Rovnice

Rovnice je v matematice vztah rovnosti dvou výrazů, které obsahují jednu nebo více proměnných. Kořen rovnice je libovolná hodnota proměnné (příp. sada hodnot proměnných), pro které je rovnost splněna.

Uvažujme dvě funkce ${\displaystyle f(x),g(x)}$, které jsou definovány na nějaké množině ${\displaystyle D}$, pak nalezení všech ${\displaystyle x\in D}$, která splňují rovnost

${\displaystyle f(x)=g(x)}$

se nazývá rovnicí o jedné neznámé ${\displaystyle x}$. Funkce ${\displaystyle f(x)}$ se nazývá levá strana rovnice a ${\displaystyle g(x)}$ se nazývá pravá strana rovnice.

Každé číslo ${\displaystyle x_{0}\in D}$, které vyhovuje vztahu ${\displaystyle f(x_{0})=g(x_{0})}$, se nazývá kořen rovnice. Množinu všech kořenů dané rovnice označujeme jako řešení rovnice. Má-li rovnice alespoň jeden kořen v ${\displaystyle D}$, nazývá se řešitelná v ${\displaystyle D}$, pokud žádný kořen v ${\displaystyle D}$ nemá, říkáme, že rovnice je v ${\displaystyle D}$ neřešitelná. Pokud je rovnice ${\displaystyle f(x)=g(x)}$ splněna pro všechna ${\displaystyle x\in D}$, jde o identitu, což značíme

${\displaystyle f(x)\equiv g(x)}$

Řešení, které je identicky rovno nule, se označuje jako triviální. Pokud řešení rovnice není identicky rovno nule, hovoří se o netriviálním řešení.

V mnoha případech je požadavek na nalezení pouze netriviálního řešení přímo součástí zadání problému.

Např. triviálním řešením diferenciální rovnice

${\displaystyle y^{\prime }=y}$

je

${\displaystyle y=0}$,

což je funkce identicky rovna nule. Netriviální řešení má tvar

${\displaystyle y=\mathrm {e} ^{x}}$,

což je exponenciální funkce.

Jiným příkladem je tzv. Velká Fermatova věta, která hledá netriviální řešení rovnice ${\displaystyle a^{n}+b^{n}=c^{n}}$ pro ${\displaystyle n>2}$. Triviálním řešením by v tomto případě bylo ${\displaystyle a=b=c=0}$, což platí pro libovolné ${\displaystyle n}$. Podobně je triviálním řešením ${\displaystyle a=1,b=0,c=1}$. Takováto řešení jsou však obvykle nezajímavá.

Jsou-li na dané množině definovány dvě rovnice ${\displaystyle f_{1}(x)=g_{1}(x),f_{2}(x)=g_{2}(x)}$, pak je-li každý kořen první rovnice současně kořenem rovnice druhé a naopak, říkáme, že obě rovnice jsou ekvivalentní (rovnocenné, stejné).

Rovnici lze tzv. ekvivalentními úpravami převést na ekvivalentní rovnici. Mezi nejčastěji používané ekvivalentní úpravy patří:

• přičtení (nebo odečtení) stejného čísla k oběma stranám rovnice, tzn. ${\displaystyle f(x)+a=g(x)+a}$ je ekvivalentní rovnicí s rovnicí ${\displaystyle f(x)=g(x)}$
• vynásobení obou stran rovnice stejným nenulovým číslem, tzn. ${\displaystyle af(x)=ag(x)}$ je ekvivalentní rovnicí s rovnicí ${\displaystyle f(x)=g(x)}$

Rovnici ${\displaystyle f(x)=g(x)}$ je možné pomocí ekvivalentních úprav převést na (ekvivalentní) tvar

${\displaystyle F(x)=f(x)-g(x)=0}$

Při řešení rovnice lze použít také jiné úpravy, např. logaritmování nebo umocnění obou stran rovnice apod. Tyto úpravy však nemusí být ekvivalentní a při jejich použití je vždy nutno provést zkoušku.

Po nalezení řešení rovnice provádíme zkoušku, neboť v mnoha případech nejsme schopni ověřit, zda použité úpravy byly opravdu ekvivalentní. Zkouška spočívá v dosazení získaných kořenů do původní rovnice. Pokud některý kořen nesplňuje zkoušku, nebyly pravděpodobně všechny provedené úpravy ekvivalentní, a nejedná se tedy o kořen původní rovnice.

Rovnice o ${\displaystyle n}$ neznámých má tvar

${\displaystyle F(x_{1},x_{2},...,x_{n})=0}$

Při jejím řešení postupujeme obdobně jako při řešení rovnice o jedné neznámé ${\displaystyle F(x)=0}$, přičemž řešením rovnice o ${\displaystyle n}$ neznámých jsou n-tice ${\displaystyle (x_{1},x_{2},...,x_{n})}$.

Rovnice lze rozdělit na algebraické rovnice (též označované polynomická rovnice) a nealgebraické rovnice (též transcendentní rovnice).

Jako algebraickou rovnici ${\displaystyle n}$-tého stupně o jedné neznámé označujeme rovnici ve tvaru

${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}=0}$,

kde levou stranu rovnice tvoří polynom ${\displaystyle n}$-tého stupně s ${\displaystyle a_{n}\neq 0}$, přičemž se předpokládá, že ${\displaystyle n\geq 1}$. Pokud rovnici nelze vyjádřit ve tvaru algebraické rovnice, pak hovoříme o rovnici nealgebraické.

Rovnice až do 4. stupně jsou obecně vždy řešitelné analyticky, v algebře se dokazuje, že obecný vzorec řešící jakoukoli rovnici 5. a vyšších stupňů neexistuje a řešení je nutné hledat numericky.

Mezi nejjednodušší algebraické rovnice patří lineární rovnice ${\displaystyle (n=1)}$, kvadratická rovnice ${\displaystyle (n=2)}$, kubická rovnice ${\displaystyle (n=3)}$ a kvartická rovnice ${\displaystyle (n=4)}$. Také pro některé zvláštní případy polynomů dostáváme jednoduché rovnice, jde např. o binomické, trinomické nebo reciproké rovnice.

Při práci s algebraickými rovnicemi má velký význam tzv. základní věta algebry. Podle této věty má každý polynom s komplexními koeficienty stupně ${\displaystyle n\geq 1}$ alespoň jeden komplexní kořen. Každá algebraická rovnice má tedy řešení v oboru komplexních čísel. Řešení algebraických rovnic usnadňuje znalost některých vlastností polynomů.

Mezi nejjednodušší případy nealgebraických rovnic patří např. exponenciální rovnice, logaritmická rovnice nebo goniometrická rovnice.

Algebraickou rovnici o několika neznámých označujeme jako homogenní, pokud mají všechny její členy stejný stupeň. Např. ${\displaystyle 3x^{2}y+3x^{3}+2y^{3}-5xy^{2}=0}$ je homogenní rovnice třetího stupně.

Homogenní rovnici lze vyjádřit ve tvaru ${\displaystyle f(x)=0}$, kde ${\displaystyle f(x)}$ je homogenní funkce.

Rovnice obsahující derivace označujeme jako diferenciální.

Rovnice obsahující integrály označujeme jako integrální.

Rovnice obsahující diference proměnných označujeme jako diferenční.

• Algebra
• Nerovnice
• Soustava rovnic

• Obrázky, zvuky či videa k tématu rovnice na Wikimedia Commons
• Téma Rovnice ve Wikicitátech
• Slovníkové heslo rovnice ve Wikislovníku
• kalkulačka na počítání rovnic