高次项来改变镜片各点处的曲率，进而减小各点处的厚度差，然该技术中引入的高次项既包括奇次项，也包括偶次项，会导致镜片折射表面不对称，容易形成较大的上述三种像差，所以难以设计和加工出符合要求的镜片。

公开于2003年4月23日的第CN1412604号中国专利申请的公开说明书中，揭示另一种非球面镜片的设计，其中，该镜片至少一个折射表面为非球面，该非球面计算公式(2)采用如下形式：

$z\left(r\right)=\frac{{\mathrm{cr}}^2}{1+\sqrt{1-c^2{r}^2}}+a_1{r}^4+a_2{r}^6+a_3{r}^8+a_4{r}^{10}+a_5{r}^{12}---\left(2\right)$

式中z(r)表示镜面的深度，c表示非球面顶点的曲率，r表示镜片表面某点离光轴的垂直距离，a₁、a₂、a₃、a₄、a₅表示非球面高次项系数。

在该镜片非球面设计公式中，虽然引入偶次项来设计非球面镜片使得折射表面对称。但是，该设计中二次曲线常数值为1，表明该非球面镜片的厚度不能有效减薄，r有12次幂，则设计出的非球面镜片较难同时有效消除斜射像散、折光率误差及畸变三种像差。

【发明内容】

有鉴于此，有必要提供一种非球面镜片的设计方法，使该非球面镜片能有效消除像差。

一种非球面镜片的设计方法，其主要步骤包括：

设定该非球面镜片的折光率、折射率与直径；

采用球面设计，设计该非球面镜片的两个曲率半径，使其达到上述设定的折光率，并利用该两个曲率半径使0.5视场、0.7视场及1.0视场的畸变为最小值；

采用镜片非球面设计公式设计该非球面镜片的第一非球面和第二非球面，该镜片非球面设计公式为：

$Z\left(r\right)=\frac{C_v{r}^2}{1+\sqrt{1-{\mathrm{PC}}_v^2{r}^2}}+{\mathrm{Br}}^4+{\mathrm{Cr}}^6+{\mathrm{Dr}}^8+{\mathrm{Er}}^{10}$

式中，Z(r)表示镜面深度，C_v表示非球面顶点的曲率，r表示镜面上任一点至光轴的垂直高度，P表示二次曲线常数值，B、C、D、E表示非球面的

采用阻尼最小二乘法对第一非球面和第二非球面进行优化设计；

其中，优化设计时，使该非球面镜片在至少五个视场消除像差，并得出上述第一非球面和第二非球面的非球面系数P、B、C、D、E。

与现有技术相比，所述非球面镜片的设计方法，同时设计两个非球面及采用至少五个视场进行优化设计。较之采用少于五个视场进行优化设计的非球面镜片的设计方法，可进一步消除在某些视场存在的像差极大值，使本发明的非球面镜片的设计方法所设计的非球面镜片，在0视场至1.0视场整个视场范围内的斜射像散、折光率误差及畸变均较小，其中1.0视场是指像方折射光束通过像方焦点时与镜片光轴的夹角为30度位置。

