房产公正好还是不好

房子是外公单位的福利房外公没钱买，在买之前征求过所有子女的意见，（外公有4个子女，我妈妈排行老三）没有人愿意买，（当时还写了一份东西说是不会去挣这个房子，这个是没有公证的，但是上面有其他子女的签名）所以我妈妈就买了，但是上面的名字还是外公的，现在我妈妈怕外公过世了他们会来挣这个房产，外公准备写一份遗嘱，这个遗嘱要拿去公证吗？要是不公证的话他们有权利来分这个房产了吗？还有一个就是户主的名字是外公的，那个名字是在外公身前过户好还是过世了以后好啊？希望能告诉我一个全面的回答，谢谢！