Difeomorfism

Difeomorfism on bijektiivne pidevalt diferentseeruv kujutus, mille pöördkujutus on samuti pidevalt diferentseeruv.

Selle kujutus määramis- ja muutumispiirkonnad võivad olla vektorruumi ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ lahtised hulgad või üldisemalt diferentseeruvad muutkonnad. Vastavalt diferentseeruvusklassile räägitakse ${\displaystyle C^{k}}$-difeomorfismidest (${\displaystyle k\in \{1,2,\dots ,\infty ,\omega \}}$).

Kujutust vektorruumi ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ühest lahtisest alamhulgast teise ${\displaystyle f\colon U\to V}$ nimetatakse difeomorfismiks,

• ${\displaystyle f}$ on bijektiivne
• ${\displaystyle f}$ on kõikjal pidevalt diferentseeruv
• pöördkujutus ${\displaystyle f^{-1}}$ on kõikjal pidevalt diferentseeruv

Kui ${\displaystyle f}$ ja ${\displaystyle f^{-1}}$ on ${\displaystyle k}$ korda pidevalt diferentseeruvad (ehk klassist ${\displaystyle C^{k}}$“, ${\displaystyle k=1,2,3,\dotsc }$), siis nimetatakse kujutust ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{k}}$-difeomorfismiks. Kui ${\displaystyle f}$ ja ${\displaystyle f^{-1}}$ on mis tahes arv kordi diferentseeruvad (ehk klassist ${\displaystyle C^{\infty }}$), siis nimetatakse kujutust ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$-difeomorfismiks. Kui ${\displaystyle f}$ ja ${\displaystyle f^{-1}}$ on mõlemad analüütilised (ehk klassist ${\displaystyle C^{\omega }}$), siis nimetatakse kujutust ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{\omega }}$-difeomorfismiks.

Kujutust ${\displaystyle f\colon U\to V}$ lahtiste alamhulkade vahel ${\displaystyle U,V\subset \mathbb {R} ^{n}}$ nimetatakse lokaalseks difeomorfismiks, kui igal punktil ${\displaystyle p\in U}$ on niisugune lahtine ümbrus ${\displaystyle W\subset U,}$ et selle kujutis ${\displaystyle f(W)\subset V}$ on lahtine ning kujutuse ${\displaystyle f}$ ahend ${\displaystyle f|_{W}\colon W\to f(W)}$ hulgale ${\displaystyle W}$ on difeomorfism.

Artikli kirjutamine on selles kohas pooleli jäänud. Jätkamine on kõigile lahkesti lubatud.