Kümülant

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında bir rassal değişken Xin μ = E(X) olarak ifade edilen beklenen değeri ve σ² = E((X - μ)²) olarak ifade edilen varyansı bulunur. Bunlar ilk iki kümülant olarak belirlenirler; yani

κ₁ = μ ve κ² = σ².

n tane kümülant κ_n bir 'kümülant üreten fonksiyon tarafından belirlenir; bu fonksiyon g(t) olarak şöyle ifade edilebilir:

${\displaystyle g(t)=\log(E(e^{t\cdot X}))=\sum _{n=1}^{\infty }\kappa _{n}{\frac {t^{n}}{n!}}=\mu t+\sigma ^{2}{\frac {t^{2}}{2}}+\cdots .}$

Bu fonksiyonun türevleri var olduğu kabul edilirse, kümülantlar g(t) fonksiyonunun (sıfırda) türevleri ile şöyle verilir:

κ₁ = μ = g' (0),

κ₂ = σ² = g' '(0),

κ_n = g⁽ⁿ⁾ (0).

κ_n kümülantlari verilmiş olan bir olasılık dağılımı Edgeworth serileri açılımı suretiyle yaklaşık olarak bulunabilir.

Kümülant kavramı 1889'da Danimarkalı matematikçi ve istatistikçi Thorvald N. Thiele (1838 - 1910) tarafından yarı-değişmezler adı altında ortaya atılmıştır. Kümülant adı ilk defa İngiliz istatistikçisi Ronald Fisher tarafından ortaya atılıp sonradan bu kavram Fisher ve İngiliz istatistikçi Wishart tarafından geliştirilmiştir.^[1]

Bir olasılık dağılımı için kümülantlar o dağılımın momentleri ile yakından ilişkilidir. Kümülant kavramının geliştirilmesi ve bunların momentler kavramına pratik kullanımda tercih edilmesi nedeni bağımsız iki rassal değişken X ve Y için şu ifadenin bulunmasına bağlıdır;

${\displaystyle g_{X+Y}(t)=\log(E(e^{t\cdot (X+Y)}))=\log(E(e^{tX})\cdot E(e^{tY}))=\log(E(e^{tX}))+\log(E(e^{tY}))=g_{X}(t)+g_{Y}(t)\,.}$

Böylece her kümülant daha önce toplam olarak elde edilmiş karşıt kümülantların toplamının bir toplamı olur.

Moment üreten fonksiyon şöyle verilir:

${\displaystyle 1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu '_{n}t^{n}}{n!}}=\exp \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\kappa _{n}t^{n}}{n!}}\right)=\exp(g(t)).}$

Böylece kümülant üreten fonksiyon moment üreten fonksiyonun logaritmasıdır.

Birinci kümülant beklenen değer; ikinci kümülant varyans ve ikinci ve üçüncü kümülant merkezsel momentler olur. Ancak daha yüksek derecede kümülantlar ne momentler ne de merkezsel momentlere karşıttırlar.

Kümülantlar momentlere şu (yineleme) formülü ile bağlıdırlar:

${\displaystyle \kappa _{n}=\mu '_{n}-\sum _{k=1}^{n-1}{n-1 \choose k-1}\kappa _{k}\mu _{n-k}'.}$

ninci moment μ′_n ilk n kümülant ile kurulmuş ninci derece bir polinomdur; yani (Bunun katsayıları hep pozitif olur ve Faà di Bruno'nin formülünde bulunan katsayılardır.)

${\displaystyle \mu '_{1}=\kappa _{1}\,}$

${\displaystyle \mu '_{2}=\kappa _{2}+\kappa _{1}^{2}\,}$

${\displaystyle \mu '_{3}=\kappa _{3}+3\kappa _{2}\kappa _{1}+\kappa _{1}^{3}\,}$

${\displaystyle \mu '_{4}=\kappa _{4}+4\kappa _{3}\kappa _{1}+3\kappa _{2}^{2}+6\kappa _{2}\kappa _{1}^{2}+\kappa _{1}^{4}\,}$

${\displaystyle \mu '_{5}=\kappa _{5}+5\kappa _{4}\kappa _{1}+10\kappa _{3}\kappa _{2}+10\kappa _{3}\kappa _{1}^{2}+15\kappa _{2}^{2}\kappa _{1}+10\kappa _{2}\kappa _{1}^{3}+\kappa _{1}^{5}\,}$

${\displaystyle \mu '_{6}=\kappa _{6}+6\kappa _{5}\kappa _{1}+15\kappa _{4}\kappa _{2}+15\kappa _{4}\kappa _{1}^{2}+10\kappa _{3}^{2}+60\kappa _{3}\kappa _{2}\kappa _{1}+20\kappa _{3}\kappa _{1}^{3}+15\kappa _{2}^{3}+45\kappa _{2}^{2}\kappa _{1}^{2}+15\kappa _{2}\kappa _{1}^{4}+\kappa _{1}^{6}.\,}$

Merkezsel momentler olan μ_n (DIKKAT μ′_n DEĞIL) ile kümülant bağlılığı şöyledir:

${\displaystyle \mu _{1}=0\,}$

${\displaystyle \mu _{2}=\kappa _{2}\,}$

${\displaystyle \mu _{3}=\kappa _{3}\,}$

${\displaystyle \mu _{4}=\kappa _{4}+3\kappa _{2}^{2}\,}$

${\displaystyle \mu _{5}=\kappa _{5}+10\kappa _{3}\kappa _{2}\,}$

${\displaystyle \mu _{6}=\kappa _{6}+15\kappa _{4}\kappa _{2}+10\kappa _{3}^{2}+15\kappa _{2}^{3}.\,}$

Bazı istatistikçiler kümülant üreten fonksiyonu başka bir yol kullanarak karakteristik fonksiyonlar yoluyla şöyle tanımlamayı tercih ederler.^[2][3]

${\displaystyle h(t)=\log(E(e^{itX}))=\sum _{n=1}^{\infty }\kappa _{n}\cdot {\frac {(it)^{n}}{n!}}=\mu it-\sigma ^{2}{\frac {t^{2}}{2}}+\cdots .\,}$

Bu türlü tanımlamanın avantajı eğer daha yüksek derecelerde momentler bulunmasa bile uygun kümülantlarin elde edilmesini sağlamasıdır.

• Momentler
• Merkezsel moment
• Moment üreten fonksiyon

• Eric W. Weisstein, Cumulant (MathWorld)
• [1]10 Haziran 2001 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. Kumulant - bazı matematiksel sözcük ve ifadelerin ilk kullanışları.