Infinitas

Infinitas (-atis, f.), ${\displaystyle \infty }$ notata, est notio quasi numerica quae adhibetur ad multas sententias mathematicas, philosophicas, et theologicas explicandas, quibus omnibus absentia finium aut termini modis variis intellegitur.

Nonnumquam homines, in locutione vulgari, loquuntur de infinitate in rebus finitis sed diu perennibus; ita hora, si quid invitus facere cogaris, videatur infinita. In aliis talibus casibus, saepe infinitas significat "rem maiorem quam maximam quam excogitari possit". Saepe etiam, homines loquuntur de plure quam infinitas, vel infinitate + 1, quae immo quippe ambae sunt nugae.^[1]

In mathematica, infinitas usurpatur quasi numero reali. In quibusdam autem scholis rationis, infinitas e contrario non putatur esse numerus, sed conceptio theoretica.

In philosophia, tempus spatiumque ratione infinitatis explicentur, ut descripsit antinomia prima Immanuelis Kantii. Infinitum tempus appellatur Aeternitas. In philosophia Graeca, gratia exempli in eo quod Anaximander τὸ Ἄπειρον appellavit, infinitas est origo et fons omnium. In rebus theologicis, infinitas fit Deus. In theologia Iudaeo-Christiana, sicut in operibus Ioannes Duns Scoti, notio deitatis est infinitus non quantitate, at potestate.

Ut legas de spatio infinito, vide Universum.

Origines signi ${\displaystyle \infty }$ non clare cognoscuntur. Figura ipsa appellatur lemniscus, et in animo concipi potest modum quo iter trans curvum simplicem a lemnisco factum numquam finiret.

Aequatio Cartesiana quae lemniscum reddit est:

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=2a^{2}(x^{2}-y^{2})\,}$

Vulgo fama est ${\displaystyle \infty }$ signum derivatum esse a Moebii taenia. Item, in animo potest iter concipi aeternum trans faciem sine finibus. Haec autem explicatio haud sufficit, quoniam ${\displaystyle \infty }$ scribebatur ad infinitatem significandam fere ducentos annos prius quam Augustus Ferdinandus Moebius et Iohannes Benedictus Listing invenerint Moebii taeniam anno 1858.

Iohannes Wallis saepissime fertur instituisse ${\displaystyle \infty }$ ad infinitatem scribendam anno 1655, in suo libro De sectionibus conicis.^[2] Coniectatur hoc signum a numero Romano pro 1000 derivatum esse, ipsum a numero Etrusco pro 1000, quod est specie CIƆ, et interdum significabat Romanis modo "plurima". Propositum etiam derivatum esse a littera Graeca ω (omega), littera ultima abecedarii Graeci.^[3]

Etiam symbolum inventum est in arte vulgari, et in symbolis religiosis antiquis. Gratia exempli, οὐροβóρος saepe est pictus in forma lemnisci.

In Unicodice, ${\displaystyle \infty }$ designatur a ∞ , codice (U+221E) (∞).

Per saecula, homines in noctis caelum intuebantur, universi fines coniectantes. Etiam enumerabant de finibus numerorum mirantes. Natura ergo infinitatem vel eius rationem petebant. Textus antiquissimi nobis noti sunt de philosophis Indicis.

Inter primas sententias infinitatis notas reperitur in libro Indico Yajurveda^[4] ("scientia precum orationis solutae") c. 1200–900 ante aer. vulg.) qui continet hanc sententiam: "si ex infinitate removeas, vel infinitati addas, infinitas etiam remanet." Verbis exactis Sanscriticis:

Pūrṇam adaḥ pūrṇam idam pūrṇāt pūrṇam udacyate pūrṇasya pūrṇam ādāya pūrṇam evāvasiṣyate

Quae est Latine conversa: Plenum illud, plenum hoc ; ex pleno plenum tollitur. Cum pleni plenum aufertur plenum quidem manebit.[5]

– Philosophi Hindici, Yajurveda

― convertit CriticusFortuitus

Genni,^[6] in opere mathematico Surya Prajnapti (c. 400 ante aer. vulg.) omnibus numeris tres categorias attribuerunt. Quisque categoria ultra divisa est in tribus ordinibus:

• Enumerabiles : minores, medii, maiores.
• Innumerabiles : fere innumerabiles, vere innumerabiles, infinite innumerabiles.
• Infiniti : fere infiniti, vere infiniti, infinite infiniti.

