Mediana

Estatistikan, mediana hainbat datu txikienetik handienera ordenaturik daudela, erdian dagoen datua da^[1]. Beraz, medianak alde banatara datuen % 50 uzten ditu.^[2] Probabilitate banaketa baterako ere kalkula daiteke eta orduan alde banatara eta orduan azpitik eta gainetik 0,5eko probabilitatea uzten duen balioa da.

Mediana zentro-neurri bat da, batezbesteko aritmetiko sinplea bezala esaterako, eta neurri adierazgarriagoa da muturreko datuak daudenean. Adibidez, gela bateko 10 objektuen tenperaturak jaso eta horietan labea 175 °C gradutan bada, nahiz eta beste guztiak 20 °C-25 °C artekoak izan, batez besteko tenperatura 35.5 °C-40 °C tartean izango da, baina mediana 20 °C-25 °C artekoa izango da, eta hori gelako egoera zein den deskribatzeko balio egokiagoa da. Horrelako egoeretan mediana egokiagoa izaten da balio orokor edo zentro neurri bat emateko.

Formalki, populazio baten mediana da biztanleriaren erdia, gutxienez, proposatutako mediana baino txikiagoa edo berdina den eta, gutxienez, erdia proposatutako mediana baino handiagoa edo berdina den edozein balio. Medianak baliteke bakarrak ez izatea. Multzo bakoitzak biztanleriaren erdia baino gutxiago badu, orduan, populazioren partea mediana bakarraren berdina da.

Mediana ondo definituta dago edozein datu ordenatuetarako (dimentsio bakarreko), eta edozein distantzia-metrikotik independentea da. Mediana, beraz, sailkatuta dauden baina zenbakizkoak ez diren klaseei aplika dakieke (adibidez, ikasleak A-tik F-ra sailkatzen direnean batez besteko nota bat landuz), nahiz eta emaitza klaseen arteko erdibidean egon daitekeen kasu kopuru bikoitia baldin badago.

Mediana geometrikoa, berriz, edozein dimentsiotan definitzen da. Erlazionatutako kontzeptu bat, non emaitza laginaren kide batekin bat etorri dadin behartzen den, medoidea da.

Ez dago medianarako erabateko notazio estandar bat onarturik, baina egile batzuek x aldagai baten mediana x͂ edo μ1/2 gisa adierazten dute^[3], baita, batzuetan, M ere^[4][5].. Kasu horietako edozeinetan, medianarako ikur hauen edo besteren erabilera esplizituki zehaztu behar da horiek sartzen direnean.

Mediana banaketa estatistiko bati lotutako balio tipikoak laburtzeko beste modu batzuen kasu berezia da: 2. kuartila, 5. dezila eta 50. pertzentila.

Lagin baterako, datu kuantitatiboak txikienetik handienera ordenatuta daudela, erdian kokatzen den datua da mediana. Horrela, kalkulua ezberdina da n datu kopurua zenbaki bakoitia edo zenbaki bikoitia den.

Lagin-tamaina edo datu-kopurua bakoitia bada, datuak ordenaturik daudela, mediana erdiko datuak hartzen duen balioa da. Adibidez, ordenatuta dauden 15 datu hauetarako mediana 8. posiziokoa da,^[6]

 2, 3, 4, 4, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 14, 17

${\displaystyle Me=7\,}$

Datu-kopurua bikoitia bada, datuak ordenaturik daudela, erdiko datu bi dagoenez, mediana erdiko bi datu horien batezbestekoa dela esan daiteke. Adibidez, lehengo zenbakien artean bat kentzen badugu ordenatuta dauden 14 datu hauetarako mediana 7. eta 8. posizioan dauden zenbakien batezbestekoa da:

2, 3, 4, 4, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 14, 17

${\displaystyle Me={\frac {7+8}{2}}=7,5}$

Dena dela, badira bestelako modu batzuk mediana kalkulatzeko.

Datuak tartean bildurik daudenean, mediana hurbilketaz kalkulatzen da^[7], aurretik mediana kokatzen den tartea zehaztuz. Kalkulurako erabiltzen den formula hau da:

${\displaystyle Me=L_{i}+a_{i}{\frac {{\frac {n}{2}}-N_{i-1}}{n_{i}}}}$

Adibidez, herri bateko biztanleen adinari buruzko datu hauek emanda,

Biztanleen adinak	Biztanleak	Maiztasun metatuak
0-20	9	9
20-40	18	27
40-60	26	53
60-80	7	60
80-100	4	64

Maiztasun metatuak kalkulatu ondoren, hirugarren zutabean, datu kopurua 64 dela ikusten da. Beraz, mediana 64/2=32garren datuaren balioa izango da. Maiztasun metatuen zutabeari erreparatuz, 32garren datua 40-60 tartean kokatzen da. Beraz, bertan izango da mediana:

${\displaystyle Me=40+20\times {\frac {32-27}{26}}=43.84\ urte}$

Beraz, biztanleen erdiek 43.84 urte baino gutxiago dauzkate. Ohartarazi behar da, ordea, emaitza hau hurbilketa baten ondorioa dela eta emaitza zehatza izateko hobe dela jatorrizko datu zerrenda hartzea.

Probabilitate banakuntzetan, bere azpitik %50eko probabilitatea (eta ondorioz, bere gainetik ere %50eko probabilitatea) uzten duen balioa da. Beraz, banaketa jarraia bada hau betetzen duen Me balioa da mediana:

${\displaystyle \operatorname {P} (X\leq Me)\geq {\frac {1}{2}}{\text{ eta }}\operatorname {P} (X\geq Me)\geq {\frac {1}{2}}\,\!}$

Abantaila gisa, balio osoko aldagaietan, medianaren emaitza ere zenbaki osoa da. Adibidez, familiako haur kopuruaren batezbesteko aritmetiko sinplea 2.37 haur izan daitekeen bitartean, medianak beti balio oso bat emango du (1, 2, 3), interpretazioa erraztuz horrela.

Aldi berean, muturreko datuak daudenean zentro neurri egokiagoa da batezbesteko aritmetiko sinplea baino. Adibidez, { 1, 2, 2, 2, 3, 9 } datuetarako, mediana 2 da, zentroaren balio adierazgarri bat, batezbesteko aritmetiko sinplea zentroaren adierazgarri ez den 3,166… delarik. Muturreko datuek medianaren balioan eragin nabarmenik ez dutela eta, mediana estatistiko jasankorra dela esaten da. Alborapen handiko banakuntzetan ere, batezbestekoa baino neurri egokiagoa da.

Eragozpen gisa, datu guztiak kontuan hartzen ez dituela aipatu behar da. Bere kalkulua formula bidez adierazteko oztopoak izateaz gainera, ez da matematikoki garatzen erraza.

Propietate matematikoei buruz,

• ${\displaystyle x_{i}}$ lagin datuetarako ondoko adierazpena txikien egiten duen m balioa da mediana:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|x_{i}-m|}$;

• bi datu-multzo bateratzen badira, baterako mediana aurreko medianen tartean izango da.

• Mediana
• Mediana eta kuartilak kalkulatzeko ariketa.