Na klubové úrovni zažil nejvíce slávy ve španělské Valencii. V roce 1979 s ní vyhrál Copa del Rey - španělský pohár a o rok později i Pohár vítězů pohárů a evropský Superpohár. V sezónách 1976/1977 a 1977/1978 byl nejlepším střelcem španělské ligy. Nastřílel 24 resp. 28 branek.
V národním týmu Argentiny odehrál 43 zápasů a nastřílel celkem 20 gólů. Největším úspěchem jeho kariéry bylo vítězství na MS 1978, které se konalo v jeho rodné Argentině. Během turnaje nastřílel Kempes šest branek a kromě zlaté medaile si odnesl také ceny pro nejlepšího střelce i hráče turnaje. Rok 1978 mu přinesl ještě jeden významný individuální úspěch. Získal ocenění pro nejlepšího světového fotbalistu podle časopisu World Soccer.