【附图说明】

图1为本发明非球面镜片一较佳设计方法的设计流程图。

图2为本发明非球面镜片的设计方法所设计出的非球面发散镜片结构示意图。

图3A为本发明非球面镜片的设计方法所设计出的非球面发散镜片在五个视场优化设计的斜射像散与折光率误差曲线图。

图3B为本发明非球面镜片的设计方法所设计出的非球面发散镜片在五个视场优化设计的畸变曲线图。

图4为本发明非球面镜片的设计方法所设计出的非球面会聚镜片结构示意图。

图5A为本发明非球面镜片的设计方法所设计出的非球面会聚镜片在七个视场优化设计的斜射像散与折光率误差曲线图。

图5B为本发明非球面镜片的设计方法所设计出的非球面会聚镜片在七个视场优化设计的畸变曲线图。

【具体实施方式】

如图1所示，为本发明非球面镜片一较佳设计方法的设计流程图，其主要步骤包括：

第一步，设定所要设计的非球面镜片的折光率、折射率和直径。

第二步，采用球面设计，设计出该非球面镜片的两个曲率半径，使其达到上述设定的折光率，并利用该两个曲率半径使其在0.5、0.7及1.0视场的畸变为最小值。

第三步，采用一个镜片非球面设计公式定义该非球面镜片的第一非球面和第二非球面。

该镜片非球面设计公式(3)为：

$Z\left(r\right)=\frac{C_v{r}^2}{1+\sqrt{1-{\mathrm{PC}}_v^2{r}^2}}+{\mathrm{Br}}^4+{\mathrm{Cr}}^6+{\mathrm{Dr}}^8+{\mathrm{Er}}^{10}---\left(3\right)$

其中，式中Z(r)表示镜面深度，C_v表示非球面顶点的曲率，r表示镜面上任一点至光轴的垂直高度，P表示二次曲线常数值，B、C、D、E表示非球面的高次项系数。

第四步，采用阻尼最小二乘法进行优化设计，使该非球面镜片在多个视场内消除斜射像散、折光率误差及畸变。

非球面镜片在消除像差的优化设计中，一般是在某些特定视场角消除像差，其中视场角是指像方折射光束通过像方焦点时与镜片光轴的夹角。故，本流程中进行非球面镜片设计时，开始采用在五个视场消除斜射像散、折光率误差及畸变。

该非球面镜片的设计方法的优化设计可采用阻尼最小二乘法，其绩效函数(4)可以定义为：

$\mathrm{\φ}=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{\left[w_i(e_i-t_i)\right]}^2---\left(4\right)$

其中，式中w_i为权因子，其值取为w_i＞0，权因子取值是根据所在项对应像差的重要性来决定，如果对所在项所要消除的像差要求很严格，则那一项权因子值可取得较大；m为优化的项数，其值为大于等于1的整数；e_i为所考虑的校正项即某个像差，所考虑e_i的项数即为数值m；t_i为某个像差的目标值，目标值t_i的取值依e_i情况而定。

在五个视场内消除斜射像散、折光率误差及畸变三种像差，即在该五个视场内，使该三种像差在绩效函数(4)中的目标值t_i为零。

第五步，由阻尼最小二乘法之解计算该非球面镜片的第一非球面和第二非球面的非球面系数P、B、C、D、E。

当该斜射像散、折光率误差及畸变三种像差在绩效函数(4)中的目标值t_i为零时，由阻尼最小二乘法之解求出该非球面镜片的第一非球面和第二非球面的非球面系数，得出该非球面镜片的设计结果。

第六步，判断该非球面镜片在0视场至1.0视场的整个视场范围内的斜射像散、折光率误差及畸变是否均能满足要求。

可以通过作出斜射像散、折光率误差及畸变在0视场至1.0视场的曲线图进行判断，判断这些曲线图的相关斜射像散、折光率误差及畸变在0视场至1.0视场的整个视场范围内，像差极大值是否满足要求。

第七步，由判断结果确定是否还需增加视场进行优化设计，如果该三种像差在某个视场内不能满足要求，可以逐个优化设计所不能满足要求的视场，即消除存在像差极大值超过要求的某个视场的斜射像散、折光率误差及畸变，直到达到要求为止。

上述非球面镜片的设计方法，在至少五个视场内消除斜射像散、折光率误差和畸变，这样就使得采用该非球面镜片的设计方法所设计的非球面镜片，在0视场至1.0视场的整个视场范围内的斜射像散、折光率误差和畸变这三种像差均较小。故该非球面镜片的设计方法能设计出光学性能较好的非球面镜片。

如图2所示，为上述非球面镜片的设计方法所设计出的非球面发散镜片的结构示意图，该非球面发散镜片包括第一非球面1和第二非球面2，第一非球面1的曲率半径为R₁，第二非球面2的曲率半径为R₂，镜片中心厚度为t₁，镜片直径为DA₁。