Genni primi fuerunt qui dixerunt omnes infinitates non esse aequas. Infinitates dissimiles agnoverant quattuor, quae sunt: recta infinitas in una dimensione, quadrata infinitas in duabus dimensionibus, cubica infinitas in tribus dimensionibus, et infinita infinitas in dimensionibus infinitis.

Secundum Singh (1987), Joseph (2000), et Agrawal (2000), maximus numerus enumerablis N hominum Ianorum est hodierna aleph-null ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (numeri cardinalis notio copiae iinfinitae integrorum 1, 2, . . . .), minimi transfiniti numeri cardinalis.

In Europa, primi Graeci de infinitate finxerunt.

Pyhtagoras docebat unitatem esse numerum maximae gravitatis; fontem omnium numerorum, ut facile numeremus ad infinitatem, modo unum addentes ad numerum priorem.^[7]

Parmenides docebat praecepta Pythagoreis similia: dixit unum esse omnia, quod unus in partibus infinitis dividi posset.

Zeno Eleaticus diversa paradoxa proposuit ut theorias Parmenidis illustraret (circiter 460 ante aer. vulg.). In uno ex his, quod est servatum et explicatum in Aristotelis Physicis, Achilles cursu Testudinem persequitur, at numquam potest praeterire, quod Achille ad locum Testudinis assecuto, iam Testudo ultra moverit. Ita hoc modo continuant ad infinitum:

"...ἔστιν δὲ καὶ οὗτος ὁ αὐτὸς λόγος τῷ διχοτομεῖν, διαφέρει δ’ ἐν τῷ διαιρεῖν μὴ δίχα τὸ προσλαμβανόμενον μέγεθος. τὸ μὲν οὖν μὴ καταλαμβάνεσθαι τὸ βραδύτερον συμβέβηκεν ἐκ τοῦ λόγου, γίγνεται δὲ παρὰ ταὐτὸ τῇ διχοτομίᾳ..."^[8]

Quae est Latine conversa:

...est autem et huius rationis eadem vis quae in partes aequales sectionis; sed hoc differt, quod magnitudinem quae accipitur non in dimidia dividit...^[9]

– Zeno, in Aristotelis Physicis

― convertit Argyropolus

In Europa et scholis rationis Europaeis hodiernis, theoria solita ab Aristotele data est (circa 350 ante aer. vulg.):

"... ἐπὶ δὲ τὸ πλεῖον ἀεὶ ἔστι νοῆσαι· ἄπειροι γὰρ αἱ διχοτομίαι τοῦ μεγέθους. ὥστε δυνάμει μὲν ἔστιν, ἐνεργείᾳ δ’ οὔ· ἀλλ’ ἀεὶ ὑπερβάλλει τὸ λαμβανόμενον παντὸς ὡρισμένου πλήθους."^[11]

Quae est Latine conversa:

"... versus plus autem fit ut semper intelligatur. divisiones enim magnitudinis duas in partes aequales sunt infinitae. quare potentia quidem est, actu non est : sed semper id quod accipitur, multitudinem omnem exsuperat definitam."^[9]

– Aristoteles, Physica

― convertit Argyropylus etiam

Hoc discrimen inter "infinitum potentia" et "infinitum actu" diu magni momenti erat inter philosophos Europaeos. Attamen duae sententiae in loco citato complicantur, quarum altera est numerari semper posse praeter quemlibet numerum, etiamsi tot tantaeve res non existent. Altera est posse quantificare super series infinitas absque impeditione. Exempli gratia, ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {Z} (\exists m\in \mathbb {Z} [m>n\wedge P(m)])}$, id est: "dato integro ullo n, est integer m > n ut P(m)".

