Poddeterminanta

Poddeterminanta (tudi minor) (oznaka $M_{ij}\,$ ) matrike $A\,$ je determinanta, ki pripada kvadratni matriki, ki jo dobimo iz matrike $A\,$ tako, da v tej matriki izbrišemo eno vrstico in en stolpec. Dobljeno poddeterminanto označimo z $M_{ij}\,$ .

Kadar v kvadratni matriki $n\times n\,$ brišemo i-to vrstico in j-ti stolpec, dobimo matriko z razsežnostjo $n-1\times n-1\,$ . Če brišemo samo po en stolpec in eno vrstico, dobimo prvo poddeterminanto (tudi prvi minor), če pa brišemo po dve vrstici in dva stolpca, pa dobimo drugo poddeterminanto (tudi drugi minor) ^[1].

Povezava med kofaktorjem in poddeterminanto

Kofaktor $C_{ij}\,$ kvadratne matrike $A\,$ je zmnožek števila $(-1)^{i+j}\,$ in pripadajoče poddeterminante $M_{ij}\,$ , ki ima razsežnost $n-1\times n-1\,$

C_{ij}=(-1)^{i+j}.M_{ij}\,

kjer je

$C_{ij}\,$ kofaktor
$M_{ij}\,$ poddeterminanta, ki nastane z brisanjem i-te vrstice in j-tega stolpca

Pri tem pa matriko z elementi $C_{ij}\,$ imenujemo matriko kofaktorjev. Transponirana matrika matrike kofaktorjev se imenuje adjungirana (prirejena) matrika.

Primer

Recimo, da imamo matriko

{\begin{pmatrix}\,\,\,1&4&7\\\,\,\,3&0&5\\-1&9&\!11\\\end{pmatrix}}

Če hočemo določiti kofaktor $C_{23}\,$ moramo v determinanti izbrisati vrstico 2 in stolpec 3. To nam da za pripadajočo poddeterminanto, ki jo označimo z $M_{23}\,$ , vrednost ${\begin{vmatrix}\,\,\,1&4\,\\-1&9\,\\\end{vmatrix}}=(9-(-4))=13$ .