该非球面发散镜片的设计方法，可采用镜片非球面设计公式(3)进行设计，其中，设第一非球面1的非球面系数为P₁、B₁、C₁、D₁、E₁，第二非球面2的非球面系数P₂、B₂、C₂、D₂、E₂，其中P₁、P₂分别为第一非球面1和第二非球面2的二次曲线常数值，B₁、C₁、D₁、E₁和B₂、C₂、D₂、E₂分别为第一非球面1和第二非球面2的高次项系数。

该非球面发散镜片的设计采用阻尼最小二乘法进行优化设计，则阻尼最小二乘法的绩效函数如公式(4)所示。该非球面发散镜片的设计采用至少五个视场消除像差，即，使绩效函数(4)的目标值t_i在至少五个视场内为零。

在绩效函数(4)中，该非球面发散镜片的设计，把像差校正到目标值的过程表示为设有10个可变的设计参数，即10个设计变量绩效函数。以x₁、x₂、x₃、......x₉、x₁₀表示第一非球面1的非球面系数P₁、B₁、C₁、D₁、E₁与第二非球面2的非球面系数P₂、B₂、C₂、D₂、E₂。

由绩效函数(4)知，优化项数有m个，该非球面发散镜片的设计方法，可采用其中的m/3项来消除斜射像散，其项次是依据视场大小

……1.0视场而定，再采用m/3项来消除折光率误差和m/3项来消除畸变。则可定义一个误差函数(5)为：

f_i＝W_i(e_i-t_i)＝f_i(x₁，x₂，x₃…x_n)，i＝1，2，……，m(5)

为计算第一非球面1的非球面系数P₁、B₁、C₁、D₁、E₁与第二非球面2的非球面系数P₂、B₂、C₂、D₂、E₂的值。设优化前的变量以x₁₀、x₂₀、x₃₀、......、x_n0表示，n＝10；像差用f₁₀、f₂₀、f₃₀、......、f_m0表示，优化后的变量以x₁、x₂、x₃、......x₉、x_n表示，n＝10；像差用f₁、f₂、f₃、......f_m-1、f_m表示。

由于阻尼最小二乘法之解(6)为：

X＝(A^TA+pI)^-1A^Tf₀(6)

式中的符号可用矩阵定义：

$x_0=\left(\begin{array}{c}{x}_{10}\\ x_{20}\\ x_{30}\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ x_{n0}\end{array}\right),$ $x=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ x_n\end{array}\right),$ $f_0=\left(\begin{array}{c}{f}_{10}\\ f_{20}\\ f_{30}\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ f_{m0}\end{array}\right),$ $f=\left(\begin{array}{c}{f}_1\\ f_2\\ f_3\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ f_m\end{array}\right),$ $X=x-x_0=\left(\begin{array}{c}{x}_1-x_{10}\\ x_2-x_{20}\\ x_3-x_{30}\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ .\\ x_n-x_{n0}\end{array}\right)$

A为一个m×n的矩阵，其中的 $A_{\mathrm{ij}}=\frac{{\∂f}_i}{{\∂x}_j},$ i＝1，2，....，m，j＝1，2，....，n，n＝10。其中A^T为A的转置矩阵，p为阻尼因子，I为单位矩阵，(A^TA+pI)^-1表示对(A^TA+pI)求反矩阵，通过以上矩阵的运算，可得X的运算值，通过x＝x₀+X，可确定x的值，进而可得出校正后的P₁、B₁、C₁、D₁、E₁、P₂、B₂、C₂、D₂、E₂的值。

设上述非球面镜片的设计方法所设计的非球面发散镜片，采用在0.3视场、0.5视场、0.7视场、0.85视场及1.0视场五个视场进行优化设计，其中该非球面发散镜片的材质为一种塑料，折射率为1.586，该非球面发散镜片的设计参数如表1所示。