Archimedes usurpavit infinitatem in eodem modo calculi integralis. Clarissimum exemplum fuit inventio valoris π. Circa 250 ante aer. vulg., et in maxime parte ad sapientiam Eudoxi Cnidii, Archimedes propulsit progressum ad infinitatem intelligendam, rationem limitum investigans. Circumscripsit circum circulum polygonum, cuius latera omnia circuli circumitum tectigit, et scripsit intra circulum polygonum, cuius anguli omnes tectigerunt. Si latera polygonorum augescunt, differentia inter suas areas areae circuli appropinquat. Ubi Archimedes inscribit et circumscribit polygona 96 laterum, approximavit valorem π est inter 3 + 1/7 (~3.1429) et 3 + 10/71 (~3.1408). Ut late noscetur, π est numerus irrationalis, cuius inventio valde Pythagoreanos vexavit. Archimedes scripsit π numeros praeter punctum decimalem infinitos continere, et suam approximationem numquam eius valorem totum advenituram esse. At etiam sciit suam approximationem valori toto approprinquaturam esse, dum latera polygonorum ad infinitatem augescunt. Hoc modo viam struxit ad caclculum cum limitibus.

In alio opere, Archimedes temptavit numerum harenularum quae Universum impleat calculare, rationem quae dicit multitudines maximas infinitam esse dimittens.

"Οἴονταί τινες, βασιλεῦ Γέλων, τοῦ ψάμμου τὸν ἀριθμὸν ἄπειρον εἶμεν τῷ πλήθει· λέγω δὲ οὐ μόνον τοῦ περὶ Συρακούσας τε καὶ τὰν ἄλλαν Σικελίαν ὑπάρχοντος, ἀλλὰ καὶ τοῦ κατὰ πᾶσαν χώραν τάν τε οἰκημέναν καὶ τὰν ἀοίκητον."^[12]

Quae est Latine conversa:

"Sunt, qui existement, rex Gelon, numerum arenae infinitum esse magnitudine^[13]; dico autem, non solum eius, quae circa Syracusas et reliquam Siciliam est, sed etiam quae in qualibet regione siue culta siue inculta."^[14]

Commentatio interpretis:

Probatio eius systema numerandi adhibebat in μυριάδος (ex μύριος, "infinitus") fundatum. Haud numerum rectum Archimedes invenit, at eius defensio finitatis utilis fuit in conceptiones aliorum de infinitate mutando.^[15]

– Archimedes, Arenarius

― convertit Iohannes Ludovicus Heiberg

Parmenidis Aristotelisque sententias simplicius scripserunt auctores mediaevales, sicut Guillelmus de Ockham (1327):

"Sed omne continuum est actualiter existens. Igitur quaelibet pars sua est vere existens in rerum natura. Sed partes continui sunt infinitae quia non tot quin plures, igitur partes infinitae sunt actualiter existentes."^[16]

– Guillelmus de Ockham, Opera Philosophica et Theologica

Ergo, infinitus non potest esse ullus numerus, quod cuilibet numero semper erit numerus maior magnitudine, "quia non tot quin plures."

Galilaeus primus notavit biiectionem serierum infinitorum, cum ullis suorum subserierum. Exempli gratia, series numerorum quadratum {1, 4, 9, 16 . . .} coordinetur cum radicibus suis, nempe numeris naturalibus {1, 2, 3, 4 . . .} in hoc modo (1638:

1, 2, 3, 4, . . .

↓  ↓  ↓  ↓

1, 4, 9, 16, . . .

Videbatur ab hac dialectica ut series natura minor (ita, quod modo continet aliquot non omnes numeros seriei) quam serie cuius est pars sit, aliquo modo, eadem magnitudine. Hanc dixit Galilaeus esse "ex istis difficultatibus, quae suam ducunt originem ex discursu quem intellectus noster finitus circa infinita instituit".^[17] In dialogis De duabus novis scientiis, Salviati, cum Sagredo Simplicioque in elencho colloquens, dicit haec:

"Io non veggo che ad altra decisione si possa venire, che a dire, infiniti essere tutti i numeri, infiniti i quadrati, infinite le loro radici, né la moltitudine de' quadrati esser minore di quella di tutti i numeri, né questa maggior di quella, ed in ultima conclusione, gli attributi di eguale maggiore e minore non aver luogo ne gl'infiniti, ma solo nelle quantità terminate."^[18]

Quae est Latine conversa:

"Non alio modo eum decidi posse video, quam dicendo infinitos esse omnes numeros, infinita quadrata, infinitas eorum radices; quadratorum multitudinem non esse minorem multitudine omnium mimerorum, [sic] nec istam hac maiorem ; et tandem concludendo, aequalitatis, maioritatis et minoritatis attributa in Infinitis nullum habere locum, utpote quae in quantitates terminatas solummodo cadunt."^[19]