表1

在绩效函数(4)中，采用权因子w₁＝w₂＝......＝w₁₄＝w₁₅＝1，目标值t₁＝t₂＝......＝t₁₄＝t₁₅＝0，通过计算，可得出如图3A为该非球面镜片的设计方法所设计出的非球面发散镜片在五个视场优化设计的斜射像散与折光率误差曲线图，图3B为该非球面镜片的设计方法所设计出的非球面发散镜片在五个视场优化设计的畸变曲线图。

其中，图3A中，横坐标轴表示折光率的大小，纵坐标轴表示视场角的大小；图3B中，横坐标轴表示畸变的大小，纵坐标轴表示视场角的大小。图3A中F′_T为子午场中成像面的折光率，F′_S为弧矢场中成像面的折光率，FPS＝F_v为镜片折光率，图3B中的曲线为畸变在各个视场中的大小，则：

斜射像散＝F′_T-F′_S；

由图3A和图3B，可看出该非球面镜片的设计方法所设计出的非球面发散镜片，在0视场至1.0视场的整个视场范围内，斜射像散小于0.044D，折光率误差小于0.041D，畸变小于0.067％，这三种像差值都校正的很小，故已较好的有效消除斜射像散、折光率误差和畸变三种像差。

如图4所示，为该非球面镜片的设计方法所设计出的非球面会聚镜片的结构示意图，该非球面会聚镜片包括第一非球面3和第二非球面4，第一非球面3的曲率半径为R₃，第二非球面4的曲率半径为R₄，镜片中心厚度为t₂，镜片直径为DA₂。

该非球面会聚镜片的设计方法基本上与上述非球面发散镜片的设计方法相同，其不同之处在于该非球面会聚镜片的设计方法中，是采用在至少7个是视场内消除斜射像散、折光率误差与畸变。

设该非球面镜片的设计方法所设计的非球面会聚镜片，采用在0.3视场、0.5视场、0.7视场、0.85视场、0.9视场、0.95视场及1.0视场七个视场进行优化设计，其中该非球面会聚镜片的材质为一种塑料，折射率为1.586，该非球面会聚镜片的设计参数如表2所示。

表2

在绩效函数(4)中，选w₁＝2、w₂＝4、w₃＝5、w₄＝8、w₅＝9、w₆＝9、w₇＝10为斜射像散权因子，选w₈＝1、w₉＝2、w₁₀＝3、w₁₁＝10、w₁₂＝12、w₁₃＝12、w₁₄＝14为折光率误差权因子，选w₁₅＝0.2、w₁₆＝0.5、w₁₇＝0.5、w₁₈＝0.8、w₁₉＝1、w₂₀＝1、w₂₁＝1.8为畸变权因子，目标值t₁＝t₂＝......＝t₂₀＝t₂₁＝0，通过计算，可得出如图5A为该非球面镜片的设计方法所设计出的非球面会聚镜片在七个视场优化设计的斜射像散与折光率误差曲线图，图5B为该非球面镜片的设计方法所设计出的非球面会聚镜片在七个视场优化设计的畸变曲线图。

其中，图5A中，横坐标轴表示折光率的大小，纵坐标轴表示视场角的大小；图5B中，横坐标轴表示畸变的大小，纵坐标轴表示视场角的大小。图5A中F′_T为子午场中成像面的折光率，F′_S为弧矢场中成像面的折光率，FPS＝F_v为镜片的折光率，图5B中的曲线为畸变在各个视场中的大小，则：

斜射像散＝F′_T-F′_S；

由图5A和图5B，可看出该非球面镜片的设计方法所设计出的非球面会聚镜片，在0视场至1.0视场的整个视场范围内，斜射像散小于0.0377D，折光率误差小于0.0815D，畸变小于1.1493％，这三种像差值都校正的很小，故已较好的同时有效消除斜射像散、折光率误差与畸变。