– Galilaeus, De duabus novis scientiis

Ioannes Lockius, sicut philosophi empiristae, homines credidit non posse infinitatem intellegere. Asseruit nostros sensus nobis indicare omnia de mundo quae possimus intellegere, quoniam omnes sensus, et omnia quae possunt sentire sint natura finiti, ergo quippe necessitate nostrae cogitationes esse finitas. Nostra ratio de infinitate esse "negativa" vel "privitiva" (circa 1680):

Quascumque in animis ideas habemus positivas spatii, durationis, vel numeri, qualitercunque magnae sint e nihilominus sunt finitae ; quando verò supponimus residuum inexhaustum, à quo terminos omnes removermus, et in quo menti indulgemus infinitam cogitationis progressionem, ita ut nunquam consummetur idea ibi nostram infinitatis ideam habemus; quae etiamsi quodammodo clara esse videatur cùm in eâ nihil consideremus praeter finis negationem; attamen cùm in animis nostris spatii, aut durationis infinitae ideam effingere velimus, idea ista valde obscura est, et confusa, quoniam è duabus partibus conflatur, quae valdè inter se diversae sunt, si non planè contradictoriae. Formet quippe in animo sibi quivis spatii cujusvis aut numeri ideam utcunque magnam, manifestum est mentis cogitationem in istà ideâ terminari, quod infinitatis idea repugnat ; ea etenim in imaginariâ progressione infinitâ consistit.^[20]

– Ioannes Lockius

"Duae res tantum sunt infinitae: universum, et stultitia hominum. De priore autem haud sum certus."--Albertus Einstein

Gulielmus Blake autem credidit nostram inopiam perceptionis esse impeditionem primam in infinitatem intelligendam. Dixit (1793):

"If the doors of perception were cleansed, every thing would appear to man as it is: infinite."^[21]

Quae est Latine conversa:

"Si portae perceptionis purgentur, omnia homini videantur ut sunt: infinita."^[22]

– Gulielmus Blake, The Marriage of Heaven and Hell

― convertit Ioscius

Georgius Cantor biiectionis theoriam Galilaei refellit in suo argumento diagonali (1891):

Per indicem serierum ab 0is et 1is constructorum infinitum, instruamus novam sequentiam elementorum s₀ ut eius elementum primum differat ab elemento primo primae sequentiae in indice, elementum secundum differat ab elemento secundo secundae sequentiae in indice, et cetera in hoc modo, ut n^um elementum diferat ab n^o elemento n^ae sequentiae. Ita, s_0,m erit 0 si s_m,m est 1, et s_0,m erit 1 si s_m,m est 0.

Exempli gratia:

s₁ = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...)

s₂ = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)

s₃ = (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...)

s₄ = (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, ...)

s₅ = (1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, ...)

s₆ = (0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, ...)

s₇ = (1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, ...)

...

s₀ = (1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, ...)

(Elementa s_1,1, s_2,2, s_3,3, et cetera litteris fortis scribuntur, ut ratio nominis diagonalis plane videatur.)

Deinde sequitur ut series T, ab infinitis sequentiis zerorum unorumque non poniatur in indicem s₁, s₂, s₃, ... Nisi, in illo modo instruamus sequentiam s₀ qui et sit in indice T (quia est sequentia zerorum unorumque de sequentiis in T natura est ipsa in T), et simul non est in T (quod eam instruamus ut diferat ab omnibus sequentiis in T aliis).

Ergo T non conferatur cum numeris naturalibus a biiectione. Brevius: est innumerabilis.^[23]

Natura infinitatis etiam disputatur. Aliqui putant esse partem mathematicae, alii philosophiae. Alii ultra ambas coniungunt, sicut Ludovicus Wittgenstein qui impetum saeve egit in theoriam seriei axiomaticam (1933):

:"... I can see in space the possibility of any finite experience... we recognise [the] essential infinity of space in its smallest part." "[Time] is infinite in the same sense as the three-dimensional space of sight and movement is infinite, even if in fact I can only see as far as the walls of my room."

"... what is infinite about endlessness is only the endlessness itself."^[24]

Quae sunt Latine conversa:

"Possum videre in spatio possibilitatem quamlibet experientiam finitam... essentialem infinitatem agnoscemus spatii in partibus minimis." "[Tempus] est infinitum in eodem modo quo spatium trium dimensionum est infinitum, etiamsi non possim vere spectare praeter parietes mei cubiculi."

"quae sit infinita de infinitate est modo infinitas ipsa."^[25]

– Ludovicus Wittgenstein, Philosophical Remarks

― convertit Iustinus

Infinitas est numerus maior magnitudine quam omnes numeri naturales vel numeri reales. Est tam magna, ut homines vix possint magnitudinem intellegere. Attamen, sicut cum ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$, quae quoque vix intellegitur, infinitas perfacile tractatur in functionibus mathematicis.

Infinitas non est numerus purum at tamen consideretur pars esse lineae numerorum realium, in qua arithmetica opera possunt ad infinitatem pertinientes perfaci. Subter sunt multae operationes arithmeticae cum Infinitate et aliis numeris.

${\displaystyle -\infty }$ . . . . . . ${\displaystyle +\infty }$

1. ${\displaystyle \infty +\infty =\infty \,}$, et ${\displaystyle -\infty +(-\infty )=-\infty \,}$

2. ${\displaystyle \infty \cdot \infty =x\,}$, et ${\displaystyle -\infty \cdot (-\infty )=x\,}$, et ${\displaystyle \infty \cdot (-\infty )=-x\,}$

1. ${\displaystyle -\infty <x<\infty \,}$

2. ${\displaystyle x+\infty =\infty \,}$, et ${\displaystyle x+(-\infty )=-\infty \,}$

3. ${\displaystyle x-\infty =-\infty \,}$, et ${\displaystyle x-(-\infty )=\infty \,}$

4. ${\displaystyle {x \over \infty }=0\,}$, et ${\displaystyle {x \over -\infty }=0\,}$

5. Si ${\displaystyle x>0\,}$ deinde

${\displaystyle x\cdot \infty =\infty }$

${\displaystyle x\cdot (-\infty )=-\infty \,}$

6. Quod si ${\displaystyle x<0\,}$ deinde

${\displaystyle x\cdot \infty =-\infty }$

${\displaystyle x\cdot (-\infty )=\infty \,}$

1. ${\displaystyle 0\cdot \infty \,}$, et ${\displaystyle 0\cdot (-\infty )\,}$

2. ${\displaystyle \infty +(-\infty )\,}$, et ${\displaystyle \infty -\infty \,}$

3. ${\displaystyle {\pm \infty \over \pm \infty }\,}$

4. ${\displaystyle {(\pm \infty )}^{0}\,}$

5. ${\displaystyle 1^{\pm \infty }\,}$

6. ${\displaystyle \infty +\infty =\infty \cdot \infty =(-\infty )\cdot (-\infty )=\infty }$

7. ${\displaystyle (-\infty )+(-\infty )=\infty \cdot (-\infty )=(-\infty )\cdot \infty =-\infty }$

Nota bene ${\displaystyle [{x \over \infty }=0]\not \equiv [0\cdot \infty =x]}$. Hoc est quia zero multiplicatur infinitate non definitur.

Nota etiam ${\displaystyle \left[{x \over \infty }=0\right]}$ non aequare ${\displaystyle \left[0\cdot \infty =x\right]}$. Si secunda esset vera, necesse sit vera ess pro omni x, et a transitivitate aequalium relationis, omnes numeri sint aequales. Hoc est significantia indefinitatis sententiae ${\displaystyle 0\cdot \infty }$.

Etiam per Hospitalii regulam, limes solutionum indefinitarum pro aequatione n inveniantur, si aequatio scribatur forma ${\displaystyle \infty \over \infty }$ vel ${\displaystyle 0 \over 0}$, quae saepe solutionem definitam producit.

In analysi reali, signum ${\displaystyle \infty }$, "infinitas" appellatur, denotat limitem infinitam. ${\displaystyle x\rightarrow \infty }$ significat x crescere ultra quemlibet valorem designatum, et ${\displaystyle x\rightarrow -\infty }$ significat x tandem aliquando minus fieri quam quilibet valor designatus.