综上所述，该非球面镜片的设计方法，可实现有效消除像差之目的。然，以上所述仅为该较佳实施方式，举凡熟悉本案技术之人士，在援依本案创作精神所作的等效修饰或变化，皆应包含于以下的申请专利范围内。

Claims (9)

1. 一种非球面镜片的设计方法，该非球面镜片的设计方法主要步骤包括：设定该非球面镜片的折光率、折射率与直径；

采用球面设计，设计该非球面镜片的两个曲率半径，使其达到上述设定的折光率，并利用该两个曲率半径使0.5视场、0.7视场及1.0视场的畸变为最小值；

采用镜片非球面设计公式设计该非球面镜片的第一非球面和第二非球面，该镜片非球面设计公式为：

$Z\left(r\right)=\frac{C_v{r}^2}{1+\sqrt{1-{\mathrm{PC}}_v^2{r}^2}}+{\mathrm{Br}}^4+{\mathrm{Cr}}^6+{\mathrm{Dr}}^8+{\mathrm{Er}}^{10}$

式中，Z(r)表示镜面深度，C_v表示非球面顶点的曲率，r表示镜面上任一点至光轴的垂直高度，P表示二次曲线常数值，B、C、D、E表示非球面的高次项系数；

采用阻尼最小二乘法对第一非球面和第二非球面进行优化设计；

其特征在于：进行优化设计时，使该非球面镜片在至少五个视场消除像差，并得出上述第一非球面和第二非球面的非球面系数P、B、C、D、E。

2. 如权利要求1所述的非球面镜片的设计方法，其特征在于：该非球面镜片为非球面会聚镜片，则优化设计是在至少七个视场消除像差。

3. 如权利要求1或2所述的非球面镜片的设计方法，其特征在于：该优化设计采用阻尼最小二乘法的绩效函数为：

$\mathrm{\φ}=\underset{i=1}{\overset{m}{\mathrm{\Σ}}}{\left[w_i(e_i-t_i)\right]}^2$

其中，式中w_i为权因子，m为优化的项数，e_i为所考虑的校正项即某个像差，t_i为某个像差的目标值。

4. 如权利要求3所述的非球面镜片的设计方法，其特征在于：该优化的项数m中，m/3项用于消除斜射像散，m/3项用于消除折光率误差，m/3项用于消除畸变。

5. 如权利要求1或2所述的非球面镜片的设计方法，其特征在于：该优化设计在0视场至1.0视场范围内消除像差，其中1.0视场是指视场角为30度之位置。

6. 如权利要求1所述的非球面镜片的设计方法，其特征在于：该五个视场是0.3视场、0.5视场、0.7视场、0.85视场及1.0视场。

7. 如权利要求6所述的非球面镜片的设计方法，其特征在于：该非球面镜片为非球面发散镜片，当设定该非球面发散镜片的折光率为-14.00D，折射率为1.586，镜片直径为30mm，中心厚度为1mm，第一非球面的曲率半径为36.07206cm，第二非球面的曲率半径为19.26785cm，且在该0.3视场、0.5视场、0.7视场、0.85视场及1.0视场这五个视场消除斜射像散、折光率误差和畸变时，该非球面发散镜片的第一非球面和第二非球面的非球面系数如下表：

8. 如权利要求2所述的非球面镜片的设计方法，其特征在于：该七个视场是0.3视场、0.5视场、0.7视场、0.85视场、0.9视场、0.95视场及1.0视场。

9. 如权利要求8所述的非球面镜片的设计方法，其特征在于：当设定该非球面会聚镜片的折光率为14.00D，折射率为1.586，镜片直径为32mm，中心厚度为9.2mm，第一非球面的曲率半径为26.27803cm，第二非球面的曲率半径为50.45961cm，且在该0.3视场、0.5视场、0.7视场、0.85视场、0.9视场、0.95视场及1.0视场七个视场消除斜射像散、折光率误差和畸变时，该非球面会聚镜片的第一非球面和第二非球面的非球面系数如下表：

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