Infinitas saepe adhibetur non solum ad limitem definiendam, immo etiam in analysi reali quasi numerus realis esset; si f(t) ≥ 0 deinde:

• ${\displaystyle \int _{0}^{1}\,f(t)dt\ =\infty }$ significat f(t) non definire aream finitam ab 0 ad 1.
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\,f(t)dt\ =\infty }$ significat aream sub f(t) infinitam esse.
• ${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\,f(t)dt\ =1}$ significat aream sub f(t) appropinquere 1

Partes multarum figurarum geometricarum sunt infinitae. Ex centro circuli inifiniti radii describantur. Linea in duas partes dimidiatas bipartiatur ad infinitum; semper erit etiam linea ex qua duae sectiones extraheatur.

Figura ad dextram inventa est anno 1644 ab Evangelista Torricellio, appellatur Torricellii cornu. Eius copia est finita, at area superfaciei est infinita. Torricellii verbis:

Incredibile videri potest, cum solidum hoc infinitam longitudinem habeat, nullam tamen ex illis superficiebus cylindricis quas nos consideramus, infinitam longitudinem habere; sed vnamquamq' esse terminatam; vt vnicuiq; patebit, cui vel modicè familiaris sit doctrina Conicorum.^[26]

– Evangelista Torricellius, Opera Geometrica

Est sententia sensu prisca et forma multiplex quae saepius hodie contexitur a simiis infinitis. Breviter, dicit sortes cuiusdam eventus improbabilis, temptatas per vices infinitas, tandem infinitati appropinquaturas. Elegantius, suasum est si esset infinitus simiarum numerus cum digitis forte cadentibus in superfaciem infinitarum machinarum dactylographicarum, statim corpus integrum Gulielmi Shakespeare scriptum fore.

Ut dictum est, huius sensus sententiae priscus est, et Cicero ipse dedit fontem, at re vera dubitans, Ennio loco Shakespeare:

Hic ego non mirer esse quemquam, qui sibi persuadeat corpora quaedam solida atque individua vi et gravitate ferri mundumque effici ornatissimum et pulcherrimum ex eorum corporum concursione fortuita? Hoc qui existimat fieri potuisse, non intellego, cur non idem putet, si innumerabiles unius et viginti formae litterarum vel aureae vel qualeslibet aliquo coiciantur, posse ex is in terram excussis annales Enni, ut deinceps legi possint, effici; quod nescio an ne in uno quidem versu possit tantum valere fortuna.

– Cicero, De Natura Deorum, 2.93

In The Hitchhiker's Guide to the Galaxy sunt hae definitiones infinitatis:

"Bigger than the biggest thing ever and then some, much bigger than that, in fact really amazingly immense, a totally stunning size, real 'Wow, thats big!' time. Infinity is just so big that by comparison, bigness itself looks really titchy. Gigantic multiplied by colossal multiplied by staggeringly huge is the sort of concept we are trying to get across here."^[27]

"Infinity itself looks flat and uninteresting. Looking up into the night sky is looking into infinity -- distance is incomprehensible and therefore meaningless.^[28]

Quae sunt Latine conversa:

"Ingentior ingentissima re ullius aevi, praeterque aliquid amplius, multo maior quam hac, re vera profecto immensa omnino miratu, magnitudinis omnino stupefacientis, puri 'Ecce, illudst magnum!' temporis. Infinitas est presse tam ingentissima ut magnitas ipsa in comparatione videatur minima. Pergrandis multiplicatur ab immanissima multiplicatur a titubantitim ingentissimo...tale est modus sententiae quem hic transferre conamur."

"Infinitas ipsa videtur plana et iniucunda. Intui sursum in caelum noctis est in infinitatem pervidere -- distantia non potest intellegi et ergo nullam rationem confert."

– Duglassius Adams, The Hitchhiker's Guide to the Galaxy

― convertit Ioscius

• Absolutum (philosophia)
• Aeternitas
• Apiron
• Calculus infinitesimalis
• Fragor Maximus
• Infinitas plus unus

• Numerare ad infinitatem
• Doctulum in mathematica infinitorum, a Peter Suber, de St. John's Review, XLIV, 2 (1998) 1-59.
• Infinity, Principia Cybernetica
• Caupona Infinity
• Sententiae finitatis infinitatisque in philosophia
• Fons medievalium recentumque scriptionum de Infinitate